1、分段函数的极限和连续性x( 0x1)例设 f (x)1( x1)21(1x2)（ 1）求 f (x）在点 x1处的左、右极限，函数f ( x）在点 x1 处是否有极限？（ 2）函数 f ( x）在点 x 1 处是否连续？（ 3）确定函数 f ( x）的连续区间分析： 对于函数在给定点x0 处的连续性，关键是判断函数当x x0 时的极限是f (x）否等于f (x0 ) ；函数在某一区间上任一点处都连续，则在该区间上连续解：（ 1） limf ( x)lim x 1x1x 1limf ( x)lim 1 1x 1x 1lim( )1x 1fx函数 f ( x）在点 x1 处有极限1（ 2）f (1
2、)lim f ( x)2x1函数 f ( x）在点 x1 处不连续（ 3）函数f ( x）的连续区间是（0， 1），（ 1， 2）说明： 不能错误地认为f (1) 存在，则f ( x）在 x1 处就连续求分段函数在分界点x0的 左 右 极 限 ， 一 定 要 注 意 在 分 界 点 左 、 右 的 解 析 式 的 不 同 只 有lim f ( x)limf (x), lim f (x) 才存在x x0x x0x x0函数的图象及连续性例已知函数x24f ( x)，x 2（ 1）求 f (x）的定义域，并作出函数的图象；（ 2）求 f (x）的不连续点 x0 ；（ 3）对 f (x）补充定义，使
3、其是 R 上的连续函数分析：函数是一个分式函数， 它的定义域是使分母不为零的自变量x 的取值范围，f ( x）给 函 数补 充 定 义 ， 使 其 在 R 上 是 连 续 函 数 ， 一 般 是 先 求limf (x)， 再 让f ( x）xx0f ( x0 )lim f ( x) 即可x x0解：（ 1）当 x2 0 时，有 x2因此，函数的定义域是, 22,当 x2 时，x 242.f ( x)xx2其图象如下图（ 2）由定义域知，函数的不连续点是x02f (x）（ 3）因为当 x2时， f ( x)x 2所以 limf ( x)lim ( x 2)4x2x2因此，将 f ( x）的表达式
4、改写为x24( x2)f ( x)x24( x2)则函数 f ( x）在 R 上是连续函数说明： 要作分式函数的图象，首先应对函数式进行化简，再作函数的图象， 特别要注意化简后的函数与原来的函数定义域是否一致利用函数图象判定方程是否存在实数根例 利用连续函数的图象特征，判定方程2x35x 10是否存在实数根分析： 要判定方程f (x)0 是否有实根，即判定对应的连续函数y f ( x) 的图象是否与 x 轴有交点，因此只要找到图象上的两点，满足一点在x 轴上方，另一点在x 轴下方即可解： 设f( )2x35x1，则 f (x）是 R 上的连续函数x又 f (0)1, f (3)38 0 ，因此
5、在3,0 内必存在一点x0 ，使 f (x0 )0 ，所以 x0是方程 2 x35x 10的一个实根所以方程 2x35x10 有实数根说明： 作出函数 yf (x) 的图象，看图象是否与x 轴有交点是判别方程f ( x)0 是否有实数根的常用方法，由于函数f ( x)2x35x1是三次函数，图象较难作出，因此这种方法对本题不太适用函数在区间上的连续性例x240,2 上呢？函数 f ( x)在区间（ 0，2）内是否连续，在区间x2分析： 开区间内连续是指内部每一点处均连续，闭区间上连续指的是内部点连续，左点处右连续，右端点处左连续x242 （ xR 且 x2 ）解： f ( x)xx2任取 0x
6、02 ，则 lim f (x)lim ( x2)x0 2 f ( x0 )xx0x x0 f ( x) 在（ 0， 2）内连续但 f (x) 在 x2 处无定义，f ( x) 在 x2 处不连续从而 f ( x) 在 0,2 上不连线说明： 区间上的连续函数其图象是连续而不出现间断曲线函数在某一点处的连续性讨论函数 f ( x) (lim 1xn1例n ) x(0 x) 在 x1 与 x点处的连续性n1x2分析： 分类讨论不仅是解决问题的一种逻辑方法，也是一种重要的数学思想明确讨论对象，确立分类标准，正确进行分类，以获得阶段性的结论，最后归纳综合得出结果，是分类讨论的实施方法本题极限式中，若不
7、能对x 以 1 为标准，分三种情况分别讨论，则无法获得f (x) 的表达式，使解答搁浅讨论 f ( x) 在 x 1 与 x1f (x) 的图像，则可由图像的直观信点处的连续性，若作出2息中得出结论，再据定义进行解析论证由于 f ( x) 的表达式并非显式，所以须先求出f ( x) 的解析式，再讨论其连续性，其中极限式中含xn ，故须分类讨论解：（ 1）求 f ( x) 的表达式：当当1lim xnx1 0x xx 1时， f ( x)n1lim xn1 0n( 1) n 101x 1 时， f ( x) limxnxxxx1)101(x当 x1 时， f ( x)lim11nn x 0x11
8、0,0x1 f (x)0, x1x,1x（ 2）讨论 f (x) 在 x1 点处的连续性：limf ( x)lim x1, lim f (x)lim (x)1x1x1x 1x 1 limf (x) 不存在， f ( x) 在 x 1点处不连续x 1（ 3）讨论 f (x) 在 x1点处的连续性：2lim f ( x)lim x1 , lim f ( x)limx1x 1x 12 x 1x 122222lim f ( x)lim x1, lim f ( x)lim12xxxxx211112222 lim f ( x)1f ( 1) ， f ( x) 在 x1点处连续1222x2根据函数的连续性确定参数的值3例 若函数 f ( x)(1x) x , x0 在 x0 处连续，试确定a 的值a, x03解： lim f ( x)lim (1x) xx0x013lim (1x) xx0e3 , f (0)a,欲 f (x) 在 x0处连续，必须使lim( )(0)，故3x0fxfae说明： 利用连续函数的定义，可把极限转化为函数值求解
