1、1.6 函数的连续性,1.6.1.1 函数的改变量,1.6.1 连续函数的概念,当,解,自变量变化很小，函数值变化也很小。,在点,解一,解二,注：一切初等函数在其定义区间上都是连续函数。,单侧连续,显然，,例,证,由定义知,= 0,可不可以直接求？,例,解,4,3,所以函数在x = 2 处不连续,注2：分段函数在分段点有可能不连续，而在其它定义区间上连续。,注1：比较2例,例,解,在x = 1处连续，求a、b的值,a = -1 b = 2,.6.1.3 函数在区间上的连续性,若f(x)在开区间（a,b）内每一点都连续,则称f(x)为该区间内的连续函数,或者说函数f(x)在该区间内连续.,此时，
2、曲线y=f(x)是一条连续而不间断的曲线.,1.6.2 初等函数的连续性,法则1（连续函数的和、差、积、商的连续性）,定理1.5 初等函数在其定义域区间内是连续的.,例1.25,解,1.6.3函数的间断点,由连续的定义可知，,必须满足三个条件：,存在,连续,间断点的类型：,1.6.3.1 第一类间断点,第一类间断点,左右极限存在且相等,可去间断点,左右极限存在不相等,跳跃间断点,定义1.16,所以函数,在x=1处间断。,解,在x=1处没有定义,在x=1处连续。,解,在x=0处有定义，且f(0)=1,函数在x=0处间断，且x=0为可去间断点,在x=0处连续。,若修改定义f(1)=1/2,则,在函
3、数的可去间断点 x0处，可以补充或改变函数在,x0处的定义，使点x0成为连续点.,如在例1中可补充定义f(1)=4,则函数在x=1处连续,在例2中可改变函数在x=0处的定义，令f(0)=1/2,则函数在x=0处连续,在x=0处有定义，且f(0)=0,所以函数在x=0处间断。,x=0是跳跃间断点,例,如果补充定义：令x=1时y=2， 则所给函数在x=1成为连续. 所以x=1称为该函数的可去间断点.,例,函数,因此，点x=1是函数 f(x)的间断点.但如果改变函数f(x)在x=1处的定义：令f(1)=1，则f(x)在x=1成为连续.所以x=1也称为该函数的可去间断点.,1.6.3.2 第二类间断点
4、,函数f(x)在点x0的左右极限中至少有一个不存在的间断点，则称x0为第二类间断点。,例1.29,函数在x=1处没有定义，所以函数在x=1处间断,，所以x=1为函数的第二类间断点,，所以x=1又称为函数的无穷间断点,例,例1.30,例 求下列函数的间断点，并指出其类型,解,4,3,所以x = 2为函数的跳跃间断点,1.6.4 闭区间上连续函数的性质,定理1.7 （最值定理） 设函数f(x)在闭区间a,b上连续，则f(x)在a,b上有最大值和最小值,定理1.6 如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，则 f(x)在闭区间a,b上有界。,定理1.8 （介值定理） 设函数f(x)在闭区间a,b上连续，M和m分别是f(x)在a,b上的最大值和最小值，则对于满足m M的任何实数，至少存在一点 a,b，使得,推论（方程实根的存在定理） 若函数f(x)在闭区间a,b上连续，且f(a) f(b)0，则至少存在一点 (a,b)，使得,例,证,由介值定理知,小明周十一去黄山玩，早晨8点开始爬山，在山顶 住了一宿，第二天早晨8点开始下山。断言：小明一定 会在两天的同一时间路过同一地点。为什么？,作业,P16 1（2）（3）,2（3）,P17 复习题 1，2(1)(2)(5)(6)(7) (8) 4,
