1、,二、 函数的间断点,一、 函数连续性的概念,第三节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数的连续性,第一章,三、连续函数的运算性质,四、初等函数的连续性,可见 , 函数,在点,一、 函数连续性的概念,定义2.6:,在点,的某邻域内有定义 ,则称函数,(1),在点,即,(2) 极限,(3),设函数,连续必须具备下列条件:,存在 ;,若,有定义 ,存在 ;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,极限值函数值,对自变量的增量,有函数的增量,左连续,右连续,当,时, 有,函数,在点,连续有下列等价命题:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义2.7；,continue,若,在某区间上每一点都连续
2、,则称它在该区间上,连续 ,或称它为该区间上的连续函数 .,例如,在,上连续 .,( 有理整函数 ),又如, 有理分式函数,在其定义域内连续.,在闭区间,上的连续函数的集合记作,只要,都有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 证明函数,在,内连续 .,证:,即,这说明,在,内连续 .,同样可证: 函数,在,内连续 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.,问a为何值时,f (x)在x = 0连续.,解: f (0)=3,= 3.,为使f (x)在x=0连续, 必须,即, a=3.,故当 a=3时, f (x)在x=0连续.,= a,在,在,二、 函数的间断点,(1) 函数,(2)
3、 函数,不存在;,(3) 函数,存在 ,但,定义2.9 如果函数f (x)在点a处不满足连续性条件，,则称f(x)在点a不连续（间断），,点 a 称为函数 f (x),虽有定义 , 但,虽有定义 , 且,在,无定义 ;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的间断点.,间断点分类:,第一类间断点:,及,均存在 ,若,称,若,称,第二类间断点:,及,中至少一个不存在 ,称,若其中有一个为振荡 ,称,若其中有一个为,为可去间断点 .,为跳跃间断点 .,为无穷间断点 .,为振荡间断点 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为其无穷间断点 .,为其振荡间断点 .,为可去间断点 .,例如:,机动 目录
4、上页 下页 返回 结束,显然,为其可去间断点 .,(4),(5),为其跳跃间断点 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 求,的间断点, 并判别其类型.,解:,x = 1 为第一类可去间断点,x = 1 为第二类无穷间断点,x = 0 为第一类跳跃间断点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在其定义域内连续,三、连续函数的运算性质,1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 ,( 利用极限的四则运算法则证明),商(分母不为 0) 运算,结果仍是一个在该点连续的函数 .,例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理2.8. 连续函数的复合函数是连续的.,设函数,则复合函数,
5、且,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,简言之：连续函数的符号和极限符号可以换序。,3. 连续单调递增 函数的反函数也连续单调,例如,在,上连续单调递增，,其反函数,(递减).,在 1 , 1 上也连续单调递增.,递增,(递减),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,是由连续函数链,因此,在,上连续 .,复合而成 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,四、初等函数的连续性,基本初等函数在定义域内连续,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数在定义区间内连续,例如,的连续区间为,(端点为单侧连续),的连续区间为,的定义域为,因此它无连续点。,而,机动 目录 上页 下页 返回 结束,利用函数连续性求函数极限举例,解 因为函数在点x=1处连续，所以,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 求,例5. 求,解:,原式,作 业 P52-53 20（2，6）；21；22（2, 4, 6, 8）；,
