1、矩阵的初等行变换与初等矩阵,学习目标,目标一 目标二 目标三,首页,上页,下页,理解什么是初等行变换,知道什么是初等矩阵,掌握初等行变换的应用,初等行变换的背景,1801年德国数学家高斯把线性方程组的全部系数作为一个整体,首页,上页,下页,收获：线性方程组可以用矩阵来表示,初等行变换的引入,将矩阵的两行对调,首页,上页,下页,第1行,第2行,第1个方程,第2个方程,两个方程对应也发生对调,对调矩阵两行的变换称为对换变换,初等行变换的引入,将矩阵的第一行乘以2,首页,上页,下页,第1行,第2行,第1个方程,第2个方程,第一个方程对应也在等号两边同乘以2,矩阵某一行乘以一个常数的变换称为倍乘变换,
2、注意：倍乘变换与矩阵数乘的区别,初等行变换的引入,矩阵的第2行加上第1行乘以（-2）,首页,上页,下页,第1行,第2行,第1个方程,第2个方程,第二个方程对应也在等号两边 同时加上第一个方程的（-2）倍,矩阵某一行的倍数加到另一行上的变换称为倍加变换,初等行变换,对换变换,倍乘变换,倍加变换,首页,上页,下页,定义2.13 矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换：,将矩阵的某两行对换位置,将矩阵的某一行遍乘一个非零常数k,将矩阵的某一行遍乘一个常数k加至另一行,定理2.7 设方阵A经过若干次初等行变换后得到方阵B，如果A是非奇异的，则B也是非奇异的。反之亦然。,什么是非奇异,例题讲解,例1
3、运用初等行变换将矩阵,转化成单位矩阵,解：,首页,上页,下页,对换变换,倍乘变换,倍加变换,初等行变换的练习,练习运用初等行变换将矩阵,首页,上页,下页,转化成单位矩阵,1、把主对角线上第一个元素变为1,2、把主对角线上第一个元素下方的所有元素变为0,3、把主对角线上第二个元素变为1,4、把主对角线上第一个元素下方的所有元素变为0,5、如此类推，直至将主对角线最后一个元素变为1,6、从最后一列开始往第一列，把主对角线上方的 元素变为0,初等矩阵的引入,为什么在初等行变换的过程中， 矩阵之间是用箭头连接呢？,首页,上页,下页,请三位同学说出结果,红色框的三个矩阵与单位矩阵有何联系？,初等矩阵,首
4、页,上页,下页,三个矩阵的特点：单位矩阵经过一次初等行变换而得到,定义2.14 将单位矩阵作一次初等行变换得到的矩阵，称为初等矩阵,初等对换矩阵,由单位矩阵第i,j行对换得到，记作Eij,初等倍乘矩阵,由单位矩阵第i行乘k得到，记作Ei(k),初等倍加矩阵,由单位矩阵第i行乘k加到第j行得到，记作Eij(k),课堂中段小结,初等行变换 初等矩阵 对换变换 初等对换矩阵 倍乘对换 初等倍乘矩阵 倍加变换 初等倍加矩阵,首页,上页,下页,初等行变换中，两个矩阵之间之所以用箭头连接，是因为两个矩阵之间相差了初等矩阵,矩阵的初等行变换可以解决什么问题呢？,初等行变换的应用求逆矩阵,首页,上页,下页,回顾：,因此有：,结论： 初等行变换中省略的初等矩阵的乘积就是逆矩阵,用初等行变换法求逆矩阵,解：,首页,上页,下页,初等行变换法（软件显示）,检验：,练习,练习 用初等行变化求矩阵,首页,上页,下页,的逆,答案：,课堂小结,1三种初等行变换 2三类初等矩阵 3. 使用初等行变换求矩阵的逆,首页,上页,下页,作业,首页,上页,下页,书P87 1（1）（3）（6）,高斯（1777-1855）,
