1、学而思九年级数学教材41、如图，已知动点A 在函数 y x(x 0)的图象上， AB x 轴于点 B， AC y 轴于点 C，延长 CA 至点D，使 AD=AB ，延长 BA 至点 E，使 AE=AC 直线 DE 分别交x， y 轴分别于点 P，Q当 QE： DP=4 ： 9 时，图中阴影部分的面积等于2、如图，在 ABC 中， D 是 BC 边上一点， E 是 AC 边上一点，且满足 AD=AB ， ADE= C（ 1）求证： AED= ADC ， DEC= B；（ 2）求证： AB2=AE?AC 3、（ 2000?河北）已知：如图，在 ABC 中， D 是 BC 边上的中点，且 AD=AC
2、 ， DE BC ，DE 与 AB 相交于点 E，EC 与AD 相交于点 F（ 1）求证： ABC FCD；（ 2）若 S FCD=5 ，BC=10 ，求 DE 的长1y3、如图，已知第一象限内的图像是反比例函数x 图像的2一个分支，第二象限内的图象是反比例函数的一个分支，在x 轴的上方有一条平行于它们分别交于点A 、 B，过点 A、 B 作 x分别为 C、 D若四边形 ABCD 的周长为则点 A 的坐标为（y= x 图象x 轴的直线 l 与轴的垂线，垂足8 且 AB AC ，4、（ 2011?宁波）正方形的A1B1P1P2 顶点 P1、P2 在反比2例函数 y= x （ x 0）的图象上，顶
3、点A1 、 B1 分别在 x轴、 y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P2P3A2B2 ，顶点 P3 在反2比例函数 y= x（ x 0）的图象上，顶点A2 在 x 轴的正半轴上，则点 P3 的坐标为y1ykx 1x （ x0）上的点， A 、B 两点的横坐标分别是a，2a，线段 AB的延长线交x 轴于点 C，若 S AOC=6 则k=416、（ 2010?无锡）如图，已知梯形ABCO 的底边AO 在 x 轴上， BC AO ，kAB AO ，过点 C 的双曲线y x 交 OB 于 D，且 OD：DB=1 ：2，若 OBC的面积等于3，则 k 的值。17、如图，正方形OAPB ，等腰三角形 A
4、FD 的顶点 A 、 D、 B 在坐标轴上，点 P， F 在函数9y x (x 0)的图象上，则点F 的坐标为。ykx （ k0）在第一象限图像上的两点，点18、如图， P1，P2 是反比例函数A1 的坐标为（ 2， 0），若 P1OA1 与 P2A1A2均为等边三角形反比例函数的解析式； A2点的坐标y4 xyky4 x19、如图，直线3 与双曲线x 交于点 A ，将直线3 向右平9ky移 2 个单位与双曲线x（ x 0）交于点 B，与 x 轴交于点 C，若 AO ：BC=2 ，则 k=y1y3x 上，且 AB 20、如图，点 A 在双曲线x 上，点 B 在双曲线x 轴，点 C、D 在 x
5、轴上，若四边形 ABCD 为矩形，则它的面积为2学而思九年级数学教材21、ky如图，直线y mx 与双曲线x 交于 A 、 B 两点，过点 A 作 AM x 轴，垂足为 M ，连接 BM ，若 SABM=2 ，则 k 的值是。k22、（ 2010?内江）如图，反比例函数y= x （ k0）的图像经过矩形OABC 对角线的交点 M，分别与 AB 、BC 相交于点 D 、 E若四边形 ODBE 的面积为 6，则 k 的值为。k23、如图，点 A 在双曲线 y= x 的第一象限的那一支上，AB 垂直于y 轴于点 B ，点 C 在 x 轴正半轴上，且OC=2AB ，点 E 在线段 AC上，且 AE=3
6、EC ，点 D 为 OB 的中点，若 ADE 的面积为3，则 k 的值为2015 重庆九年级数学培优试题答案1、解：解法一：过点D 作 DG x 轴于点 G，过点 E 作 EFy 轴于点 F令 A44（ t， t ），则 AD=AB=DG=t ， AE=AC=EF=t 在直角 ADE中，由勾股定理，得AD 2AE216t2t 416t416DE=t 2t 2t EFQ DAE ， QE： DE=EF ： AD ，t t4 16 QE=4， ADE GPD， DE： PD=AE ： DG ，4t416 DP=t 3又 QE： DP=4：9，t t416 : 4 t 4164 : 9 =4t 3，
7、8解得 t2= 3 111116413图中阴影部分的面积 = 2AC2+ 2AB2= 2 t2+ 2t 2= 3+3= 3 ；学而思九年级数学教材解法二： QE： DP=4 ： 9， EF：PG=4： 9，1设 EF=4t ，则 PG=9t ， A （ 4t， t ），由 AC=AE AD=AB ，1 1 AE=4t ， AD= t ， DG= t ， GP=9t， ADE GPD， AE ： DG=AD ： GP，1114t： t = t ： 9t，即 t2= 6 ，111113图中阴影部分的面积= 2 4t 4t+ 2 t t = 313故答案为： 3 2、证明：（ 1）在 ADE 和 A
8、CD 中， ADE= C， DAE= DAE ， AED=180 - DAE- ADE ， ADC=180 - DAE- C， AED= ADC AED+ DEC=180 ， ADB+ ADC=180 ， DEC= ADB ，又 AB=AD ， ADB= B， DEC= B （ 2）在 ADE 和 ACD 中，由（ 1）知 ADE= C， AED= ADC ， ADE ACD ，即 AD2=AE?AC又 AB=AD ， AB2=AE?AC3、证明： AD=AC ， ADC= ACD D 是 BC 边上的中点， DE BC， EB=EC ， EBC= ECB ABC FCD ；（ 2）解：过 A
9、 作 AM CD，垂足为 M ABC FCD ，BC=2CD ，S FCD( CD )2( 1) 21 S ABCCB24 S FCD=5 ， S ABC=20 学而思九年级数学教材1又 SABC=2 BCAM ， BC=10 ， AM=4 1又 DM=CM= 2 CD ，DE AM ，28 DE： AM=BD ： BM=3 ，DE= 33、11解：点 A 在反比例函数yx 图象上，设 A 点坐标为（ a， a ）， AB 平行于 x 轴，1点 B 的纵坐标为a ，2而点 B 在反比例函数y= x 图象上，1 B 点的横坐标 =-2 a=-2a，即 B 点坐标为（ -2a， a ），1 AB=
10、a- （ -2a） =3a， AC= a ，四边形 ABCD 的周长为8，而四边形ABCD 为矩形，1 AB+AC=4 ，即 3a+ a =4 ，整理得， 3a2-4a+1=0，（ 3a-1）（ a-1） =0，11 a1= 3 ， a2=1，而 AB AC ，a= 3 ，1 A 点坐标为（ 3， 3）1故答案为（3 ， 3）4、解：作 P1C y 轴于 C， P2D x 轴于 D ，P3Ex 轴于 E， P3F P2D 于 F，如图，22设 P1（ a，a ），则CP1=a，OC=a ，学而思九年级数学教材四边形 A1B1P1P2 为正方形， Rt P1B1C Rt B1A1O Rt A1P
11、2D ， OB1=P1C=A1D=a ，222 OA1=B1C=P2D= a -a，OD=a+ a-a= a ，2 2 P2 的坐标为（ a ， a -a），222把 P2的坐标代入 y= x （ x 0），得到（ a -a） ? a =2，解得 a=-1（舍）或 a=1， P2（ 2，1），2设 P3的坐标为（ b， b ），又四边形P2P3A2B2 为正方形， Rt P2P3F RtA2P3E ，2 P3E=P3F=DE= b ，22 OE=OD+DE=2+b ， 2+ b =b，解得 b=1-3 （舍）， b=1+3 ，2231 b = 13，点 P3 的坐标为（3 +1，3 -1）故答
12、案为：（3 +1，3 -1）5、解：过 A 作 AD BC 于 D ，如图，11对于 y=- 2 x-1 ，令 y=0 ，则 - 2 x-1=0 ，解得 x=-2， B 点坐标为（ -2，0）， CB x 轴， C 点的横坐标为-2，kk对于y=x ，令x=-2 ，则y=-2 ，k C点坐标为（-2，- 2 ）， AC=AB， AD BC，DC=DB，kk D点坐标为（-2， - 4 ），A点的纵坐标为- 4 ，学而思九年级数学教材yk而点 A 在函数x 的图象上，kykk把 y=- 4 代入x 得 x=-4 ，点 A 的坐标为（ -4， - 4 ），k1k 1把 A （-4， - 4）代入
13、y=- 2 x-1得- 4 =- 2（ -4）-1， k=-4 6、解：分别过点 A 、 E 作 AM 、 EN 垂直于 x 轴于 M 、 N ，则 AM EN ， A 、 E 在双曲线上，三角形 AOM 与三角形OEN 的面积相等，四边形 AOBC 是平行四边形， AE=BE ， AM EN， MN=NB ，1 EN= 2 AM ，1 OM= 2 ON，根据三角形的中位线，可得MN=BN ， OM=MN=BN ，设 A （x， y），由平行四边形的面积 3xy=18， xy=6 ，即 k=6 ；=OB AM=18，故答案为：67、解：延长 BC ，交 x 轴于点 D，设点 C（x， y），
14、AB=a ， OC 平分 OA 与 x 轴正半轴的夹角， CD=CB ， OCD OCB，再由翻折的性质得， BC=BC，2双曲线y x （ x 0）经过四边形OABC 的顶点 A、 C，1 S OCD= 2 xy=1 ，1 S OCB=2 xy=1 ，由翻折变换的性质和角平分线上的点到角的两边的距离相等可得BC=BC=CD ，点 A 、 B 的纵坐标都是2y， AB x 轴，点 A （ x-a，2y）， 2y（ x-a）=2， xy-ay=1 ，学而思九年级数学教材 xy=2 ay=1，1 1 S ABC= 2 ay= 2 ，11 SOABC=S OCB+SABC+S ABC=1+ 2+ 2
15、=2故答案为： 28、解：过 A 点作 AC x 轴于点 C，如图，则 AC NM ， OAC ONM ， OC： OM=AC ： NM=OA ： ON，而 OA=2AN ，即 OA ：ON=2 ： 3，设 A 点坐标为（ a， b），则 OC=a， AC=b ，3333 OM= 2 a，NM=2 b，N 点坐标为（2 a， 2 b），3点 B 的横坐标为2 a，设 B 点的纵坐标为y，k3点 A 与点 B 都在 y= x 图象上， k=ab= 2 a?y，232 y= 3 b，即 B 点坐标为（2 a， 3 b），5 OA=2AN ， OAB 的面积为5， NAB 的面积为2 ，515 ON
16、B 的面积 =5+ 2 = 2，115132315 2 NB?OM= 2 ，即 2 （ 2 b- 3 b） 2 a= 2 ， ab=12， k=12 故答案为129、解：过点F 作FD BO于点D， EW AO于点W，BE1 BFm （ m 为大于 l 的常数），ME1 DFm ，MEFN1 ME?EW=FN?DF ， DFEWm ，学而思九年级数学教材设 E 点坐标为：（ x， my ），则 F 点坐标为：（ mx， y），11 CEF 的面积为： S1= 2 （ mx-x ）（ my-y ） = 2 （ m-1） 2xy ， OEF 的面积为： S2=S 矩形 CNOM-S1-S MEO-
17、S FON111=MC?CN - 2（m-1 ）2xy- 2 ME?MO - 2 FN?NO111=mx?my - 2 （ m-1） 2xy-2 x?my- 2 y?mx1=m2xy- 2 （m-1 ）2xy-mxy11= 2 （ m2-1） xy= 2 （ m+1）（m-1 ）xy ，S11 ( m 1)2 xym12S21m1m1(m 1)(m 1)xy故答案为： m1 210、333解：设 A 点的横坐标为a，把 x=a 代入 y= x得 y= a，则点 A 的坐标为（ a， a ）， AC y 轴， AE x 轴，33 C 点坐标为（0， a ）， B 点的纵坐标为a ； E 点坐标为
18、（ a， 0）， D 点的横坐标为a，1 B 点、 D 点在 y= x 上，3a1当 y= a 时， x= 3；当 x=a， y=a ，a31 B 点坐标为（3 ， a ）， D 点坐标为（ a， a ），a 2a31 23 AB=a- 3 = 3 ， AC=a ，AD= a - a = a ， AE= a ，22 AB= 3 AC ， AD= 3 AE ，而 BAD= CAD ， BAD CAE ，学而思九年级数学教材BDAB22 CEAC3 故答案为 311、解： BD 为 Rt ABC 的斜边 AC 上的中线， BD=DC ， DBC= ACB ，又 DBC= EBO ， EBO= AC
19、B ，又 BOE= CBA=90 ， BOE CBA ，BOOE BC AB ，即 BCOE=BO AB 1又 S BEC=4 ， 2 BC?EO=4，即 BCOE=8=BO AB=|k| 又由于反比例函数图象在第一象限， k0所以 k 等于 812、解：作 CE x 轴于 E， DF y 轴于 F，如图，对于 y=-x+m ，令 x=0 ，则 y=m ；令 y=0， -x+m=0 ，解得 x=m ， A （ 0， m）， B （m， 0）， OAB 等腰直角三角形， ADF 和 CEB 都是等腰直角三角形，设 M 的坐标为（ a， b），则 ab= 3 ，CE=b， DF=a ， AD= 2
20、 DF=2 a， BC=2 CE= 2 b， AD?BC= 2 a? 2 b=2ab=23 故答案为 2 3 13、3 xb3 b，即直线与 x 轴的交点 D 的坐标为解：对直线方程y3，令 y=0，得到 x=（ 3 b， 0），令 x=0 ，得到 y=b，即 A 点坐标为（ 0， b）， OA=b ， OD= 3 b，OA3在 Rt AOD 中， tan ADO= OD3 ，3 ADO=30 ，即直线y=-3 +b 与 x 轴的夹角为 30，学而思九年级数学教材3直线 y=-3kx+b 与双曲线y= x 在第一象限交于点B 、C 两点，3k3 - 3x+b= x ，即 -3 x2+bx-k=
21、0 ，c由韦达定理得：x1x2= a =3 k，即 EB?FC=3 k，EB32323 AB =cos30 =2 ， AB=3EB，同理可得： AC=3 FC，23234433 AB?AC= （3EB）（3FC） = 3 EB?FC= 3k=4 ，解得： k=14、解：依据比例系数 k 的几何意义可得正方形OABC 的面积为1，所以其边长为 1，设点 E 的纵坐标为 m，则横坐标为 1+m，所以 m（ 1+m） =1 ，5151解得 m1=2， m2=25151由于 m=2不合题意，所以应舍去，故 m=25151511+m= 2故点 E 的坐标是（2，2）15、解：分别过点 A 、 B 作 x
22、 轴的垂线，垂足分别为D、 E，再过点 A 作 AF BE 于 Fk则 AD BE， AD=2BE= a ， B 、 E 分别是 AC 、 DC 的中点在 ABF 与 CBE 中， ABF= CBE ， F= BEC=90 ， AB=CB ， ABF CBE S AOC=S 梯形 AOEF=6 kk又 A （a， a ）， B（ 2a， 2a ），11k 3k S 梯形 AOEF= 2 （ AF+OE ） EF= 2（ a+2a）a = 2 =6，解得： k=4故答案为： 416、解：方法1：设 B 点坐标为（ a， b），学而思九年级数学教材11 OD： DB=1 ： 2，D 点坐标为（3
23、a， 3 b），根据反比例函数的几何意义，11 3 a?3 b=k ， ab=9k ，k BC AO ， AB AO ， C 在反比例函数y= x 的图象上，设 C 点横坐标为 m，则 C 点坐标为（ m，b）kkk将（ m， b）代入 y= x 得， b= mm= b ，kBC=a- b ，又因为 OBC 的高为 AB ，1k所以 SOBC= 2 （a- b ） ?b=3，1kk所以2 （ a- b ） ?b=3，（a-b ） b=6 ，ab-k=6，把代入得，39k-k=6 ，解得k=4 方法 2：延长 BC 交 y 轴于 E，过 D 作 x 轴的垂线，垂足为F由 OAB 的面积 = OB
24、E 的面积， ODF 的面积 = OCE 的面积，113可知，ODF的面积 = 8 梯形DFAB=8 BOC的面积= 8 ，133即 2 k=8 ，k=4 17、9解：OAPB是正方形，点P 的横纵坐标相等，且点P 在函数y=x 上，点 P 的坐标为（3， 3）设 F 点的坐标为（x， y） ADF是等腰直角三角形， y=x-3 ，9335353将其代入函数y x 中，得 x=2， y=2，学而思九年级数学教材335353点 F 的坐标为（2，2）18、解：（ 1）作 P1B OA1 于点 B ，等边 P1OA1 中， OA1=2 ， OB=1 ， P1B=3 ，k把 P1 点坐标（1，3 ）
25、代入yx ，3解得：k3 ， yx；（ 2）作 P2C A1A2 于点 C，等边 P2A1A2 ，设 A1C=a ，则 P2C=3 a， OC=2+a ，3把 P2 点坐标（ 2+a，3 a）代入 yx ，即： (2+a)3 a3 ，解得 a1 2 - 1， a2-2 - 1（舍去）， OA2=2+2a=2 2 ，A2 （ 22 ，0）19、3解：设点 A 的坐标为（ a， 4 a），AO BC =2 ，取 OA 的中点 D ，9点 B 相当于点 D 向右平移了2 个单位，13点 D 的坐标为（2 a， 8 a），913 B 点坐标为（ 2 + 2 a， 8 a），k点 A， B 都在反比例函数y= x 的图象上，3913 a4 a=（ 2 + 2 a）8 a学而思九年级数学教材解得 a=0（ 0 不合题意，舍去） ，a=3，992727点 A 的坐标为（3， 4）， k=3 4 = 4 ，故答案为： 4 20、解：过 A 点作 AE y 轴，垂足为 E，1点 A 在双曲线 y x 上，四边形 AEOD 的面积为1，y3点 B 在双曲线x 上，且 AB x 轴，四边形 BEOC 的面积为3，四边形 ABCD为矩形，则它的面积为3-1=2故答案为： 221、解：设 A （ x， y），
