1、奇函数与偶函数地性质及其应用1 奇函数地性质及其应用奇函数地性质 设是奇函数.(1)若有意义，则；(2)若，则；(3)若函数有最大(小)值，则函数有最小(大)值，且函数地最大值与最小值互为相反数.证明 (1)在恒等式中，令后，可得.(2)可得.(3)这里只证明结论：若函数有最大值，则函数有最小值，且函数地最大值与最小值互为相反数.设函数地定义域是D，得.因为奇函数地定义域D关于原点对称，所以，得，所以函数有最小值(为)，且函数地最大值与最小值互为相反数.题1 (普通高中课程标准实验教科书数学1必修A版(人民教育出版社，2007年第2版)第83页第3(2)题)是否存在实数a使函数为奇函数？解 由
2、奇函数地性质(1)，可得.还可验证：当时，即是奇函数.所以存在实数使函数为奇函数.题2 (2007年高考安徽卷理科第11题)定义在R上地函数既是奇函数，又是周期函数，是它地一个周期，若将方程在闭区间上地根地个数记为，则可能为( )A.0 B.1 C.3 D.5解 D.可证.所以由奇函数地性质(1)，可得，得方程在闭区间上有根.题3 若函数是常数)满足，则.解.因为函数是奇函数，所以由奇函数地性质(2)，可得.又，所以.题4 函数地最大值与最小值之和为_.解 0.因为可证是奇函数，再由由奇函数地性质(3)，可得答案.题5 函数在-m,m(m0)上地最大值与最小值之和为_.解 2.可得是奇函数，且
3、函数在-m,m(m0)上地最大值、最小值之和是0，所以函数在-m,m(m0)上地最大值与最小值之和为2.题6已知函数在区间上地值域为，则.解 4.可证得.设，所以是奇函数，且其在区间上地值域为.由奇函数地性质(3)，可得.题7 若函数地最大值与最小值分别是M,m，则( )A.M-m=4 B.M+m=4 C.M-m=2 D.M+m=2解 D.可得.可得是奇函数，且函数地最大值、最小值分别是.由奇函数地性质(3)，可得.2 偶函数地性质及其应用偶函数地性质 (1)若函数是偶函数，则恒成立；(2)若偶函数f(x)在处可导，则；(3)若偶函数f(x)地定义域是(可得关于原点对称)，是数集地关于原点对称
4、地两个子集，则函数f(x)在数集上地值域相同.证明(1)当且时，；当且时，.所以欲证结论成立.(2)由题设，可得所以(3)由偶函数f(x)地图象关于y轴对称，立得欲证结论成立.题8 (2014年高考全国新课标卷II理科第15题)已知偶函数f(x)在0，)单调递减，f(2)0，若f(x1)0，则x地取值范围是_解(1，3).由题设及偶函数性质(1)，可得f(x1)0题9 (2015年高考全国卷II文科第12题)设函数f(x)ln(1|x|)，则使得f(x)f(2x1)成立地x地取值范围是()A. B. C. D.解A.易知f(x)是偶函数，且当时，f(x)ln(1x)是增函数(因为两个增函数之和
5、是增函数)，所以由性质1，可得f(x)f(2x1)题10 已知函数f(x)是定义在R上地偶函数，且在区间上单调递增.若实数a满足，则a地取值范围是( )A.1,2 B. C. D.(0,2解 C.由题设及偶函数性质(1)，可得题11 (2014年高考湖南卷文科第15题)若f(x)ln(e3x1)ax是偶函数，则a_解.由题设及偶函数性质(2)，可得题12 (2015年高考全国卷I理科第13题)若函数f(x)xln(x)为偶函数，则a_解 1.由题设及偶函数性质(2)，可得题13 (2015年高中数学联赛湖北省预赛高二年级第8题)函数地值域是.解.可得函数f(x)地定义域是.由偶函数性质(3)知
6、，所求答案即函数地值域.设，得，由此可得函数是函数值为非负数地减函数.又函数也是函数值为非负数地减函数，所以函数是减函数.所以所求答案即.题14 (2013年高中数学联赛安徽赛区初赛第1题)函数地值域为.解.可得函数f(x)地定义域是.由偶函数性质(3)知，所求答案即函数地值域.当时，函数是减函数，得此时地取值范围是.当时，可设，得此时(其中是锐角且，可得)得此时地取值范围是即也即. 所以所求答案即即.题15 (2013年高中数学联赛湖北省预赛高一年级第5题)函数地最小值为.解.可得函数y是偶函数且是以为一个周期地正确函数，所以只需求函数y在上地最小值.由偶函数性质(3)知，只需求函数y在上地
7、最小值.当时，.设，得，所以 进而可得所求答案为.版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.用户可将本文地内容或服务用于个人学习、研究或欣赏，以及其他非商业性或非盈利性用途，但同时应遵守著作权法及其他相关法律地规定，不得侵犯本网站及相关权利人地合法权利.除此以外，将本文任何内容或服务用于其他用途时，须征得本人及相关权利人地书面许可，并支付报酬.Users
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