1、难点一 分段函数的性质、图象以及应用新课标下高考数学题中以分段函数为载体，考查函数的图像、性质等知识的习题倍受青睐.所谓的分段函数是指自变量 X 在不同的取值范围内对应关系不同的函数，由分段函数本身的特点，使得一个函数在各段上有不同的解析式，所以可将一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数、抽象函数融合在一个题目之中，考查多个知识点.因而分段函数已成为高考命题的一个热点. 纵观近几年高考对于分段函数的性质、图象的考查，重点放在函数的奇偶性、周期性以及函数的零点问题与分段函数结合上；要求学生有较强的抽象思维能力、作图能力以及准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分
2、知识是学生掌握比较模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目本身就是压轴题确实不易之外，主要是学生的作图能力普遍较弱，还有就是没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理. 本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.1 分段函数与函数值分段函数:定义域中各段的 与 的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的.分段函数是一个函xy数，定义域、值域都是各段的并集.分段函数中的问题一般是求解析式、值域或最值，讨论奇偶性、单调性等.分段函数的处理方法:分段函数分段研究 .一般将具体函数或与抽象函数结合，通过考查对数、指数的运算形成的函数求值问题例 1 【2015 高考新
3、课标 2，理 5 改编】设函数 , .21log()1(),xxf2()log1)ff思路分析：首先注意到 ， ，又 ，所以12()log43f 2l，从而可以求出最终的值.22loglog62(l)f点评：分段函数的对应关系是借助几个不同的表达式来表示的，在求值时代入哪个解析式，一定要看清自变量的取值在哪一个区间上，从而选定相应的关系式代入计算，同时还要注意函数的周期性、奇偶性等，特别要注意分段区间端点的取舍来源:Z*xx*k.Com2 分段函数与图象：分段函数的图象分段画.例 2【浙江省杭州外国语学校 2015 届高三上学期期中考试数学理科试卷】函数 的2|log|1()|xf图象为 .思
4、路分析：先简函数得 ，分段可画出函数图象.10,xf点评：化简函数解析式是作出函数图象的关键3 分段函数与方程已知函数值求自变量 或其它参数的值的问题，一般按自变量 的取值范围分类讨论，通过解方程而x x得到 .例 3 【2015 高考江苏，13】已知函数 ， ，则方程|ln)(xf1,2|4|0)(xg1|)(|xgf实根的个数为 思路分析：由 ，所以 ，从而 ，即 或1|)(|xgf ()1fxg()1()gxfx()1()gfx，只需画出 与 以及 与 的图像，先画出()1gxf()y()yf()y()yf与 的图像， 再通过函数图像平移、对称变化画出以上两种情况下的图像，通过观察交点f
5、个 数即可得出实根个数.点评： 分段函数的对应关系是借助几个不同的表达式来表示的，要将方程化为几个具体的方程来解决一些对数型方程不能直接求出其零点，常通过平移、对称变换转化为相应的函数图像问题，利用数形来源:Zxxk.Com结合法将方程根的个数转化为对应函数零点个数，而函数零点个数的判断通常转化为两函数图像交点的个数这时函数图像是解题关键，不仅要研究其走势（单调性，极值点、渐近线等） ，而且要明确其变化速度快慢.4 分段函数与不等式将分段函数与不等式结合，考查函数单调性及解不等式知识，体现分类讨论思想.例 4 【2016 届山东省淄博实验中学高三第一次诊断性考试】已知函数 ，若01ln2xxf
6、，则 的取值范围是 .fxa思路分析：对于分段函数，需要根据 的不同取值，带入不同的表达式，当 时，x 0x，02xxf于是由 得 ，再根据恒成立，只需 ， ，从而解出afax20f02a；当 时，按照以上方法同样可以求出，最终满足以上两个条件得出 .2a0x 点评：分段函数的对应关系是借助几个不同的表达式来表示的，方程 需按自变量 的取值范围fxax分类讨论，将不等式化为几个具体的不等式来解决5 分段函数与零点来源: 学科网解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利 用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解例 5 【2016 届河北省邯郸市一中高三一轮考试
7、二】已知函数 ，若关于 的2|ln,041xfx方程 有 8 个不同的实数根，则 的取值范围是 20,fxbfcbRbc思路分析：先画出函数 的图象，由图象观察出 与图像的交点 个数，令2|ln,041xf 1y，从而讨论 的根的情况，最后用线性规划的思想求出 的取值范围.()tfx2cbt bc显然当直线过点 O 时截距最小即 z 最小，当过点 P（2 ，1）时，截距最大即 z 最大，但因为不等式组表示的区域不包含点 O，点 P，所以 ),(30点评：方程解的个数问题解法：研究程 的实根常将参数移到一边转化为值域问题 （1）已知含参xg数方程 有解，求参数范围问题一般可作为代数问题求解，即对
8、 进行参变分离 ，)(xg0 )(xg0得到 的形式，则所求 a 的范围就是 的值域 （2）当研 究程 的实根个数问题，fa )(xf即方程 的实数根个数问题时，也常要进行参变分离，得到 的形式，然后借助数形)(xg0 )(xfa结合（几何法）思想求解 （3）将方程化为形如 ,常常是一边的函数图像是确定的，另)(xhf一边的图像是动的，找到符合题意的临界值，然后总结答案即可本题即为该法6 分段函数与解析式分段函数是定义域中各段的 x 与 y 的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的 .因此求解析式时，也是分段求解析式的.例 6 对定义域分别为 12,D的函数 (),()fgx，规定：函数，若
9、 )2(3)(,1(2)( xxgf 则 (h的解12,fxgxh且且且析式 ()hx= 思路分析：由不同条件下 的表达式不同，写出各段表达式，根据不同定义域的情况，写出对应的表达()hx式.点评：分段函数解析式要根据不同定义域写出相应的解析式.7 分段函数与周期和最值分段函数的值域是各段值域的并集，最大值是 各段最大值中的最大者是函数的最大值，最小 值是各段最小值中的最小者，一般可借助于图像来解决.例 7 【2016 届江西省临川一中高三上学期期中理科数学试卷】已知函数23log(1)xxkfxa，若存在 使得函数 fx的值域为 0,2，则实数 a的取值范围来源:Zxxk.Com是 思路分析
10、：本题告知我们函数 的值域，求 a 的范围，需要先研究 的单调性，从而求出 k 的取值()fx ()fx范围，再考虑 的单调性问题，求出 .3()2g1,3解析：因为 在 上是减函数，所以 ，由函数2lo1yx1,)k22log()log(1)kxfx为值域知 ，解得 令 ，则 2log(1)0k12k3()2gx2()3gx，知 在 上为减函数，在 为增函数又由 ，得3()xx(,),，且 ，则必有 如图所示易知 00)32g102k1,3a点评：本题解答如果不能正确作出函数的图象就无法利用数形结合法直观求解，同时如果确定出函数图象后，不能正确求得切线 的取值范围也不能得到正确的结果，因此解
11、答本题的关键是求出 的范围，k k不然会误认为 0,3a例 8 【重庆市第一中学 2015 届高三上学期第二次月考，理 13】已知定义在 R 上的函数 满足：()fx且 ， ，则方程 在区间来源:Zxxk.Com2,01),()xf(2)(fxf25)xg()fxg ，1上的所有实根之和为_5思路分析：由题意得： 在区间 上为奇函数且为增函数，由 得 周期为 2，()fx1,(2)(fxf)fx，在同一坐标系中分别 和 图象，然后注意的 图象的对称25()=+2gx()fxgg中心为（ 2，2）即可求出所有实根之和.点评：分段函数结合周期性以及对称性的问题，要特别注意周期性、对称性的应用综合上
12、面的七种类型，解决分段函数函数问题类型，涉及到很多数学思想主、方法；分段函数首先是函数，且是一个函数，不是多个函数；分段函数的处理方法:分段函数分段研究；解题中务必看清自变量在哪一段，该代哪个 解析式，这样就要分段讨论、求解，即要重视分类讨论思想在解题过程中的应用.1.练高考1.【2015 高考浙江，理 10】已知函数 ，则 ， 的最小值是 23,1()lg)xf(3)f()fx【答案】 ， .03-22.【2015 高考福建，理 14】若函数 （ 且 ）的值域是 ，6,23log,axf0a14,则实数 的取值范围是 a【答案】 来源:Zxxk.Com(1,2【解析】当 ，故 ，要使得函数
13、的值域为 ，只需x64()fx4,（ ）的值域包含于 ，故 ，所以 ，所以1()3logaf2,1a1()3log2afx，解得 ，所以实数 的取值范围是 l241(,23. 【20 15 高考天津，理 8 改编】已知函数 函数 ，其中2,xf2gxbfx，若函数 恰有 4 个零点，则 的取值范围是 .来源:学科网 ZXXKbRyfxgb【答案】 7,244. 【2015 高考山 东，理 10 改编】设函数 则满足 的 取值范围是 31,2xf2faf【答案】 2,3【解析】当 时， ，所以， ，即 符合题意.1a21af2faf1当 时， ,若 ，则 ，即： ，所以3ffaf f23,3a适
14、合题意综上， 的取值范围是 .213aa2,35. 【2015 高考新课标 2，理 10】如图，长方形 的边 ， ， 是 的中点，点 沿ABCD21BCOAP着边 ， 与 运动，记 将动 到 、 两点距离之和表示为 的函数 ，则BCDAOPxx()f的图像大致为 ()yfx(D)(C)(B)(A)xy4 2 34 223424yxxy4 2 34 223424yx【答案】B6 .【2015 高考湖南，理 15】已知 ，若存在实数 ，使函数 有两个零点，32,()xafb()gxfb则 的取值范围是 .a【答案】 .),1(0,(【解析】x试题分析：分析题意可知，问题等价于方程 与方程 的根的个
15、数和为 ，)(3axb)(2axb2若两个方程各有一个根：则可知关于 的不等式组 有解， ，从而 ；bab3123ba1若方程 无解，方程 有 2 个根：则可知关于 的不等式组 有解，从而)(3axb)(2axbbab31，综上，实数 的取值范围是 .0a ),1(0,(2.练模拟1. 【2016 届山东省廊坊月考试题】已知函数 ，若 ，则20xf21faff的取值范围是 a【答案】 1,2 【2016 届四川宜宾市诊断考试数学 】设函数 ，若存在唯一的 ，满足0,log2)(xxf x，则正实数 的最小值是 axf28)(【答案】 来源:学& 科&网 Z&X&X&K41【解析】试题分析： 为
16、分段函数，易得其值域为： ，又因为 值域为： ，fxR20xf,1，其值域为 ，所以 值域为 上有两个解，所以若存在唯一的 ，满足2log,0ffx0,1x，须使 ，即 解得： ，所以当 时，若存在唯()8xaff4x4一的 ，满足 ，所以 解得： （舍去）或 ，所以2()0fxa28a12a1a的最小值为： .143. 【四川省成都七中 2015 届数学阶段性测试，理 6】函数 的图象是 ln|si|,0)(,2yx【答案】B来源:Zxxk.Com4. 【2016 届辽宁省朝阳市三校联考】已知函数 在区间 上23,0,0xfax,是增函数,则常数 的取值范围是 a【答案】 1,2【解析】试题
17、分析：若 在 上是增函数，易判断 在区间 单调递增，函数fx,2yx0,在 单掉递增，所以只需满足 ，解得： ，所以答案为32yxa03a12aC5.【2016 届湖南省东部株洲二中六校 12 月联考】已知函数 ，若函数2,041xf恰有 个零点，则 的取值范围是 2gxfaxf6aA B C D0,31,32,30,2【答案】 2,6. 【广东实验中学 2015 届高三上学期第一次阶段考试数学，理 8】已 知关于 的方程 在xcosxk有且仅有两根，记为 ，则命题 ， ，(0,),()2sincos2in， 中正确的是 2sinsin2cosi【答案】【解析】由 ，即得方程 在 上有两个不同
18、的解，作出 的图象，cosxkcosxk(0,)cosyx可见，直线 与 在 时相切才符合，此时 有ykxcosx(,)2cosyx，又 ， .sinx cos|k2cosininin3.练原创1. 设函数 对于所有的正实数 ，均有 ，且 ，则使得()fxx(3)(fxf()1|2|(3)fxx的最小的正实数 的值为 ()2014fx【答案】416.【解析】2已知函数 ，若存在实数 ， ， ， ，满足 ，且2|log|,0()sin()14xf1x234x1234x，则 的取值范围是 1234()()fxffxf3412()x【答 案】 .0,【解析】试题分析：由题意得， ，又 ，122121
19、2()logl0fxfxx34()(0,1)fxf即 ， ， ，3434sini4x34334 .3434312()2()(12)0(,12)xxx3. 已知奇函数 和偶函数 分别满足 ， ，()fx()gx()()1xf2()4(0)gxx若存在 实数 a，使得 成立，则实数 b 的取值范围是 fb【答案】 (3,1)(,【解析】 为奇函数，且()fx21(0)()xf 的图象关于原点对称，如右图，()fx当 时， 取最大值 ，且为 1；当 时， 最小，且为 0x(1)f 0x(1)f1 为偶函数，且 ，()g24(gx 的图象关于 y轴对称，如图，且 ，()gx 2()4|gxx存在实数
20、a，使得 成立，来源: 学科网()fb ，即 ，1| b|3 ，()1gb24|1 b3 或-3b -1，b 的取值范围是（1 ，3）（-3，-1） 4. 已知函数 是定义域为 R的偶函数. 当 时，若关于 x的方程()yfx0x25(0)16()xf， 有且仅有 6 个不同实数根，则实数 的取值范围是 2()()0fxafb,aa【答案】 59,1)45. 已知两条直线 :y=m 和 :y= (m0)， 与函数 的图像从左至右相交于点 A,B, 与函1l2l811l2logyx2l数 的图像从左至右相交于 C,D.记线段 AC 和 BD 在 X 轴上的投影长度分别为 a,b,当 m 变化时，2logyx的最小值为 ba【答案】 82
