1、目录摘要1关键词 .1Abstract 1Key words 1引言 11 分段函数的连续性 21.1 用定义法判断函数在分界点处的连续性 21.2 用定义的 语言判断分段函数的连续性 32 分段函数在分界点处的可微性 42.1 利用导数定义判断分段函数在分界点处的可导性42.2 利用命题“函数 在 可导 ”判断分段函数 在分界点()fx000()fxf()fx处的可导0x性 42.3 利用导数极限定理讨论分段函数在分界点处的可导性 53 分段函数的可积性 73.1 分段函数的不定积分与定积分 73.1.1 分段函数的不定积分 73.1.2 分段函数的定积分 83.2 分段函数可积性的有关结论
2、 93.3 典型分段函数的讨论 10参考文献 12致谢 12本科生毕业论文2有关分段函数的分析性质的讨论摘要 通过对分段函数连续性、可微性与可积性的讨论，不仅给出了判断分段函数是否连续、可微及可积的方法，而且讨论了几个典型且重要的分段函数（如：狄利克雷函数与黎曼函数）.通过讨论可得出分段函数在微积分中所具有的十分重要的作用:利用分段函数来判断有关命题的真假（举正、反例）.关键词 分段函数 分界点 连续性 间断点 可微性 可积性About the Discussion of the Analysis Features Of the Segments-divided Function Abstra
3、ct In this paper,based on the segments-divided function continuity,differentiability and integrability discussion.Segments-divided function not only gives the boundary points are continuous,differentiable and integrable method,but discussed several typical and important segments-divided function(for
4、 example,Dirichlet function and Riemannfunction).Segments-divided function can be obtained through discussions in the calculus,which has the very important role. We can use the segments-divided function to determine whether the proposition is true or not(give positive and negative cases).Key words S
5、egments-divided function Demarcation point continuity Discontinuities Differentiability Integrability.引言 在微积分及数学分析中，讨论分段函数在分界点处的连续性、可微性及可积性是相当重要的知识点.分段函数，是指当自变量在不同的范围内取值时，对应法则不能用一个公式，而是用不同的式子来表示的函数，例如 类似的分段函1sin,0().xf，数在微积分理论中随处可见，并具有十分重要的作用，比如举正反例常用到分段函数，本文将对分段函数的连续性、可微性、可积性进行讨论.本科生毕业论文3我们知道在讨论分段函
6、数连续性时须利用连续的定义判断，这就告诉我们必须掌握好函数在分界点处的左、右极限，以及其与函数在分界点处的函数值、函数在分界点处连续之间的关系,即左、右极限相等并且等于函数在分界点处的函数值时才连续.在各种版本的教材中，虽然例题各不相同，但在讨论分段函数在分界点可微性时都可利用左、右导数的原始定义及有关可导的充要条件来判断.但必须注意函数在不连续的分界点处一定不可导，而对于连续的分界点，函数可能可导也可能不可导.对于求分段函数的不定积分和定积分时须掌握原函数定义 及()Fxf其具有的连续性的性质；要掌握关于可积的有关重要结论，而且要特别注意分段函数在积分论中所体现的十分重要的作用.1 分段函数
7、的连续性分段函数是以某些点（分界点）为界用不同的表达式来表示的函数，而在各分段区间上一般是初等函数，在其定义区间上连续，所以讨论分段函数的连续性实质上是讨论它在分界点处是否连续.1.1 用定义法判断函数在分界点处的连续性先求 在分界点 处的左右极限 与 ，再与 在此点()fx0x0lim()xf0li()xf()fx的函数值 比较，若 与 相等并且等于 ，则 在点00li()xf0 0连续，否则在点 间断.0x下面对间断点进行简单讨论.间断点分为第一类间断点及第二类间断点，其中第一类间断点又可分为可去间断点和跳跃间断点.（1）可去间断点 若 = ，而 在点 无定义，或有定义0limx()fA(
8、)fx0但 ,则称 为 的可去间断点.例如，对于函数0()fxA0()f因为 ，所以 为 的可去间,sgnxf0li()1(0)xff0x()f断点.本科生毕业论文4（2）跳跃间断点 若函数 在点 的左右极限都存在，但()fx0，则称点 为函数 的跳跃间断点.例如，符号函数0lim()xf0li()xf0因为 ， ，即 ，1,sgn,x0limsgn1x0lisgn1x0limsgnx0lisx所以 为 的跳跃间断点.0sgn（3） 第二类间断点 函数的所有其他形式的间断点，即使得函数至少有一侧极限不存在的那些点称为第二类间断点.例如，狄利克雷函数其定义域 上每一点 都是第二类间断点.1,()
9、0xD为 有 理 数 ,为 无 理 数 Rx例 讨论函数 的连续点、间断点及11, 7,7() 1sin(),1fxx=其类型.解 因为 ， 且 ，11lim()lisi()xxfx11lim()lixxf()1f所以 ，所以 是 的连续点.1li()xf因为 不存在， ，77lix 77li()lixxf所以 为 的间断点，为第二类间断点.x()f故 在 时处处连续.1.2 用定义的 语言判断函数的连续性语 ：若对任给的 ， ，使得当 时有2言 00x，则称函数 在点 连续.0()fx()fx例 证明黎曼函数 在321,(,)()001()ppxqqR为 既 约 真 分 数 ，和 内 的 无
10、 理 数内任何无理点处都连续，任何有理点处都不连续.0,1本科生毕业论文5证明 设 为无理数， （不妨设 ）满足 的正整数0,1012q只有有限个（但至少有一个，比如 ）使得 的有理数 只q 2q()Rxx0,1有有限个（至少有一个，如 ） ，并设为 ， ， 取1n，则对 ，当 为有12min(,.,)nxxx;,Ux理数时有 ，当 为无理数时 .)R(0R于是，对 ，总有 ，由x;U)()()xxRx的任意性知 在任一无理点 处都连续.()设 为 内任一有理数，取 ，对 （无论多么小） ，在pq0,1012q0内总可取到无理数 ，使得 ,(;)U,x01()pRxq所以 在任何有理点处都不连
11、续.Rx2 分段函数在分界点处的可微性分段函数在分界点处的可微性只需判断分段函数在分界点处是否可导即可.2.1 利用导数定义判断分段函数在分界点处的可导性利用导数定义判断分段函数 在分界点 处可导性是一种基本方法，直()fx0x接考虑极限 的存在性即可.00()limxfx例 讨论函数 在 处的可导性.4321sin,()0xf， 0解 因为 ，所以 在 连续.0li()()xff()f因为 ，0limx2001sin1limlimsnx xff所以 在 可导且 .()f()f2.2 利用命题“函数 在 可导 ”判断分段函数 在000()ff()fx本科生毕业论文6分界点 处的可导性0x利用此
12、方法判断分段函数 在分界点 处的可微性要分别讨论 在()fx0x()fx处的左、右导数，根据导数与单侧导数的关系研究其可导性.0x例 讨论函数 在 处的可导性.141cos,()0xfx解 因为 ，00lim,li(),()xxfff所以 ，即 在 连续.0li()xf()因为 fxf1cos,0,x所以 ，0 01cos sin()lim()lm1x xf 满 足 洛 必 达 法 则 条 件，所以 ， 0)ff（ ）从而 在 处不可导.()f2.3 利用导数极限定理讨论分段函数在分界点处的可导性定理 设函数 在点 的某邻域 内连续，在 内可导，且51()fx00()Ux0()x极限 存在，则
13、 在点 可导且 .0lim()xf f0limxf例 研究函数 在分界点 与 处的可导性.65()fx123,0,xe 1x解 因为 ， 且 ，00li()limxxf200li()lixxf(0)f所以 =0= ，即 在 处连续.0lim()xf同理可得 在 处连续.fx1在各区间内分别对 求导，得 =()f()fx12,03,ex因为 ， ，00lim()li2xxf00lim()lixxf本科生毕业论文7所以 ，所以 即 在 处可导.00lim()li()xxff(0)f()fx0因为 ， ，11xe11limli2xx所以 ，所以 在 处不可导.li()xf1li()xf()f注 利用
14、此方法时必须先验证 在分界点处连续，否则会产生错误结。 x果.例如考察函数 在 处的可导性.虽然cos,0()1fx， ，但是 在 处是00lim()licsinxxf00lim()li1xxf ()fx0不可导的，因为 在 处不连续()fx.0000li(),li1,li()li()xxxxf ff 即运用此方法还存在另一局限性，即虽然 在点 连续但其分段一2。 fx0阶导数在 的左、右极限若不存在的话也无法利用此方法.下面分两种情况进行讨0x论：（1） 若 及 都不存在,并不能说明 在点 不可导，0lim()xf0li()xf ()fx0如： 21sin,().fx分析 因为 ，所以 在
15、处连续.2001li()lisn(0)xxf f()fx0因为 即 ，000limlilimsxxxf ()f所以 在 可导.()f而 2112sincosincosxxx所以 与 均不存在.0li()xf0l()f（2） 若 与 一个存在一个不存在，则说明左、右极限0imx0li()xf本科生毕业论文8不相等，进而 在 不可导，如： ()fx0 2,0().xf分析 因为 ，00limlixxf200limlixxf所以 ，所以 在 连续。0li()xf()()f ()对 分段求导，得()f 1,()20xfx所以 ， ，001lim()li2xxf00lim()lixxf所以 ，所以 在
16、不可导.00lili()xxfff利用导数极限定理讨论分段函数的可导性时要求 或 存0lim()xf0li()xf在才可行，否则无法进行.由以上讨论，可得出判断分段函数 在分界点处的可微性的一般思路是：若 在 处不连续，则 在 处不可导；0x ()fx0()fx0若 在 处连续，按分界点 的左、右侧不同解析式，利用单侧导数定义分()f00别求其左右导数，或按分界点左、右侧的导函数不同解析式分别求其左、右极限，只有当函数左、右导数或导函数左、右极限存在且相等时 在 处才可()fx0导.3 分段函数的可积性3.1 分段函数的不定积分与定积分分段函数在连续区间上是可积的，如何求其不定积分与定积分呢？
17、关键在于求分段函数的一个原函数 ，则 ，()Fx()()fxdFC.下面简单介绍其求法.()()bbaafxdFa3.1.1 分段函数的不定积分例 求7621xxd本科生毕业论文9解 令221,1,40()216,2,xxfxx所以 32123234,0,(),.xCxfxdxxC因为 在 ， 与 连续，所以 在 上连续.()fx10x2()fxR又因为连续函数有原函数，即存在 ，使得 且()F()fx在 连续，()Fx所以 1limx321)xClimx322()xC0 2( 0 32lix33)x2lix324()x得 即 21346C213419C令 ，得 则 为 的1C23419C()
18、Fx3232,1,0,1,2,9,xxxx()f一个原函数，所以 .21()xxdFxC3.1.2 分段函数的定积分本科生毕业论文10定理 若函数 在 上可积， 在 上连续，且除有限个12()fx,ab()Fx,ab点外有 ， ,则 在 上可积且 ，()Fxf()f,()()afxdFba这称为牛顿莱布尼茨公式，也常写成 .bbafxd例 求 ，其中171()fxd21,0,().xfe解 1f0110ffd0110xde.21xxe2e3.2 分段函数可积性的有关结论只有有限个间断点的有界函数必可积.(1)每个有第一类间断点的函数没有原函数.2证明 设 在 上只有有限个间断点，不失一般性，只
19、证明()fx,ab在 上仅有一个间断点的情形，并假设该间断点为 ，()fx,ab b，取 满足 且 ，其中 与 分别为002MmaMm在 上的上确界与下确界（设 ，否则 为常量函数，显然可()fx,ab ()fx积） ，记 在小区间 上的振幅为 ，则f,b，2Mm因为 在 连续，所以 在 上可积，()fx,ab()fx,ab所以存在对 的某个分割 使得 .,121,.nT2iTx令 ，则 是对 的一个分割，对于 有n121,.,n,abT， 所以 在 上可积.iiTTx()fx,设 为 的第一类间断点，且假设 在 有原函数，(2)0()fxf0,U本科生毕业论文11则 ，所以 .()Fxf00
20、000lim()li()()xxfFxFfx同理可得 ,00所以 在 连续.与已知矛盾，即假设不成立，()fx所以每个有间断点的函数没有原函数.（3） 积分区间具有可加性,即 在 上可积的充要条件是：对()fx,ab， 在 与 上均可积，且 .,cab()fxac,b()()cbaacfdfxfxd（4） 可积不一定有原函数，有原函数不一定可积.如 令 则 为只有有限个间断点的有界函数,1,0()sgn,.fxxsgnx所以 在 上可积.()f1,又因为 有第一类间断点，所以 没有原函数，sgnx()sgnfx即 在 上无原函数.()f,令 则 21sin,0(),.xg221sincos,0
21、()0, .xxg令 则 有一个原函数 ,但 在 上无界，()f()f()()f,1所以 在 上不可积.x1,由此可见，在 上 可积和有原函数是没有必然联系的两个不同概念.但ab()fx当 在 上连续时， 在 上可积等价于 在 上有原函数.()fx, ,ab()fx,ab3.3 典型分段函数的讨论例 证明狄利克雷函数 在 上有界但不可8 1,()0xD为 有 理 数 ,为 无 理 数 01积.有界函数不一定可积的反例证明 显然 .()1,x对于 的任一分割 ，由有理数和无理数在实数中的稠密性，在属于 的任0,1T T本科生毕业论文12一小区间 上，当取 全为有理数时， ；当取 全为无ii11(
22、)nniii iDxi理数时， .所以不论 多么小，只要点集 取法不同（全取10niiDxTi有理数或全取无理数） ，积分和有不同极限，即 在 上不可积.()x0,1例 证明黎曼函数 在9 1,()0ppqqfxx（ 为 既 约 真 分 数 ） ,以 及 内 的 无 理 数区间 上可积，且 .0,110()fd证明 因为 ，所以 使 ，,lim0q0q01即满足 的有理点 只有有限个，设为 个，包含这些点的小区间至多有1qpk个，在这些小区间上，有 .2kk取 使 ,所以 ，则 .0,1T22kx()0,1fxR因为 ，所以当取 全为无理点时使 ,(),fxRiif所以 .1001lim()0
23、niTfdfx例 证明 在 上可积.10,()00fx1证明 因为 在 上有界（ ） ，间断点为()fx,1(),fB，10,(,2.nx因为 ，所以对 有 ,lim00,n1(0)2U所以 在 上只有有限个间断点.()fx,12所以 ，即 的一个分割 ，使 .,fR,T2kTx本科生毕业论文13在 上加上 ，构成 的一个分法 ， T0,20,1T则 ，所以 .022kkkTxx()0,1fxR注 对分段函数可积性的讨论中，体现了分段函数在积分学中的作用，即分段函数常被用来举反例，从而来判断命题的真假.参考文献1 华东师范大学数学系编.数学分析M.3 版.北京：高等教育出版社，2001：73-
24、207-216.2 同济大学应用数学系编.微积分M.北京：高等教育出版社，1999:72. 3 朱正佑，秦成林编.数学分析M.上海：上海大学出版社，2001:122.4 曾艳妮.分段函数在连续的分界点处可导性的另一种判定J.湖北大学成人教育学院学报，2005,23（5）：45.5 刘文灿，刘夜英编.数学分析M.陕西：陕西人民出版社，2003：158.6 林远华.分段函数的连续性与可微性J.河池师范高等专科学校学报，2000,20（2）:28.7 程秀清.浅谈一元分段函数的分析性质J.晋东南师范专科学校学报，2004,21（2）:74.8 陈纪修，於崇华，金路编.数学分析M.2 版.北京：高等教
25、育出版社，2004:276.9 李成章，黄玉民编.数学分析M.北京：科学出版社,1999：235.10 刘玉琏，傅沛仁等编.数学分析讲义M.4 版.北京：高等教育出版社，2003:340.致谢感谢学院对我四年来的培养，感谢老师对这篇论文从选题、构思、资料收集到最后定稿的各个环节给予的指引和教导，使我对分段函数的分析性质有了更深刻的认识，并最终完成毕业论文，对此我表示衷心的感谢. 通过这一阶段的努力，我的毕业论文已接近尾声，作为一个本科生的毕业论文，由于经验的匮乏，难免有许多考虑不周全的地方，如果没有老师的悉心指导，完成本次毕业论文将变得十分困难.老师的这种一丝不苟的负责精神，使我深受感动.在此，请允许我向尊敬的老师表示真挚的谢意.本科生毕业论文14最后，还要感谢我的辅导员在这四年来对我的帮助与鼓励，以及院系的所有领导对我的栽培与支持.并向在百忙中抽出时间对论文进行评审，并提出宝贵意见的各位老师表示衷心的感谢，致以最崇高的敬意.
