分段函数的性质与应用.doc-道客多多

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2、与方程函数概念与基本初等函数20189函数满足，且在区间上，()fx(4)()ffxR(2,则的值为 cos,02,()1|,fxx-(15)f 分段函数、函数周期性【命题规律】分段函数是高考考查的重点和热点，主要考查分段函数求值、分段函数值域与最值、分段函数的图像与性质、分段函数方程、分段函数不等式等，考查分类整合、转化与化归、函数与方程、数形结合等数学思想与方法，考题多为填空题，难度为中档题或难题.【基础知识】若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数. 分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数分段函数是函数中比较复杂的一

3、种函数，其要点在于自变量取不同范围的值时所使用的解析式不同，所以在解决分段函数的问题时要时刻盯着自变量的范围是否在发生变化即“分段函数分段看” 【题型分析】【题型一】求函数值【例 1】(2017 盐城中学一模 )f(x)Error!则 f _.f(19)【解析】f log 3 2，f f( 2) 2 9.(19) 19 f(19) (13)【方法技巧归纳】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围【例

4、2】设函数，则的值为_cos,01xff103f【解析】由解析式可知，只有，才能得到具体的数值，时只能fx 0x依靠向正数进行靠拢。由此可得：f0x，而107412123433fffff21cos32f0932f【方法技巧归纳】含有抽象函数的分段函数，在处理里首先要明确目标，即让自变量向有具体解析式的部分靠拢，其次要理解抽象函数的含义和作用（或者对函数图象的影响）比如在本题中：可以立即为间隔为0,1xffx1 的自变量，函数值差 1，其作用在于自变量取负数时，可以不断直至取到正数。理解到这两点，问题自然迎刃而解。【练习】1.设函数 f(x)Error!若 f(f(a)2，则实

5、数 a_.【解析】当 a0 时，f(a)a 20，f(f( a)a 42a 222，解得a (a0 与 a 舍去)当 a0 时，f(a)a 22a2(a1)2 2210，f( f(a)(a 2 2a2) 22，此方程无解所以 a .22. (2016苏州暑假测试)已知实数 m0，函数 f(x)Error! 若 f(2m )f(2 m)，则 m 的值为_ 【解析】当 m0 时，2 m2，所以 3(2m)m (2m )2m，所以 m8；当 m2 ，2m0 时，由题2意得-(x-1) 21,解之得 0a,则实数 a 的取值范围是 . 12-1,0,1,0,0,=0,2-1,0, 0 时，令2ln x

6、0，解得 xe 2.所以函数 f(x)有两个零点【方法技巧归纳】令 f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点利用代数法求分段函数的零点时，一定要注意函数表达式所对应的自变量的范围，即通过解方程得到的零点一定要检验【例 8】(常熟中学 2018 届高三 10 月阶段性抽测（一）)已知函数的图象与函数的图象恰有三个不同的公共点，2, 5xaf2gx则实数的取值范围为_.a【解析】原问题等价于有三个不同的零点，hxfx由题意可得：，2, 3af而方程x+2=0 的解为 2,方程 x2+3x+2=0 的解为1，2；若函数有三个不同的零点，则，所以实数的取值范围hfx21aa为1,

7、2) 【方法技巧归纳】较复杂的函数零点个数问题，常转化为对应方程解得个数问题，再通过移项、局部分离等方法转化为两边都是熟悉函数的方程解得个数问题，再转化为这两个函数的交点个数问题，画出对应函数的函数的图象，恰当运用数形结合思想能准确快速地解决问题【练习】7.已知函数 f(x)Error!若函数 g(x)|f(x)|3x b 有三个零点，则实数 b 的取值范围为_解析:当直线与相切时，3yxb3(0)yx；当直线与相切时，；当直线6b3yxb24(04)yxx 14b与不相切，由图可知实数的取值范围为3yx24()1(,6)(,08. (2016镇江期末) 已知函数 f(x)Err

8、or!若关于 x 的方程 f(x)kxk 至少有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围为_【解析】如图，作出函数 f(x)和直线 y kx k 的图象，且直线 y kx k 过点(1,0)当直线 y kx k 与函数 f(x) x2 x 的图象相切时，有唯一公共点，此时切线的斜率为 1 k.又直线 y kx k 过点，即 k 时，函数 f(x)的图(12， 12) 13象与直线 y kx k 只有两个公共点则由图象可知，当 k ,且 k1 时，直线13y kx k 与函数 f(x)的图象至少有两个不同的交点，即原方程至少有两个不相等的实数根，故实数 k 的取值范围为 (1，)13， 1)

9、【课外检测】1已知，若，则 _.)0(,sin2)(xxf 3)(0xf0x1.解析：若，则，无解；若0f002sinsin2ff，则，由解析式可得：0fx2033xfx或02sin02函数，则不等式的解集是_34,21xf1fx思路：首先要把转变为具体的不等式，由于是分段函数，所以要fxfx对的范围分类讨论以代入不同的解析式：当时，x 2，可解得：或。所以或；当1341fx1x531x523x时，解得，所以，综上所述：22fx25,1,3x3.（2015山东）设函数，则满足的的取31,2xf2faf值范围是_3.解析：可将视为一个整体：，则有，

10、根据分段函数特fatfatf点可推断出，即，所以有或，解得： 1t1f 12a3123a4设函数 f(x) Error!，若 f(x)在区间m,4 上的值域为 1,2，则实数 m 的取值范围为_4.【解析】作出函数 f(x)的图像,当时,函数单调递减,且12()log()xf最小值为 ,则令 ,解得 ,当时,函数1f2log()x8x1在(-1,2)上单调递增,在2,+) 上单调递减,则最大24()3fxx值为 2,且 .1(),()3ff综上得所求实数 m 的取值范围为-8,-15.(2012江苏)设是定义在上且周期为 2 的函数，在区间上，()fxR1，其中若，则

11、的值为 01(2axfb ，，， ab， 13ffab6. 已知函数 f(x)= 若函数 g(x)=f(x)m 有 3 个零点,则实数2-1,0,-2-2,0,m 的取值范围是 . 7.(启东中学 2018 届高三上学期第一次月考 )已知函数 f(x)是以 4 为周期的函数，且当1x3 时，若函数恰有 1021,13xfyfxm 个不同零点，则实数 m 的取值范围为_.7.【解析】根据题意，得到的图象如下：fx由图可知，是偶函数，又恰有 10 个不同零点，即fxyfxm与的图象有 10 个交点，根据偶函数的特点，则在的图象yfxym 0x中，有 5 个交点，如图中红色直线

12、和蓝色直线就是两种极限情况。红色直线：过，则； 6,16蓝色直线：与区间处的曲线相切，342815yx所以只有一个解，解得，2815=xmxm68.(徐州市第三中学 20172018 学年度高三第一学期月考)已知函数，若存在唯一的整数，使得成立，则实2,0 31xfx0fxa数的取值范围为_ a.【解析】由得：当时，；当时，；0fxax()fxa0()fxa因为当时，，当时，，当时，2()1f2fx，因此当时，，不合题意；当时，；当0()fx0a,x 02a1时，，不合题意；当时，；当时，3a1,38a1x8x；因此的实数的取值范围为 ,2x ,2,

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