1、斯台沃特定理1 内容斯图尔特定理（或译作史都华定理、斯特瓦尔特定理、斯氏定理、斯坦沃特定理），又称为阿波罗尼奥斯定理： 任意三角形 ABC 中，D 是边 BC 上一点，连接 AD，则设 BC=a，AC=b，AB=c，BD=u，CD=v，AD=w，则另一种表达形式：即2 证明过点 A 作 AEBC 于 E, 设 DE = x(假设底边四点从左到右顺序为 B、D、E、C）则 AE2 = b2 - (v-x)2 = c2 - (u+x)2 = AD2 - x2若 E 在 BC 的延长线上，则 v-x 换成 x-v所以有 AD2 = b2 - v2 + 2vxAD2 = c2 - u2 - 2ux1*
2、u 式+2*v 式得AD2(u+v) = b2u + c2v - uv(u + v)故 AD2 = (b2u + c2v)/a - uv1)当 AD 是ABC 中线时， u = v = 1/2a AD2 = (b2+c2-(a2)/2)/22)当 AD 是ABC 内角平分线时， 由三角形内角平分线的性质， 得 u = ac/(b+c), v =ab/(b+c)设 s = (a+b+c)/2得 AD2 = 4/(b+c)2 *(bcs(s-a)3)当 AD 是ABC 高时， AD2 = b2 - u2 = c2 - v2再由 u+v = a得AD2 = 1/4a2(2a2b2 + 2b2c2 +
3、 2c2a2 - a4 - b4 - c4)证明方法 2：不妨设 角 ADB=。AD=t由余弦定理可得：c2=t2+u2-2tucos b2=t2+v2+2tvcos v+u 得：b2u+c2v=at2+auv整理即可得：t2=(b2u+c2v)/a-uv证毕3 推广角平分线长定理已知 AD 为三角形 ABC 的角分线，则 AD2=ABAC-DBDC中线定理（pappus 定理），又称阿波罗尼奥斯定理，是欧氏几何的定理，表述三角形三边和中线长度关系。 定理内容：三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的 2 倍。即，对任意三角形ABC，设 I 是线段 BC 的中点，AI
4、 为中线，则有如下关系：AB2+AC2=2BI2+2AI2或作 AB2+AC2=1/2BC2+2AI2中线定理即为斯台沃特定理在中点时的结论，可由斯台沃特定理直接得出。除如上给出的方法外，在此给出另外的两种常规证明方法：第一种是以中点为原点，在水平和竖直方向建立坐标系，设：A(m,n),B(-a,0),C(a,0)，则：(AD)2+(CD)2=m2+n2+a2 (AB)2+(AC)2=(m+a)2+n2+(m-a)2+n2=2(m2+a2+n2) (AB)2+(AC)2=2(AD)2+(CD)2)第二种是在不同三角形中，对同一个角用两次余弦定理，比如对图示中的B（或者C）在ABD 和ABC（或者ACD 和ABC）使用余弦定理，从而直接得到三角形边长的关系，进而得证。
