一 相似矩阵的基本概念 二 矩阵的相似对角化 4 2矩阵的相似对角化 一 相似矩阵的基本概念 例 设矩阵 一 矩阵相似的定义与性质 定义 设A与B都是n阶矩阵 如果存在可逆矩阵P 使 则称A与B相似 记为 2 对称性 3 传递性 证 定理1相似矩阵有相同的特征值 思考 相似矩阵有相同的行列式 证明 二 矩阵的相似对角化 定理2 设矩阵 则 证明 定理3n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量 证 充分性 设A有n个线性无关的特征向量 则 必要性设 则 则 设 是A的n个线性无关的特征向量 例1判断下列实矩阵能否化为对角阵 解 解之得基础解系 求得基础解系 解之得基础解系 故不能化为对角矩阵 解 解之得基础解系 所以可对角化 注意 即矩阵的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应 例3设矩阵 则 定理4矩阵A不同特征值的特征向量线性无关 证 设 当m 2时 设 则 线性无关 推论1如果矩阵A的特征值都是单特征根 则A与对角矩阵相似 证 设 是它们对应的特征向量 则 线性无关 所以 A与对角阵相似 推论3n阶矩阵A与对角矩阵相似 分析 设 则 例4设矩阵 对应的特征向量为 A有n个线性无关的特征向量 能与对角矩阵相似 例5设 求x与y应满足的条件 例6设 例7设A是3阶矩阵且I A 3I A I 3A均不可逆 证明
