1、三垂线定理及其应用,一、三线概念:平面的斜线、垂线、射影,如图PO是平面的斜线, O为斜足;,PA是平面的垂线, A为垂足;,AO是PO在平面内的射影.,性质定理,判定定理,性质定理,二、三垂线定理：在平面内的一条直线(a)，如果和这个平面的一条斜线(PO)的射影(AO)垂直，那么它(a)也和这条斜线垂直。,已知:如图,PO为平面的斜线, PA , a在平面内且垂直PO的射影AO.求证:aPO,证明:,1、三垂线定理描述的是斜线、射影、直线之间 的垂直关系.,2、a与PO可以相交，也可以异面.,3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和 平面内的一条直线垂直的判定定理.,说明：,4 、转化思想:空
2、间两直线的垂直问题转化为平面内 两直线的垂直问题.,练习：判定下列命题是否正确,(1)若a是平面的斜线、直线b垂直于a在平面内的射影，则ab。 ( ),2定理的关键找“平面的垂线”.,强调：1四线是对同一个平面而言.,(2)若a是平面的斜线，b是平面内的直线，且b垂直于a在内的射影，则ab。 ( ),三、知识运用,例1. 如图,PD平面ABC,AC=BC,D为AB的中点,求证ABPC.,P,A,B,C,D,证明: PD平面ABC, DC为PC在平面的射影,而ABC为等腰三角形, D为AB的中点, AB CD, AB PC,例2.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，连结 BD1，AC，
3、CB1，B1A，求证：BD1平面AB1C,DD1平面ABCD BD是斜线D1B在平面ABCD上的射影 ABCD是正方形ACBD (AC垂直射影BD)，ACBD1,同理:BA1是斜线BD1在平面ABB1A1上的射影 , AB1 BD1 而AC AB1 =A BD1平面AB1C,证明：连结BD、,A1B,例3.道路旁有一条河，彼岸有电塔AB，高15m，只有测角器和皮尺作测量工具，不过河能否求出电塔顶A与道路的距离？(测角器只能测水平面角),解：在道路边取一点C，,使BC与道边所成水平角等于90，,BC是AC的射影,且CDBC,CDAC (三垂线定理),因此斜线AC的长度就是电塔顶A与道路的距离。,
4、BC= a米，,再在道路边取一点D，使CDB=45,则CD=CB,可测得C、D的距离等于a米,D,45,例4.如图,长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2 , AA1= , E,F分别为AB和AD的中点,求平面A1EF 和平面ABCD所成二面角的大小?,A,B,C,D,E,F,A1,B1,C1,D1,解:,连接BD,AC,AC交EF于G,G,连接A1G,底面ABCD是正方形，ACBD, 而E,F为AB和AD中点, EFBD, EFAC,又因为AG为A1G在平面ABCD 上的射影.(由三垂线定理) EFA1G,则A1GA为二面角的平面角.,计算得:二面角的大小为:60o,三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。,四、小 结,2.定理的主要应用:证明线线垂直,线面垂直, 求点到线的距离,二面角大小,1.定理中四条线均针对同一平面而言,3.证明程序分三个步骤:“一垂二射三证”, 计算程序分三个步骤:“一作二证三算”.,
