1、# 22 传递函数,（一）1、概念 2、性质 （二）传递函数的推导方法 例 ； 例一； 例二 例三； 例四； （三） 机械阻抗分析法 （四）典型环节及其传递函数,# 22 传递函数的概念,设线性控制系统的输入为r（t），输出为c（t），则其输入输出微分方程的 一般表达式为：,a0+a1+.+an-1+anc(t)=b0+b1 +bm-1+bmr(t) (n m),dnc(t),dtn,dn-1c(t),dtn-1,dc(t),dt,dmr(t),dtm,dm-1r(t),dtm-1,dr(t),dt,# 22 传递函数的概念,假定初始条件为零，上式的拉氏变换为：,a0sn+a1sn-1+a n
2、-1 s+anC(s) =b0sm+b1sm-1+bm-1s+bmR(s)式中：C(s)=Lc(t) , R(s)=Lr(t),则:C(s)= R(s),b0sm+b1sm-1+bm-1s+bm,a0sn+a1sn-1+an1s+an,令: (s)= = ,b0sm+b1sm-1+bm-1s+bm,a0sn+a1sn-1+a n1s+an,B (s),A (s),则:C(s)= (s)*R(s),1、定义：设线性控制系统的输入为r（t），输出为c（t），在初始条件为0时，输出的拉氏变换C(s)与输入的拉氏变换R(s)之比为系统的传递函数。,# 22 传递函数的概念,2、性质,1）、传递函数是描
3、述系统（或文件）运动过程的一种数学模型，它和系统（或文件）的微分方程式完全对应的,由输入和输出的关系式,C(s)= (s)*R(s),可以看出，若输入R(s)一定时，则系统的输出C(s)完全由 (s)形式和参数决定。因此，传递函数 (s)反映了系统本身的特性。,# 22 传递函数的概念,2）、传递函数表征系统和元件本身的固有特性，它由系统的结构和参数决定而与输入信号无关，传递函数不反映系统的具体物理结构。,3）、传递函数通常是复变量S的有理真分式，它的分母多项式的最高次数 n ,高于或等于分子多项式的最高次数 m ，即 n= m。,4）、传递函数中的系数均为实数，通常把传递函数表示成：,# 2
4、2 传递函数的概念,(S)= ,K(sz1)(sz2)(szm),(sp1)(sp2)(spn),式中 : k传递函数的传递系数,Zi(i=1、2、m)传递函数的零点,Pi(i=1、2、n)传递函数的极点,零点、极点可以是实数、复数或零。若为复数则是成对等轭的。若加于系统的输入信号是单位脉冲函数，则输出量的时间响应函数等于该系统传递函数的拉氏反变换。,# 22 传递函数的概念,二、传递函数的推导方法,1、根据传递函数的定义求传递函数,1）写出系统的微分方程式。,2）假设全部初始条件为零，取微分方程的拉氏变换。,3）写出表示系统输出量 C(s) 与输入量R(s) 之比的有理分式，即为系统的传递函
5、数 (s) .,建立微分方程的一般方法,例一、求如图所示电传递函数。,R,C,i,Ur,Uc,解：列写电路方程组,Ur=R*i+（1/C）* idtUc=（1/C）* i dt,整理得：,令 RC=T 则：,在零初始条件下方程两边同时求拉氏变换：TSUc(s)+Uc(s)=Ur(s)整理得：Uc(s)TS+1=Ur(s)则：,建立微分方程的一般方法,例二、如图为一机械转动系统，系统的转动惯量为J，粘性阻尼系数为f，输出量为惯性负载的角速度 ，T（t）为作用到系统上的转矩。求系统的传递函数。,f,T（t）,J,1、输入T（t） 输出 ,2、应用牛顿第二定律,在零初始条件下方程两边同时求拉氏变换：
6、Jsw(s)+fw(s)=T(s)整理得： w(s)JS+f=T(s)则：,建立微分方程的一般方法,例二、如图所示，设支撑点a的位移为 yi（t），质量m的位移为yo（t），设k为弹簧的弹性系数，f为质量m运动时的摩擦系数，求系统的传递函数。,m,yi（t）,yo（t）,k,a,f,解：列写方程，得：,整理得：,在零初始条件下方程两边同时求拉氏变换：ms2Yo(s)+fsYo(s)+kYo(s)=kyi(s)整理得：Yo(s)ms2+fs+k=kYi(s)则：,建立微分方程的一般方法,例三、根据如图所示电路，求系统的传递函数。,R1,R2,C1,C2,i1,i2,Ur,Uc,U c1,解：根据
7、电路图，列写出相应的方程；,消去变量i1、i2,令T1=R1C1 ，T2=R2C2 ， T3=R1C2 得：,对方程两边同时求拉氏变换：,例四、求位置随动系统的传递函数,令：,则：,若外负载力矩为0，即ML=0则：,Ui,L,R,Uc,C,i,例五、求串联L R C 电路的传递函数,解：,在初始条件为0的条件下取拉氏变换得：,二、应用阻抗法求传递函数,1、电气元件的运算阻抗：是指在电气元件中流过电流i(t)时。若是两端电压为U(t)，且初始条件为0，则电压电流的拉氏变换之比。即：,或,（1）各种电气元件的运算电路图及运算阻抗,对于电阻元件,取拉氏变换得：,U(t),R,i(t),I(s),R,
8、U(s),电感,取拉氏变换得：,i(t),L,U(t),I(s),LS,U(s),电容,取拉氏变换得：,i(t),C,U(t),I(s),1/CS,U(s),(2)电气网络的等效变换,电阻抗的串联由几个运算阻抗串联组成的一段电路的合成运算阻抗，等于各个运算阻抗之和。,Z1,Z2,I(s),I(s),I(s),U1(s),U2(s),U(s),对于如图所示的分压电路，设电压ei和eo分别为输入量和输出量，则此电路的合成运算阻抗为：,即为从输入端看进去的回路的总阻抗，称为回路的输入阻抗。,Z1,Z2,Ei(s),I(s),Eo(s),输出元件上的阻抗即为回路的输出阻抗所以：,所以传递函数为：,#
9、22 传递函数的概念,例如：L R C 回路用阻抗法求其传递函数,L,R,C,Ui,Uc,Zi(s) = LS + R + 1/CS,Z0(s) = 1/CS,(s) = = = ,Z0(s),Zi(s),1/CS,LS + R + 1/CS,1,LCS2+RCS+1,# 22 传递函数的概念,电阻抗的并联,I(s),I1(s),I2(s),U(s),Z1(s),Z2(s), = + + ,1,Z+(s),1,Z1(s),1,Z2(s),# 22 传递函数的概念,例1、如图RLC电路，设电源内阻恒为0，外加负载阻抗为无限大，即电路与外部间无负载效应，电路输入电压为Ur，输出电压为Uc,试求取电
10、路的传递函数。,LS,Ur(s),R,ic,1/cs,Uc(s),# 22 传递函数的概念,求并联部分总阻抗1/Z+2(s) = 1/R + CS = (1 + RCS)/R,Z+2(s) = R/(1 + RCS),Z+(s) = LS + Z+2(s),Ur(s) = Z+(s)*I(s),Uc(s) = Z+2(s)*I(s),(s) = = ,Uc(s),Ur(s),Z+2(s),Z+(s),# 22 传递函数的概念,所以：,Ur(s),Uc(s),R,1 +RCS,LS + LRCS2 + R,1 +RCS,(s) = = ,= = ,R,LS + LRCS2 + R,1,LCS2
11、+ LS/R + 1,所以，对于混联网络的传递函数等于输出元件以及与之并联的各元件的总阻抗与输入阻抗之比。,# 22 传递函数的概念,例2、如图所示的滤波电路，输入为Ur,输出为Uc,求其传递函数。,R1 Z1,R2,C1,C2,Uc,Ur,Z2,Z3,Z4,# 22 传递函数的概念,解：Z+(s) = Z1(s) + Z2(s) = R1 + Z2(s), = + ,1,Z2(s),1,Z3(s),1,Z4(s),= + ,1,1/C1S,1,R2 + 1/C2S,= ,C1C2R2S2 + C1S + C2S,C2R2S + 1,Z2(s) = ,C2R2S + 1,C1C2R2S2 +
12、C1S + C2S,# 22 传递函数的概念,Z+(s) = R1 + ,C2R2S + 1,C1C2R2S2 + C1S + C2S,= ,C1C2R1R2S2 + C1R1S + C2R1S + R2C2S + 1,C1C2R2S2 + C1S + C2S,Uc(s) = Zc2(s)*I1(s),U2(s) = Z2(s)*I(s) = I1(s)* R2 + 1/C2S ,I1(s) = *I(s),Z2(s),R2 + 1/C2S,# 22 传递函数的概念,Uc(s) = *I(s),1,C2S,Z2(s),R2 + 1/C2S,Ur(s) = Z+(s)*I(s),(s) = =
13、,Uc(s),Ur(s),Z2(s)/(R2C2S + 1),Z+(s),= ,1,C1C2R1R2S2 + C1R1S + C2R1S + C2R2S + 1,# 22 传递函数的概念,例3、,R1,R2,R3,C,ei,e0,# 22传递函数的概念,解：Ei(s) = R1 + ,1,1,R2,+ ,1,R3 +1/CS,= R1 + ,1,1,R2,+ ,CS,R3CS + 1,= R1 + ,R2R3CS + R2,R3CS + R2CS + 1,= ,(R1R3 + R1R2 + R2R3)CS + R1 + R2,R3CS + R2CS + 1,# 22 传递函数的概念,E0 =
14、,1,1,R2,+ ,1,R3 + 1/CS,= ,1,1,R2,+ ,CS,R3CS + 1,= ,R2R3CS + 1,R3CS + R2CS +1,(s) = = ,E0(s),Ei(s),R2R3CS + 1,(R2R3+ R1R2+ R2R3)CS +R1+R2,# 22 传递函数的概念,例4、,R1,C1,R2,C2,ei,e,e0,解：Ei = R1 + 1/C1S + R2 + 1/C2S,R1C1C2S + C2 + R2C1C2S + C1,= ,C1C2S,E0(S)=R2+1/C2S =C2R2S/C2S,(S)= = ,E0(s),Ei(s),C1C2R2S,R1C1
15、C2S+C2+R2C1C2S+C1,2、机械阻抗分析法,概念 （1）机械阻抗的概念 （2）机械元件 （3）机械元件网络的等效转换 （4）机械阻抗串联 （5）例一； 例二； 例三； 例四； 作业；,# 22 传递函数的概念,2、机械阻抗分析法,（一）、机械元件的运算阻抗概念：机械元件上的作用力为F（t），而元件两端的相对运动速度为V（t）时，在初始条件为0的情况下，两者的拉氏变换之比，即为机械阻抗。Z（S）=F（S）/V（S）,# 22 传递函数的概念,（1）机械阻抗的概念,各类机械元件的运算阻抗求法如下：,对于机械阻尼系统,有：F(t) = fv(t) = f v1(t) v2(t) ,F(t
16、),f,V(t),去拉氏变换得：,# 22 传递函数的概念,F(s) = fv(s) = f v1(s) v2(s) ,则：Zf(s) = F(s)/V(s) = f,对于惯性元件,F(t),V(t),m,有：F(t) = m ,dv(t),dt,# 22 传递函数的概念,取拉氏变换得：,F(s) = mSV(s),Zm(s) = F(s)/V(s) = ms,对于机械弹性元件,有：F(t) = KY(t) = K V(t)dt,F(t),V(t),# 22 传递函数的概念,取拉氏变换得：,F(s) = K V(s),1,S,F(s),V(s),K/S,Zk(s) = F(s)/V(s) =
17、K/S,# 22 传递函数的概念,（2）对于机械元件,1）作用力通过元件的端点。,2）运动速度是指两端的相对速度。,3）设一端点接地时，则只剩一个独立端点，将它称为节点。因此，认为元件的作用力是作用在节点上。,4）元件的运动速度是节点速度,5）惯性物体设为刚体，作平移运动可当质点，任何一点可看成端点，是有相同速度。一端接地。,# 22 传递函数的概念,（3）机械元件网络的等效转换,1）并联网络,如图所示的质量弹簧阻尼器系统，可视为机械元件的并联网络。,F(t),K,f,m,F(s),K/S,f,ms,a,# 22 传递函数的概念,在机械网络中，各元件间只有一个公共连接点，称为节点，而各元件另一
18、端都接地。作用力都作用在节点 a 上，而运动速度也只有一个节点 a 的运动速度U(t)。设外力为 F(t) 惯性力为Fm(t),弹簧反力 为Fk(t),速度阻力为Ff(t),应用牛顿第二定律于节点 a ，则有以下关系,# 22 传递函数的概念,F(t) = Fm(t) + Ff(t) + Fk(t),取拉氏变换：,F(s) = Fm(s) + Ff(s) + Fk(s),又因： F(s) = Z(s)V(s) Fm(s) = Zm(s)V(s) = msV(s) Ff(s) = Zf(s)V(s) = fV(s) Fk(s) = Zk(s)V(s) =kV(s)/S,则：Z+(s) = F(s
19、)/V(s) = Zm(s) + Zf(s) + Zk(s),= ms + f + k/s,# 22 传递函数的概念,所以：并联机械网络的总机械阻抗为汇交于同一节点的各个元件（或各支路）的机械阻抗之和，又称节点阻抗。,即： Z+(s) = Z1(s) + Z2(s) + Z3(s) + + Zn(s),# 22 传递函数的概念,（4）机械阻抗串联,所谓机械阻抗串联是指各机械元件间彼此首末相连，两元件间的联接点为节点，首端元件的非联接点也是节点，而外作用力即作用于此节点上，又称为激励点，末端元件的非联接点必接地。,串联机械网络的特点是通过所有元件上的作用力只有一个，就是外作用力F(t)，而每个节
20、点皆有一个运动速度。由于各元件上所受作用力相等，等于外作用力。而有：,# 22 传递函数的概念,F(t) = Ff(t) = Fk(t) = Fm(t),F(s) = Ff(s) = Fk(s) = Fm(s),F(t),V1(t),V2(t),V3(t),m,Zf(s) = F1(s)/V12(s) = ,Ff(s),V1(s) V2(s),= f,Zk(s) = Ff(s)/V23(s) = = K/S,Fk(s),V2(s) V3(s),# 22 传递函数的概念,Zm(s) = Fm(s)/V3(s) = mS,由图可知：外作用点之速度V1(t),等于各节点间相对速度之和 即：,V1(t
21、) = V12(t) + V23(t) + V3(t),= V1(t) V2(t) + V2(t) V3(t) + V3(t),所以，外作用点的机械阻抗有以下关系,# 22传递函数的概念, = + + ,1,Z+(s),V12(s),V23(s),V30(s),F(s),F(s),F(s),= 1/f + S/K + 1/ms= 1/Zf(s) + 1/Zk(s) +1/Zm(s),所以：串联机械网络的总机械阻抗的倒数等于各元件阻抗的倒数之和。,# 22 传递函数的概念,例1、如图所示的混联机械网络系统，试求总机械阻抗，并分别求以V1(t)、V2(t)Fk(t)为输出量，以F(t)为输入量的传
22、递函数,F(s),f,K/S,ms,V2(s),V1(s),# 22传递函数的概念,解：并联阻抗为,Z2(s) = Zm(s) + Zk(s) = ms + K/S,总机械阻抗为,1/Z1(s) = 1/f + 1/Z2(s),= ,Mfs2+Kf,MS2 + fS + K,# 22 传递函数的概念,若以F(t)为输入，V1(t)为输出，则传递函数,1(s) = V1(s)/F(s) = 1/Z1(s) = ,MS2 + fS + K,MfS2 + Kf,若以F(t)为输入，V2(t)为输出，则,2(s) = V2(s)/F(s) = 1/Z2(s),= ,S,MS2 + K,# 22 传递函
23、数的概念,以弹簧上的力Fk(t)为输出量，则,k (s) = = = Zk(s) ,Fk(s),F(s),Zk(s)V2(s),F(s),V2(s),F(s),= = ,KS,S(mS2 + K),K,mS2 + K,# 22 传递函数的概念,例2、,f1,K1,K2,f2,1,2,Xi,Xo,# 22 传递函数的概念,解：Z2(s) = K2/S + f2,Z12(s) = K2/S + f1,1/Z1(s) = + ,1,1,(K2/S + f2),(K1/S + f1),= ,S(K1 + Sf1) + S(K2 + Sf2),(K2 + Sf2)(K1 + Sf1),Z1(s) = ,
24、(K2 + Sf2)(K1 + Sf1),S(K1 + Sf1) + S(K2 + Sf2),# 22 传递函数的概念,F(s) = Z1(s)V1(s),V2(s)/F(s) = 1/Z2(s) = S/(K2 + Sf2), = ,V2(s),Z1(s)V1(s),S,K2 + Sf2,V2(s)/V1(s) =SZ1(s)/(K2 + Sf2),SX2(s)/SX1(s) = SZ1(s)/(K2 + Sf2),(s) = X2(s)/X1(s) = SZ1(s)/(K2 + Sf2),# 22 传递函数的概念,例3、,1,f,Xi,X(s),Xo,Xo(s),ms,f,2,# 22 传
25、递函数的概念,解：Z2o(s) = ms + f,Z12(s) = f,1/Z1(s) = 1/(ms + f) + 1/f,Z1(s) = ,F(ms + f),MS +2f,F(s) = V1(s)Z1(s) V2(s) = F(s)/Z2(s),V2(s)/V1(s) = = Z2(s)/Z1(s),F(s)/Z1(s),F(s)/Z2(s),W(s) = Xo(s)/Xi(s) =Z2(s)/Z1(s),# 22 传递函数的概念,例4、,1,Xi,K1,K2,f,2,Xo,解：Z2(s) = K2/S,1/Z12 = S1/K1 + 1/f = (S1f + K1)/fK1,Z12(s
26、) = ,K1f,S1f + K1,1/Z1(s) = 1/Z2(s) + 1/Z12(s),= ,FSk1 + S1fK2 + K1K2,K1K2f,Z1(s) = ,K1K2f,FSk1 + S1fK2 + K1K2,# 22 传递函数的概念,V1(s) = F(s)/Z1(s),V2(s) = F(s)/Z2(s),(s) = Xo(s)/Xi(s) = V2(s)/V1(s) = Z1(s)/Z2(s),作业：,Xi,X0,X1,f,f1,m,K,f2,X2,# 22 传递函数的概念,作业：,C,R1,R2,L,Ur(t),Uc(t),C,R1,L,R2,i(t),Ur(t),四、典型
27、环节及其传递函数,1、典型环节的传递函数 （1）、放大环节 （2）、惯性环节 （3）、积分环节 （4）、微分环节 （5）、一阶微分环节 （6）、振荡环节 （7）、时延环节,# 22 传递函数的概念,四、典型环节及其传递函数,具有最简单数学模型的基本单元就称为典型环节,一、典型环节的传递函数,1、放大环节（比例环节）：放大环节的特点是输出量与输入量成比例、不失真、不延滞、成比例复现。,R1,R2,U0,U0,Ui,(a)分压电路,# 22 传递函数的概念,(b)理想变压器,1,2,3,ei,eo,(c)齿轮转动,n1,n2,Z1,(d)晶体管放大器,Ib,ei,Ic,e0,+,Z2,4,# 22
28、传递函数的概念,放大环节的运动方程：X0(t) = KXi(t),传递函数为： (s) = X0(s)/Xi(s) = K,放大环节的动态结构图,K,Xi(s),Xo(s),2、惯性环节：惯性环节由一种储能元件和一种阻尼组成。,# 22传递函数的概念,(a) RC 电路,Ui,Uo,数学模型：,RC + U0 = Ui,du0,dt,(s) = U0(s)/Ui(s) = ,1,RCS + 1,# 22 传递函数的概念,(b) LR 电路,Ui,U0,数学模型：, + U0 = Ui,L,R,du0,dt,(s) = = ,U0(s),Ui(s),1,LS/R + 1,# 22 传递函数的概念
29、,(c)机械惯性阻尼系统,m,V,m + fv = F,dv,dt,(s) = = ,V(s),F(s),1,mS + f,= ,1/f,mS/f + 1,惯性环节的传递函数的一般形式：,(s) = = K,X0(s),Xi(s),1,TS + 1,# 22 传递函数的概念,式中 : T称为时间常数，是有秒的量纲，T取决于环节的固有系数,K惯性环节中的比例系数，不一定等于1，不能有量纲，视具体结构而定。,动态结构图：,Xi(s),X0(s),K,TS + 1,X0,o,t,输入输出响应,# 22 传递函数的概念,3、积分环节,积分环节的特性是输出量与输入量对时间的积分成比例。在机械系统中，位移
30、对速度，速度对加速度都是积分关系。又如电容器上的电压与充电电流对时间的积分成比例。,Uc = ,1,C,Uc(s) = I(s)/CS,(s) = Uc(s)/I(s) = 1/CS = K/S,# 22 传递函数的概念,式中：K = 1/C 是一个有量纲的比例系数，可见当用电容器实现积分环节时，传递函数就是电容的运算阻抗Zc(s)=1/CS,积分环节的微分方程为：, = Xr(t),dXc(t),dt,Xi(t),1/S,Xr(t),(s) = 1/S,# 22 传递函数的概念,如图所示为自动控制系统中常用的积分调节器。由于运算放大器具有很大的开环放大倍数K0。因此A点对地的电位U就很低（A
31、点称为虚地）。同时放大器的输入电流也很小，可忽略不计。,R0,ic,C,A,k0,Ur,i0,Uc,# 22 传递函数的概念,因此有：ic = i0 = Ur/R0,又因输出电压Uc近似等于电容两端的电压所以：,Uc = icdt = Urdt = Urdt,1,C,1,R0C,1,T,式中：T = R0C积分时间常数,由此得传递函数为：,W(s) = Uc(s)/Ur(s) = 1/TS,# 22 传递函数的概念,4、理想微分环节,理想微分环节：其特点是输出量对时间的系数成比例。如图所示为一测速发电机，当其输入量为角位移，输出量为电枢电压时，就是一个理想的微分环节。,D,CF,Uc,# 22
32、 传递函数的概念,设测速发电机的角速度为w,则： w = d/dt , 而测速发电机的输出电压Uc与角速度成正比，因此得：,d,Uc = KW = K,dt,初始条件为0时的拉氏变换为：,Uc(s) = KS(s),所以传递函数为：,(s) = Uc(s)/(s) = KS,动态方框图为：,KS,Xi(s),X0(s),# 22 传递函数的概念,5、一阶微分环节,其一般表达式为：,(s) = s + 1, 微分常数,Xi(s),X0(s),s + 1,# 22传递函数的概念,6、振荡环节,振荡环节中包含有两种储能元件，当输入量发生变化时，系统原来的能量分布失去平衡，将发生两种能量（动能和势能、磁场能量和电场能量）间的来回交换，因而就产生了振荡过程。,其一般形式为：,(s) = X0(s)/Xr(s) = ,K,T2s2 + 2TS + 1,# 22 传递函数的概念,式中：T时间常数. 阻尼比 K振荡环节中的比例系数,系统的固有频率（无阻尼自由振荡频率）Wn是时间T的倒数。即：,Wn = 1/T,则传递函数可表示为：,(s) = ,KWn2,S2 + 2WnS + Wn2,# 22 传递函数的概念,只有当0=1时，传递函数分母多项式的根方为共扼复数（具有复数极点）此时才产生振荡。如果=1则传递函数分母多项式的根为实数，即不会产生振荡。,7、二阶微分环节,
