1、2-6 传递函数 求解控制系统的微分方程，可以得到在确定的初始条件及外作用下系统输出响应的表达 式，并可画出时间响应曲线，因而可直观地反映出系统的动态过程。如果系统的参数发生变化， 则微分方程及其解均会随之而变。为了分析参数的变化对系统输出响应的影响，就需要进行多 次重复的计算。微分方程的阶次愈高，这种计算愈复杂。因此，仅仅从系统分析的角度来看， 就会发现采用微分方程这种数学模型，当系统阶次较高时，是相当不方便的。以后将会看到， 对于系统的综合校正及设计，采用微分方程这一种数学模型将会遇到更大的困难。 目前在经典 控制理论中广泛使用的分析设计方法 频率法和根轨迹法，不是直接求解微 分方程，而是
2、采用与微分方程有关的另一种数学模型 传递函数，间接地分析系统结构参数 对响应的影响。所以传递函数是一个极其重要的基本概念。 一、传递函数的概念及定义 在 例 2-7中，曾建立了 RC 网络微分方程，并用 拉氏变换法对微分方程进行了求解。 其微分方程（ 2-44）为 )()( tutudtduRC rcc 假定初始值 0)0( cu ，对微分方程进行 拉氏变换 ，则有 )()()1( sUsUR C s rc 网络输出的 拉氏变换式为 )(11)( sUR C ssU rc （ 2-48） 这是一个以 s 为变量的代数方程，方程右端是两部分的乘积；一部分是 )(sUr ，这是外作用 （输入量）的
3、 拉氏变换式，随 )(tur 的形式而改变；另一部分是 11RCs ，完全由网络的结构 参数确定。将上式（ 2-48）改写成如下 形式 11)( )( RCssU sU rc 令 11)( RCssG ，则输出的拉氏变换式可写成 )()()( sUsGsU rc 可见，如果 )(sUr 给定，则输出 )(sUc 的特性完全由 )(sG 决定。 )(sG 反映了系统（网 络）自身的动态本质。这很显然，因为 )(sG 是由微分方程经 拉 氏变换得到的，而拉氏变换又 是一种线性变换，只是将变量从实数 t 域变换（映射）到复数 s 域，所得结果不会改变原方程所 反映的系统本质，对照 )(sG 与原微分
4、方程（ 2-44）的形式，也可看出二者的联系。 我们称 )(sG 为传递函数，并将其看作另一种数学模型。这是一个复变量函数，对任意元、 部件或系统，传递函数的具体形式各不相同，但都可看作是在零初始条件下，输出量 的 拉氏 变换与输入量的拉氏变换之比。 RC 网络的传递函数，即为 11)( )()( R CssU sUsG rc 输出、输入与传递函数三者之间的关系，还可以用图 2-26的方框形象地表示输入经 )(sG 传递到输出。对具体的系统或元、部件，只要将其传递函数的 表达式写入方框图的方框中，即为该系统或该元、部件的传递 函数方框图，又称结构图。如上述网络，只需在方框中写入 1RCs1 ，
5、即表示了 RC 网络的结构图。 根据上述说明，可以对传递函数作如下定义： 所谓传递函数即线性定常系统在零初始条件下，输出量的 拉氏变换式与输入量的拉氏变换 式之比。 设线性定常系统的微分方程一般式为 1 1 1 01( ) ( ) ( ) ( ) nn nnd d da c t a c t a c t a c tdtdt dt )()()()( 01111 trbtrdtdbtrdtdbtrdtdb mmmmmm （ 2-49） 式中 )(tc 为系统输出量， ()rt 为系统输入量， 0a ， 1a ， na 及 0b ， 1b ， mb 均为由系 统结构参数决定的实常数。 设初始条件为零，
6、对式（ 2-49）两边进行 拉氏变换，得 )()()()( 01110111 sRbsbsbsbsCasasasa mmmmnnnn 则系统的传递函数为 0111 0111)( )()( asasasa bsbsbsbsR sCsG n nnn mmmm （ 2-50） 令 0111)( bsbsbsbsM mmmm 0111)( asasasasN nnnn 式（ 2-50）可表示为 )( )()( )()( sN sMsR sCsG （ 2-51） 若在式（ 2-50）中，令 0s ，则有 0 0)0( abG 即为系统的放大系数。从微分方程（ 2-49）看， 0s 相当于所有导数项为零，
7、方程变为静态 方程， 0 0ab 恰好为输出、输入的静态比值。 传递函数是在初始条件为零（称零初始条件）时定义的。控制系统的零初始条件有两方面 含义：一是指输入作用是在 0t 以后才作用于系统。因此，系统输入量及其各阶导数在 0t 时 的值为零；二是指输入作用加于系统之前，系统是“相对静止”的。因此，系统输出量及其各阶 导数在 0t 时的值也为零。实际的工程控制系统多属此类情况，这时，传递函数一般都可以完 全表征线性定常系统的动态性能。 必须指出，用传递函数来描述系 统动态特性，也有一定局限性。首先，对于非零初始条件， 传递函数便不能完全描述系统的动态特性。因为传递函数只反映零初始条件下，输入
8、作用对系统 输出的影响，对于非零初始条件的系统，只有同时考虑由非零初始条件对系统输出的影响，才能 对系统动态特性有完全的了解。其次，传递函数只是通过系统的输入变量与输出变量之间的关系 来描述系统，亦即为系统动态特性的外部描述，而对系统内部其它变量的情况却不完全知道，甚 至完全不知道。当然，现代控制理论采用状态空间法描述系统，可以克服传递函数的这一缺点。 尽管如此，传递函数作为经典控制理论的基础 ，仍是十分重要的数学模型。 二、传递函数的基本性质 从线性定常系统传递函数的定义式（ 2-50）可知，传递函数具有以下性质。 （ 1）传递函数是复变量 s 的有理真分式，而且所有系数均为实数，通常分子多
9、项式的次 数 m 低于（或等于）分母多项式的次数 n ，即 m n 。这是因为系统必然具有惯性，且能源 又是有限的 缘故。 （ 2）传递函数只取决于系统和元件的结构参量，与外作用形式无关。 （ 3）将式（ 2-50）改写成如下所谓“典型环节”的形式 1 2 21 1 1 2222 1 22 1 )12()1( )12()1( )( )()( n i n j jjji v m l lll m k k sTsTsTs sssK sN sMsG （ 2-52） 数学上的每一个因子都对应着物理上的一个环节，我们称之为典型环节。 其中： K 放大 (比例 )环节 s1 积分环节 11Ts 惯性环节或非周
10、期环节 12122 TssT 振荡环节 1s 一阶微分环节 1222 ss 二阶微分环节 我们所研究的自动控制系统 ,都可以看成由这些典型环节组合而成 . (4)一定的传递函数有一定的零、极点分布图与之对应。将式（ 2-50）写成如下零、极点 形式 )()( )()(N (s )M (s )G (s ) 21 21 * n mpspsps zszszsK （ 2-53） 式中 mzzz , 21 为传递函数分子多项式 )(sM 等于零的根，称为传递函数的零点； ,1p ,2p , np 为传递函数分母多项式 )(sN 等于零的根，称为传递函数的极点。把传递函数 的零点和极点同时表示在复平面 s
11、 上的图形，就叫做传递函数的零、极点分布图。图（ 2-27） 表示了传递函数 )12)(3( 2)( 2 sss ssG 的零、极点分布情况，图中零点用“ 0”表示， 极点用“”表示。 式（ 2-53）中常数“ *K ”称为传递函数的根轨迹增益。 *K 与 K 之间的关系为 221 221* TTKK （ 2-53a ） （ 5）传递函数的拉氏反变换，即为系统的脉冲响应。所谓脉冲响应，是指系统在单位脉 冲函数 (t) 输入下的响应，也称为脉冲过渡函数。因为单位脉冲的拉氏变换式等于 1，因此 11( ) ( ) ( )k t C s G s 显然，系统的脉冲响应 )(tk 与系统传递函数 )(sG 有单值对应关系，故可以用来描述系统的动 态特性，如图 2-28所示。 （ 6）若令 js （即 js ，其中 0 ），这 是传递函数的一种特殊形式， jssG |)( = )(jG ，称为频率特性。 )(jG 是用频率法研究系统动态特性的基础。显然， 频率特性也是描述系统动态特性的又一种数学模型。而且频率特性有鲜明的物理定义，这些 将在后面讲述频率法时详细介绍。
