1、数学与统计学院 2014 级 信息与计算科学、统计学专业 金融计量分析课程 期末考查卷(A)第 1 页 共 10 页楚 雄 师 范 学 院2016-2017 学年 第一 学期期末考查卷 A 卷课程 金融计量分析 考查时间：2016 年 12 月 28 日班级 2014 级统计 4 班 姓名 大大 学号 20140623102 论文题目 关于债券的久期与息票率的关系分析得 分 评分人摘要：本题是研究债券的久期的性质，具体上来说就是不同债券下的久期和修正久期与息票率的关系。债券是最重要的有价证券之一，通常有相对固定的现金流，利率风险是它的主要风险。久期和凸性是刻画债券的两个重要特征，是债券利率风险
2、度量和管理需要考虑的主要因素。在此我们主要研究久期，当我们判断当前的利率水平存在上升可能，就可以集中投资于短期品种、缩短债券久期，以减少债券价格下降带来的风险；而当我们判断当前的利率水平有可能下降，则拉长债券久期、加大长期债券的投资，可以帮助我们在债市的上涨中获得更高的溢价。这样可以达到利用市场利率的波动和债券组合久期的调整提高债券组合收益率目的。实际上，久期在数值上和债券的剩余期限近似，但又有别于债券的剩余期限。对于问题，先从其定义、理解及计算进行分析，再用几个具体例子进行分析。其中一组是只选取了 3 个不同息票率，又做了一组取 0%-15%之间的息票率，间隔为1%。我们主要借助 Matla
3、b 软件中相关程序命令进行操作，得出一系列的结果并对其进行分析总结，最终计算结果及图形中得到债券的久期与息票率的关系。关键词： 债券 久期 修正久期 息票率 Matlab 软件数学与统计学院 2014 级 信息与计算科学、统计学专业 金融计量分析课程 期末考查卷(A)第 2 页 共 10 页1 问题重述1.1 问题背景1938 年，弗雷德里克麦考利首先提出了久期（Duration，简记为 D）的概念，久期是指现金流支付时间的加权平均，权重是每期支付的现金流的现值在所有现金流的现值总和中所占的比例，即以每期支付的现金流的现值除以所有现金流的现值总和。在下载的债券分析中，它用来衡量债券价格变动对利
4、率变化的敏感度。一项现金流的现值要受到多种因素的影响，如现金流的时间长短、每期现金流再投资所获得的收益率的高低、现金流的分布情况等。因此，现金流的风险不能单纯以时间长短来衡量。为了合理地衡量现金流的风险，也就是现金流对利率变化的敏感程度。 1.2 提出问题（1）设某证券面值为 1000 元，到期收益率为 10%，期限为 20 年，试计算在息票率为5%、10%、15%情况下债券的久期。（2）设某债券面值为 1000 元，到期收益率为 10%，期限为 20 年，试计算在不同票面利率情况下债券的久期，并画图显示计算结果，从而得到债券的久期与息票率的关系。2 问题分析设有一种期限为 n 的债券，每期流
5、入的现金流为 ，通常n.,12tCF是指第 1 期至第 n-1 期各期利息的流入， 为最后一期利息和-.,12tCF t本金的总和。若期限结构曲线水平，即每期现金流的贴现率都为 ，则该现金流的现r值为： n1ttrPV而久期的公式为：（1）n1ttrCFD期限相同的不同现金流，现金流的支付方式不尽相同，久期也不同。久期综合考虑了现金流到期之前的全部现金流特征，它比到期期限更适合测算现金流的时间特性。久期作为度量现金流对市场利率的敏感程度的指标，被广泛的应用于现金流的风险度量。通常认为久期越长，现金流对利率变动所产生的变动幅度越大，从而风险也越大。数学与统计学院 2014 级 信息与计算科学、统
6、计学专业 金融计量分析课程 期末考查卷(A)第 3 页 共 10 页数学与统计学院 2014 级 信息与计算科学、统计学专业 金融计量分析课程 期末考查卷(A)第 4 页 共 10 页1. 久期视为现金流支付时间的加权平均将久期的计算公式（1）变形可得到 n1t n1tn1t PVrCFrPVDttt 其中，权重 恰为各期现金流的现值与各期现金流的现值总和n1t/tttttCF的比值（所有现金流的权重之和等于 1），因此久期可以看成是现金流支付时间的加权平均。有定义修正的久期 D*为： rD1此处 r 为每年计息一次的贴现年利率，若债券的年付息次数不止一次，则有 年 付 息 次 数年 贴 现
7、率r2. 久期视为债券价格相对贴现率的弹性将债券的久期理解为债券价格对贴现率（市场利率和市场收益率）的弹性，可以很容易地利用久期来度量债券价格的波动性和度量债券风险。将债券的价格公式 两边对贴现率 r 求导数可得：n1ttrCFPnt nttt rPDrCFdr11由以上公式可以推出如下的两个结论:（1）久期可看作为债券价格对其贴现率的弹性。 贴 现 率 的 变 化 率债 券 价 格 的 变 化 率DrdP1/式中， 表示债券价格的变化率对贴现率的变化率的比值，称为“债券价r/格对贴现率的弹性”，它描述了债券价格的变化对利率变化的敏感程度。由于贴现率与数学与统计学院 2014 级 信息与计算科
8、学、统计学专业 金融计量分析课程 期末考查卷(A)第 5 页 共 10 页价格呈负相关的关系，因此债券价格对贴现率的弹性为负值，显然，其绝对值等于久期。（2）久期近似地度量债券价格的波动性（风险） 。公式 可重新表述为：rdP1/ rdDpP1由微分学知识可知，当 较小时， 。因此，当 较小时，有rr或p/利用上面的公式就可以通过久期来度量债券价格的波动性，即市场利率变化会对债券价格造成多大的变化。又由修正久期的定义，有或rDpP rP3 基本程序及符号说明3.1 基本程序1.等时间间隔债券久期计算在 Matlab 中，在没有给定交收日和到期日的情况下，计算等时间间隔的周期性的现金流的久期和修
9、正的久期的函数为 cfdur。函数的命令为：Duration,ModDuration=cfdur(CashFlow,Yield)3.2 符号说明Duration久期，又称麦考利久期；ModDuration每年计息一次的修正的久期；CashFlow现金流量，一定时期的现金和现金等价物的流入和流出的数量；Yield到期收益率，是当债券的所有将来发生的现金流的现值之和与债券目前的市场价格相等时的折现率。数学与统计学院 2014 级 信息与计算科学、统计学专业 金融计量分析课程 期末考查卷(A)第 6 页 共 10 页班级 2014 级统计 4 班 姓名 大大 学号 20140623102 4 结果分
10、析久期刻画了债券价格对市场利率的敏感性，它有效地度量了债券的风险。影响久期的主要因素不只是息票率，还有到期期限和市场利率（贴现利率或到期收益率） ，这三个因素对于债券的组合管理都很重要。我们以等时间间隔债券的久期计算为例，在 Matlab 中程序运行函数（1）的输出的结果，有息票率为 5%、10%和 15%分别对应的久期（Duration） ，分别为10.7412、9.3649 和 8.8105，修正久期（ModDuration）分别为 9.7647、8.5136 和8.0095。我们可以看出，在到期时间和到期收益率保持不变的情况下，债券的久期随着债券票面利率的上升而递减；付息债券的久期总是小
11、于它的到期期限。在 Matlab 中程序运行函数（2）的输出的数据，建立表格如下表 4.1 所示表 4.1 久期与修正久期数据表久期 20.0000 15.4508 13.3305 12.1037 11.3039 修正久期 18.1818 14.0462 12.1186 11.0033 10.2762 久期 10.7412 10.3238 10.0018 9.7460 9.5377 修正久期 9.7647 9.3853 9.0926 8.8600 8.6706 久期 9.3649 9.2192 9.0948 8.9872 8.8932 8.8105 修正久期 8.5136 8.3811 8.2
12、680 8.1701 8.0847 8.0095 在 Matlab 中程序运行函数（3）的输出的图表，如下图 4.1 所示：图 4.1 债券久期与息票率的关系图数学与统计学院 2014 级 信息与计算科学、统计学专业 金融计量分析课程 期末考查卷(A)第 7 页 共 10 页在输出的图 4.1 中，实线表示债券的久期与息票利率的趋势走向，虚线表示的是债券的修正久期与息票利率的趋势走向。从计算结果及图形都可以看出，并得到以下结论：（1）在到期时间和到期收益率保持不变的情况下，债券的久期随着债券票面利率的上升而递减，但递减的速度越来越慢。（2）零息债券的久期就等于它的到期期限，付息债券的久期总是小
13、于它的到期期限。数学与统计学院 2014 级 信息与计算科学、统计学专业 金融计量分析课程 期末考查卷(A)第 8 页 共 10 页参考文献1 邓留保，李柏年，杨桂元Matlab 与金融模型分析M合肥：合肥工业大学出版社20072王向东，戎海武，文翰数学实验M北京：高等教育出版社2004数学与统计学院 2014 级 信息与计算科学、统计学专业 金融计量分析课程 期末考查卷(A)第 9 页 共 10 页附录 1：在 Matlab 中，输入命令如下：（1） CouponRate=0.05 0.10 0.15;X=1000*CouponRate;Y=X*ones(1,19);Z=1000+1000*
14、CouponRate;CashFlow=Y,Z;Duration,ModDuration=cfdur(CashFlow,0.1)运行结果：Duration =10.7412 9.3649 8.8105ModDuration =9.7647 8.5136 8.0095（2） CouponRate=0:0.01:0.15;X=1000*CouponRate;Y=X*ones(1,19);Z=1000+1000*CouponRate;CashFlow=Y,Z;Duration,ModDuration=cfdur(CashFlow,0.1)运行结果：Duration =Columns 1 throug
15、h 1020.0000 15.4508 13.3305 12.1037 11.3039 10.7412 10.323810.0018 9.7460 9.5377Columns 11 through 169.3649 9.2192 9.0948 8.9872 8.8932 8.8105数学与统计学院 2014 级 信息与计算科学、统计学专业 金融计量分析课程 期末考查卷(A)第 10 页 共 10 页班级 2014 级统计 4 班 姓名 大大 学号 20140623102 ModDuration =Columns 1 through 1018.1818 14.0462 12.1186 11.0033 10.2762 9.7647 9.38539.0926 8.8600 8.6706Columns 11 through 168.5136 8.3811 8.2680 8.1701 8.0847 8.0095（3）作图命令如下： plot(CouponRate,Duration,LineWidth,2)hold onplot(CouponRate,ModDuration,-.,LineWidth,2)title(债券久期与息票率的关系)xlabel(息票利率)ylabel(久期)grid on
