1、本科毕业论文学 院 数学与信息科学学院 专 业 信息与计算科学 年 级 2011 级 姓 名 * 论文题目 解析函数的孤立奇点 指导教师 冯书香 职称 讲 师 2015 年 月 日学号： *目 录摘 要1关键词1Abstract1Key words1前言11 解析函数的概念12 解析函数的洛朗展式22.1 解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式23 解析函数的孤立奇点23.1 孤立奇点的三种类型23.2 可去奇点33.3 极点53.4 本质奇点74 无穷远点是奇点的情形8总结10参考文献111解析函数的孤立奇点学生姓名:* 学号:*数学与信息科学学院 信息与计算科学专业指导老师:冯书香 职称:讲师
2、摘 要：本文介绍了解析函数的概念和解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式，以及解析函数的孤立奇点的三种类型：可去奇点、极点、本质奇点与无穷远点是奇点的情形关键词：解析函数;洛朗展式;孤立奇点The isolated singularity of analytic functionAbstract：We will introduce the definition and Laurent exhibition type of analytic function and three types of the isolated singularity,that is , removable singula
3、rity，the pole and essential singularity as well as the singularity at infinity in this paperKey words： Analytic function；Laurent exhibition type；Isolated singularity前言在复变函数中，解析函数是复变函数论的主要研究对象，它是一类具有某种特性的可微函数在本文中，首先简单的给出了解析函数和孤立奇点的定义，解析函数的洛朗展式，以及解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式接下来，详细的介绍了解析函数的孤立奇点的三种类型：可去奇点、极点、本质奇点，
4、并结合具体的列子来研究各类奇点的性质与特点1 解析函数的概念定义 若函数 在 的邻域 上有定义，且在此邻域中函数.zf00zS处处有导数，则称函数 在 处解析若函数 在区域 内有zf zzfD定义，且在 内处处有导数，则称函数 在区域 内解析，或称 是区域DfD内的解析函数容易看出，函数 在区域 内解析与函数 在区域 内处处解析的说法是zfDzf等价的22 解析函数的洛朗展式定理 （洛朗定理） 在圆环 ： 内解析的函数41. HRrazr,0必可展成双边幂级数zf， （2.1）nnazczf其中， （2.2）daficn21,10为圆周 ，并且展式是惟一的（即 及圆环 惟一地决定了Rra zf
5、H系数 ）nc定义 2.1 （2.1）称为函数在点的洛朗展式，（2.2）称为其洛朗系数，而（2.1）等号右边的级数则称为洛朗级数2.1 解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式定义 2.2 如果函数 在点 的某一去心邻域 ： （即除去zfaaKRz0圆心 的某圆）内解析，点 是 的奇点，则称 为 的一个孤立奇点a f注 因函数 在 内是单值的，故也称 为 的单值性孤立奇点；如zfKz遇到 在 内是多值的，则称 为 的多值性孤立奇点 ，即支点（由于在zf azf支点的邻域内函数能由一支变到另一支，故函数在支点邻域内缺少单值性因而它以最简单的方式破坏了函数的解析性因此支点也是函数的奇点）如无特别声明，提
6、到孤立奇点总指单值性孤立奇点当然，我们也会遇到非孤立奇点如果 为函数 的一个孤立奇点，则必存在正数 ，使得 在点 的去心邻域azf Rzfa： 内可展成洛朗级数KR03 解析函数的孤立奇点 孤立奇点是解析函数的奇点中最简单最重要的一种类型以解析函数的洛朗展式为工具，我们能够在孤立奇点的去心邻域内充分研究一个解析函数的性质3孤立奇点的三种类型51.3由上文知，我们可以在邻域 内将 展开成洛朗级数下面，根Raz0zf据函数展开成洛朗级数的不同情况我们将孤立奇点作以下的分类如 是单值函数， 是 的孤立奇点， 可以展开为在zfzzfzf内为收敛的洛朗级数：Ra0，10nnn azcazcf叫做 关于奇
7、点 的主要部分，因为可依靠它来决定奇点的性1nnazczf质 叫做 的正则部分0nnf现在有三种可能性：（1）主要部分恒等于零，就是所有 例如 ，在原点的邻域内0nczfsin除了原点以外为正则，在 内，洛朗展开式为Rz0，!531si42z其主要部分等于零在这种情形， 叫做 的可去奇点azf（2）主要部分只包含有限个项，就是当 为某一数以后， 在这种情形，n0nc叫做 的极，或极点azzf（3）主要部分的项数是无穷的在这种情形， 叫做 的本质奇点azzf以下将分别考虑函数在各种奇点邻域内的性质3.2 可去奇点定理 为 的可去奇点的充要条件为 存在（有限值）21.3azzf zfalim证明：
8、 必要条件，若 ，0nc,21则 0nnazcf4由于幂级数在收敛圆内是一个解析函数，因此，在上面的这个等式的右端函数在 点连续，所以az00limli cazczfnnaa充分条件，若 （有限值）lzfalim则对于任意给定的 ，存在 ，当 时，就有0zlf于是Mlzf这就是说 在 点的一个邻域有界zfa又因为 在点 的邻域内的洛朗展开式中的 可以表示为ncdzazficn121,2： ，则aznMc11 1所以，令 ，得 于是0n01nnazc故0nnazcf定理 在定理 3.1 的假设下， 是 的可去奇点的充分必要条件是：32. f存在着某一正数 ，使得 在 内有界R0zf0a综上，我们
9、知道如果 为函数 的孤立奇点，则下列三条是等价的因此，a它们中的任何一条都是可去奇点的特征（1） 在 点的主要部分为零；zf5（2） ；bzfalim（3） 在点 处的某去心邻域内有界例 考虑函数1,2sinzF.0;这个函数以 为它的孤立奇点根据上述可去奇点的特征，知 是 的可0z 0zzF去奇点如果我们定义一个函数为,1sinlm0zzg.0;z则这个函数在全平面上就处处等于由 中的级数所!12!53i42nz确定的全平面上的解析函数了所以，当函数 在 处或者没有定义，或者zf0定义的“不好”，但当 是它的可去奇点时，只要我们重新构造一个函数 ，0z zg使它在 处取 的极限值，而在其他地
10、方与 完全相等这样的函数0zf zf就在 解析了，这表示已将奇点去掉了，因此称 是可去奇点g 0极点53.如果 是 的一个极点设 的洛朗展开式的主要部分最后一个不等于azzf zf零的系数为 ，即mcmnnn azcazcf 10叫做 阶的极点当 时， 又分别叫做简单极点，二阶极点，az,2定理 3.3 设 是函数 的一个极点，则当 ， azzf azzf证 设 是 阶的极点， 的主要部分：m6mnnmmnnazcazzc111nnm当 ，括号内趋近于 所以当 ， azncazzf定理 3.4 在一个 阶的极点的邻域内，函数 可以表示为下形：m，mazf其中 在 为正则，并不为零za由于 在
11、为正则并不为零，则 在 为正则并不为zfazm1a零所以，zzfm1在 有一个 阶的零azm反过来，如果 是 的 阶的零，则 是 的 阶的极点azzf azzf1综上，如果函数 以点 为孤立奇点，则下列三条是等价的因此，它们中f的任何一条都是 阶极点的特征m（1） 在点 的主要部分为zfa；01mmcazzc（2） 在点 的某去心邻域内能表成zfa，mazf其中 在点 邻域内解析，且 za07（3） 以点 为 阶零点（可去奇点要当作解析点看，只要令 ）zfg1am0ag例 函数 以 为几阶零点？函数 以 为几阶极点？122zesh0shz10解： 显然 ，10且 1200zzzesh因此 以 为一阶零点根据上面的极点的特征知 就是 的一阶极shz0 0zshz1点例 函数 以 （ 是整数）为几阶极点？13z2seck解： 考虑函数 ，显然o，02cosk且 ，csincs 22 kzkzkzkz 22io01cos因此 以 为二阶零点 就是 的二阶极点z2cos00zz22ec1本质奇点4.3定理 3.5 函数 的孤立奇点 为本质奇点的充要条件是zfa，即 不存在有 限 数bfazlimzfalim定理 3.6 若 为函数 之一本质奇点，且在点 的充分小去心邻域内不zf a为零，则 亦必为 的本质奇点azzf1
