1、编号 2016010109 研究类型 理论研究 分类号 013湖北师范大学文理学院学士学位论文 论文题目：矩阵的秩及其应用 作者姓名 周国梁指导老师 刘伟明所在院系 文理学院专业名称 数学与应用数学完成时间 2016 年 4 月 25 日学士学位论文（设计）诚信承诺书中文题目：矩阵的秩及其应用外文题目：The rank of Matrix and its application学生姓名 周国梁 学生学号 2012311010109院系专业 文理学院数学与应用数学 学生班级 1201学 生 承 诺我承诺在学士学位论文（设计）活动中遵守学校有关规定，恪守学术规范，本人学士学位论文（设计）内容除特别
2、注明和引用外，均为本人观点，不存在剽窃、抄袭他人学术成果，伪造、篡改实验数据的情况。如有违规行为，我愿承担一切责任，接受学校的处理。 学生（签名）：年 月 日指导教师承诺我承诺在指导学生学士学位论文（设计）活动中遵守学校有关规定，恪守学术道德规范，经过本人核查，该生学士学位论文（设计）内容除特别注明和引用外，均为该生本人观点，不存在剽窃、抄袭他人学术成果，伪造、篡改实验数据的现象。指导教师（签名）：年 月 日矩阵的秩及其应用周国梁（指导教师：刘伟明 ）（湖北师范大学数学与统计学院 中国 黄石 435000)摘要：矩阵的秩是线性代数中的一个重要研究工具盒研究对象，以矩阵的秩作为主要的研究对象，分
3、析了矩阵的秩再线性代数中的一部分常见应用与方法，对于学习和掌握线性代数有一定的帮助，进而加深对矩阵的秩的理解，能灵活运用解决相关问题；通过分析初等变换求矩阵的秩、利用初等变换求矩阵的秩与高斯消元法解线性方程组，向量组的线性表示，向量组的线性相关性的相通性原理，将初等变换求秩应用在以上方面，既解决了三个问题的求解判断，更将知识融会贯通，精密联系在一起，为以后相关知识的学习奠定基础。关键词: 矩阵的秩；线性方程组；线性相关。中图分类号:O13The rank of Matrix and its application周国梁（指导教师：刘伟明 ）（湖北师范大学数学与统计学院 中国 黄石 435000
4、)Abstract：Matrix rank is an important research tool box of linear algebra research object, by matrix rank as the main research object, analyzes the rank of matrix and a part of the common application and the method of linear algebra for learning and mastering the linear algebra has certain help, to
5、deepen the understanding of matrix rank, can apply to solve related problems;By analyzing the elementary transformation of matrix rank, using elementary transformation of matrix rank and gauss elimination method of solving linear equations linear representation of vector group, vector linear correla
6、tion principle of phase connectivity, the application of elementary transformation and rank in the above aspects, both the solution to solve the problem of the three judgments, more knowledge to achieve mastery through a comprehensive, precise, lay a foundation for later related knowledge of learnin
7、g.Keywords: Matrix rank; System of linear equations; Linear correlation.目录1. 引言 .12. 秩的概念及其等价描述 .12.1 秩的概念 .12.2 矩阵秩的等价描述 .13. 秩在线性代数中的应用 .53.1 在求解线性方程组中的应用 .53.2 在特征值中的应用 .83.3 在判别线性相关中的应用 .83.4 在判断二次型的正定中的作用 .94 参考文献 .10湖北师范大学文理学院 2016 届学士学位论文0矩阵的秩及其应用周国梁（指导教师：刘伟明 ）（湖北师范大学数学与统计学院 中国 黄石 435000)1. 引
8、言矩阵是研究线性代数各类问题的载体，矩阵的秩即为研究问题的“试金石”。矩阵的秩是矩阵的一种重要属性，秩的理论决定着矩阵的地位。其理论几乎贯穿整个线性代数，是讨论矩阵求逆问题、线性方程组问题、线性相关性问题的重要工具。2. 秩的概念及其等价描述2.1 秩的概念设在矩阵 中有一个不等于 0 的 阶子式 ，且所有存在的 阶子式全等Ar 1r于零，则 为矩阵 的最高阶非零子式，数 称为矩阵 的秩， 。零DA()R矩阵的秩规定为零。本质上，矩阵的秩是矩阵中不等于零的子式的最高阶数。即矩阵 的秩 就是就是 中不等于零的子式的最高阶数。矩阵的秩的概念A()RA还可以这样叙述：矩阵 的行（列）向量组的极大线性
9、无关组的个数为()ijmna该矩阵的秩。设 ,即矩阵 中至少有一个 阶子式不为零，那么该子式()rr所在的 个行（列）向量就是行（列）向量组的一个极大无关组。r2.2 矩阵秩的等价描述设 ，则下述各命题等价：mnAF1） ；()Rr2） 中有一个 阶子式不为零，所有 阶子式全为零；1r湖北师范大学文理学院 2016 届学士学位论文13） 中有一个 阶子式 不为零，所有包含 作为子式的 阶子式全为零；ArDD1r4） 等价于标准型；0E5）存在 阶可逆矩阵 和 阶可逆矩阵 ，使得；mPnQPA0Er6） 的行向量组的秩等于 ；Ar7） 的列向量组的秩等于 ；8） 的行空间的维数等于 ；9） 的列
10、空间的维数等于 ；r10）方程组 有 个独立的方程，其余方程是这些方程的线性组合；0AX11）方程组 的解空间的维数等于 ；nr12）设 为线性空间 的一个基为 , 维线性空间 的一个基为nV21,a mW,从 到 的线性映射 的矩阵 ，既： ，则 的像空间12,n WTAT的维数等于 ;ImTr13)存在 型的列满秩阵 和 型的行满秩阵 ，使得 。PrnQAP证明 易知(1) (2) (3) (4)。(1) (5).因为 ，故可将 经过一系列的初等变换可化为()RArA而这一些列的初等变换等价于存在 阶初等阵 和 阶初等0,rE m12,SP n阵 ，使得：123tQ12,SPA 120rt
11、EQ令 ， ，由初等阵可逆知 可逆。123s 123t ,PQ(1) (5).由 为可逆矩阵，使得 ，得 ,这, 01rA110rEAQ相当于 由 经过一系列的初等变换而得；由于初等变换不改变矩阵的A01rE秩，所以 。()R湖北师范大学文理学院 2016 届学士学位论文2(1) (6).设 ， 为行向量.由于 ，由命题（2）知存在12mTTaAi ()RAr阶子式 ，且所有 ，既有 所在的 行线性无关，且任意 个r0rD10rrD1r行向量都线性相关，因此 所在的 行是 的行向量组的一个极大无关组，从rA而 的行向量组的秩为 。A(1) (6).由 的行向量组的秩为 ，根据向量组线性无关的条
12、件知这 个r r行向量所在的行的 阶子式不为零，且所有 阶子式都为零，故 。r1()RA(1) (7)的证明和(1) (6)类似。(1) (8).设 的行向量组为 ，由它们所生成的行空间为 A12,TTma12TmLxaR 显然行向量空间的维数与行向量组 的秩相等。(1) (9)的证明和 (1) (8)类似。(1) (10).矩阵的初等变换的过程实际上可以看做是解方程组 的0AX过程，等价性显然成立.(1) (11).由 的基础解系就是方程组 的解空间的一个基可0AX0AX知命题是成立的。(1) (12).设 的列向量组为 ，则 线性12,m 12,ImT方程组 有解 ,这里 表示AX12,n
13、 n生成空间 。因此 ，从而 的维数与的12,n 12I,T I维数相等，而由（9）知 的维数与 相等，故命 ,n ()RA题成立。(1) (13).由 ， ，则 的行向量组有一个极大无关组，()RArmnFA不妨设 ，从而：12,rTTiia 12,TTma湖北师范大学文理学院 2016 届学士学位论文3121212112 22 rrrTTTTii iii iTTTTmmimi miaaaAaaa 。1211212 212 rirTiTmmmriaaa 令。12121212,rTiriTmmriaaaPQ 显然 为行满秩 的矩阵。下面证明 为列满秩 的矩阵，即证 就可QrPrR(P)=r以了
14、。注意，由于 被 线性表出的系数是唯一的，且12,TTma 12,rTiia被 表出的系数恰好是 阵的第 行，且分别12,rTTiia 12rii 12,rii为 ,即 有 行线性无关，其余各行都可(,0,)(,0),(0,) Pr以由这 行线性表出，所以 。rRP=r(1) (13).由 ，且 ， ，所以AQ()()Qr。()min,R只需证 即可。而此证明只需利用一个结果就可以：设 分别是Rr ,AB型和 型矩阵，则有 ，由此可知 。mrn 1()()ABr()Rr湖北师范大学文理学院 2016 届学士学位论文43. 秩在线性代数中的应用3.1 在求解线性方程组中的应用线性方程组的解是线性
15、代数的核心问题，要解决解的判定，解的个数和如何求出的问题，可以建立方程组解的判定和矩阵秩之间的关系，从而将方程组问题转化为矩阵秩的问题，可以降低线性方程组解的判定。对与 元线性方程N组 ，无解的充分必要条件是 ；有唯一解的充分必要条件是AXb(),)RAb；有无限多解的充分必要条件是 。(),)Rn(,)RAbn例如解线性方程组： 123451234512343512134 1xxxxxxx 将原线性方程组增广矩阵进行初等变换 501321134121A 35400223174501 2 30120575011 湖北师范大学文理学院 2016 届学士学位论文51024013200011 100221000 11200101002 。1 0100121000 方程组的解为 ，其中 是自由未知量。51235401xx5x通过矩阵秩的引入，使得方程组与增广矩阵对应，将线性方程组的变换抽象成为了矩阵的行变换，把线性方程组的一些重要性质反映在矩阵上，从而使问题变得简单明了。
