1、线性丢番图方程赵冲1. 线性丢番图方程的问题背景不定方程的整数解问题是数论的一个重要课题，在现实生活中,该问题有很强的实用意义.一个简单的例子是求用给定面值的邮票凑成所需邮资的全部解法。一个较为复杂的例子是为判定某未知蛋白质分子组成,需将其分子量表为 种氨n基酸的已知分子量 ， ， 的线性组合，显然 及其待求组合系数都是非负1a nia整数,而且只给出一种或几种可能的分解是不够的,必须提供全部可能的分解,以供生物学家们选择。Def1 （1）称为 元一次线性丢121,ssaxaxna 2s番图方程。求一个仅与 有关的整数 ，在,is 1,sg时，方程（1）有非负整数解 ，而11,ssnGaga
2、1,ixs在 时，方程（1）无非负整数解。sDef2 称为整系数线性型的最大不可表数， 称为,s 1,sGaFrobenius 数。求 的问题就是历史上著名的 Frobenius 问题。当 时，该问1,sGa 2n题已彻底解决。在有解的情况下，本文将详细讨论二元一次和三元一次线性丢番图方程的 Frobenius 问题。2. 元一次线性丢番图方程 何时非负整数解2s12naxax1,ixs定理 2.1 设 ， ， 是不全为零的正整数，对任意的整数 ，都存在 ，1a s n1x， 使得方程 成立当且仅当 。特殊的， sx2sxaxn 1,|sa方程（1）对每个 有解当且仅当 【1】 。n1,s证明
3、 设 1,sda因为 ，如果方程（1）有整数解 ，那么|i 1,ixs |dn则存在某个整数 使得qnd由 得存在整数 ， ， ，使得1,sda 1y s（2）12syy再令 则方程（2）可化为,iixq（3）12sayayd即 12sxxn特殊的，当 时，方程（1）对任意整数 都有解。1,s n定理 2.2 ， ， 均为正整数， ，如果 ，1a s1,sa 1sia方程 存在非负整数解 ， ， 【1】 。12sxxn 1x s证明 由定理 1 知存在整数 ， ， 使得1z sz2sazazn又由带余除法得 isiaqx01,isxi令 ，那么1ssixz11ssnaaz11ssssqxqxa
4、z111ssiaaz11ssaxxa1sis此时 可能为负整数，为了保证它的非负性，令sx 1sina则有 ，从而 ，故得证。0sa0sx定理 2.3 ， ， 均为正整数， ，不妨设1 sa1,sa，则12s1122 11 2min, ,s ssi i i iaaaa 证明 作差比较法与 作差1sjijaa12sia112s sjij i112j jjs saaaa 121j jjs 0故得证。定理 2.2 简化成 ， ， 均为正整数， ，1a s1,sa只需 ，方程 存在非负12sa 1in12sxaxn整数解 ， ，1x s3. Frobenius 问题设 ， ， 均为正整数， ，记 为线
5、性丟番图方1a s1,sa 1,sGa程(1)12saxaxn的 Frobenius 数，即1. 当 时，方程（1）有非负整数解；1,snG2. 当 时，方程（1）无非负整数解。sa3.1 二元的 Frobenius 问题定理 3.1.1 设 ， 为正整数， ，则1as12,a【1】 。1212,Ga证明 12,xn由定理 2.1,2.2,2.3 知，对 ，存在 ， 使得1x2且 12nax120xa（*）假设表示法不唯一，则 且12nx120a则 即1212axxa1x又2|,故 1|ax又因为 21a所以 1x同理可得 2从而（*）式的表示唯一。如果 不能表成 ， 和 ， 的组合，则有n1
6、a21x221x则（*）式变为 122a121a所以 12 2,Gaa另一方面，若 1212x（*）则 1212axa又因为 ,则 ，12|x21|x故 ，a2故（*）式变为 ，这是不可能的112121axa综上可得 2,G定理 3.1.2 设 ， ， 为正整数， ，则 无非负整1sn12,12xan数解得充要条件为存在正整数 ， 使得 ，且该表示唯一【2】 。1k22nabk定理 3.1.3 设 ， 为正整数，则 。1as1122121,/aka（其中 表示不超过 的最大整数）xx类似的，也有 2112122,/aka根据 （其中 表示 的小数部分）有以下推论：xx推论 设 ， 为正整数，则
7、1as【2】21212112,/akk设 ， 为正整数， ，令 是 且1as12,12,Na1220na无非负整数解的这样的 的个数。2nxn求证： 12,NaG证明：由定理 3.1.2，定理 3.1.3，可得21112,/aka212/ak12121,/a/a从而 。12,NG例 1 求一元二次丟番图方程 的所以非负整数解。12753x解：首先 ，2,76n满足定理 3.1.2，则该方程一定有非负整数解20,134,5x又 27xZ则 2,x即 有四组非负整数解 ， ，175312,3,x12,6,3x和12,9,x2,x例 2 求一元二次丟番图方程 的所以非负整数解。128356x解：首先
8、 ，8,359G1398n不满足定理 3.1.2，则该方程不一定有非负整数解20,1x但无论 取上述值中的任何值， 都不满足非负整数的条件1x于是 无非负整数解128356x3.2 三元的 Frobenius 问题在四川大学学报上，柯召教授证明了下面一个定理定理 3.2.1 设 ， ， 为正整数， ，则1a23123,a。且当12331212312, ,Ga时，有1223121,a【3】 。12331212312, ,Gaaa陆文瑞把定理 3.2.1 推广，得到一个充要条件定理 3.2.2 设 ， ， 为正整数， ，则123123,a12331212312, ,aGa的充要条件是 （12331
9、212312, , a 12auv， ， 为非负整数）能表出 【4】 。12,adaduv3定理 3.2.2 包含了定理 3.2.1，因为当时，由定理 3.1.1 知 可经 表出31223a12uav而 112221,aa即 时1213212,11233121232, ,aGaa1956 年，陈重穆把这个定理推广到任意 上，即有s定理 3.2.3 设 ， ， 为正整数，且 ， ，1a s1,sa 1da，则有1,2,iida ，当212123112, 1ss s sdaGaaad 时，2122311213,i ii s id 【3】 。212123112, ss s saGaadad 定理 3
10、.2.1 有以下特殊情形推论 1 若 ， ， 为正整数， ，则2a3,()ijij。且当 时，有231,Ga3122aa122证明 此定理的证明直接由定理 3.2.1 和定理 3.2.2 可得。定理 3.2.3 也有以下特殊情形推论 2 设 ， ， 为正整数，且 ， ，1a s,1()ijaij1da，则有 ，当1,iid 122sG时， 。223ias 1,s证明 当 时，由定理 3.1.1 知，方程（1）存在非负整数解，12na事实上取 即可。故30sx 12,sGaa假设 时，方程（1）也存在非负整数解，则由条件可知12此时有 ，即存在非负整数解 ， 使3sx 1x2与定理 3.1.1
11、矛盾。综上可知1212aa, 1sG定理 3.2.2 又较定理 3.2.1 更为广泛，可由下面的例子说明例 3 求 5,6解 由定理 3.2.1，2611549,6,，253,126619,5,均不能成立，即不能满足定理 3.2.1 的条件，但 满足定1235,6,1aa理 3.2.1 的条件 且 ，因而,615165, ,9,G例 4 求 23解 12,5132a又 故满足推论 1 的条件从而 2,35G类似的运用推论 1 可以计算 10 以内的的满足推论 1 的条件的这些1230,ijaaij123,Ga ,52 7,G 2,4 59, ,76G 34, ,588另外还有一些 10 以内的
12、 的但不满足推1230,1ijaaij论 1 的条件的这些 如123,Ga,45，故不满足推论 1 的条件，但是仍有2154a是肯定的。于是采用列举法求它的23,416GFrobenius 数。有非负整数解 ，则125x123,0,x3,45G有非负整数解 ，则34 1有非负整数解 ，则1253x123,x,无非负整数解，则45G但是这样的算法在所给的数较大时比较麻烦，我们急于寻求更简单更直接的方法来计算，于是就有了下面的定理。定理 3.2.4 设 ， ， 为正整数， ，如 不能表为1a2312,a3a的形状。即下列二种情况必有一种成立：12,0auvi）有正整数 存在，适合,rs312121,rsii）有正整数 存在，适合 【4】 。 2aarsa定理 3.2.5 设 ， ， 为正整数，1a23， ， ， ， ， 为非负整数，123,a,d12duv不能表出 ，而uv3（或 ）其中 ，则312ras21asr1212,0arsars（或13332, ,G）112331212312, ,aaar（或112331212322, ,Gs
