1、储油罐的变位识别与罐容表标定摘要通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统” ，但许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位） ，从而导致罐容表发生改变。本文分别针对无变位水平放置、纵向倾斜、纵向倾斜加横向偏转等三种状态下的储油罐建立了罐内油位高度与储油量的对应关系的数学模型。问题一：首先对处于水平放置的无变位状况及油位纵向变位情况小椭圆型储油罐进行分析，根据油位探针的高度分为两种情形分别建立模型，采用微元思想利用定积分求解储油罐的体积。 （ 为油位探针的高度）h， ；)2.1()6.0(34
2、17.6.0)21(arcsin308.1 hhV 6.0。2.1.).().(.)(ri.2 h，其次对于油位纵向变位时，由于罐体两端高度的差距，以油位探针的高度为依据，分为五种情形考虑，分别建立模型（式 1.29） 。问题二：对于实际储油罐，由于种种原因罐体会发生纵向或横向倾斜，从而导致罐容表发生改变。由于罐体由球冠和圆柱体两部分组成，同问题一以油位探针高度为划分依据，对球冠和圆柱体分别分五种情况：对圆柱体，油位探针的高度为： ,tan23tan65.10为 纵 向 倾 斜 度 ）（ h， ， ，2tan60h tan65.15.10htan60h；对球冠，323油位探针的高度为： ，为
3、纵 向 倾 斜 度 ）(ta23tan69.0， ， ，t25.1tan60h n65.125.1htan60h，采用微元思想利用定积分，分别建立球冠与圆柱体的储油323量 与油位探针所探到的油高 之间的对应关系（2.3 节模型） 。V关键字油位探针、微元定积分、储油量、变为识别一：问题重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统” ，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的
4、位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位） ，从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图 1 是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图 2 是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图 3 是罐体横向偏转变位的截面示意图。请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图 4 的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体） ，分别对罐体无变位和倾斜角为 =4.10 的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件 1 所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间
5、隔为 1cm 的罐容表标定值。（2）对于图 1 所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度 和横向偏转角度 ）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2） ，根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为 10cm 的罐容表标定值。进一步利用附件 2 中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。附件 1：小椭圆储油罐的实验数据附件 2：实际储油罐的检测数据油油浮子出油管油位探测装置注油口检查口地平线2m 6m1m 1m3 m油位高度图 1 储油罐正面示意图油位探针图 3
6、储油罐截面示意图（b）横向偏转倾斜后正截面图地 平 线 地平线垂直线油位探针（a）无偏转倾斜的正截面图油位探针油位探测装置地 平 线 油 3m油 油位探针 地平线图 2 储油罐纵向倾斜变位后示意图油油浮子出油管油位探测装置注油口检查口水平线(b) 小椭圆油罐截面示意图 油油浮子出油管油位探针 注油口水平线2.05m 17cm cm0.4m1.2m1.2m1.78m(a) 小椭圆油罐正面示意图图 4 小椭圆型油罐形状及尺寸示意图三、问题假设与符号说明3.1、问题假设：1、假设所有的测量数据都是真实可靠的，不存在人为的采集误差影响；2、假设在实验过程中，温度等外界因素对储油容积的影响忽略不计；3、
7、假设储油罐的变位角度足够小，可以满足对它进行多种情况分段计算。3.2、符号说明：符号过多，具体说明文中给出。四、模型建立与求解问题一：小椭圆储油罐的体积与油位探针高度的函数模型：1.1 罐体无变位时的体积与油位探针高度的函数模型：当罐体无变位时，设侧面的油面面积为 ，则罐体储油的体积（储油)(hS量 满足： 1V（1.1）)(45.2)(1LhSV其中单位为 ，在后面的刻度标定与数据检验时将再考虑单位的转换。3m下分两种请况来考虑罐体储油的体积（储油量） 与油位探针高度 的函1Vh数关系模型。1.1.1 上述情形的模型当 ，侧面的油面面积 为 与 围6.0h)(hS6.0y289.01.xy成
8、的平面图形的面积。其左右两个端点坐标为 ，从而侧面的油面面积：).6.0)(189.(2dxhhS )89.01.(2)(26.0)(189. 21= ， （ ).()6.(483.16.0)arcsin534.0 h)6.0（1.2）此时，根据（1.1）和（1.2）可以得到罐体储油的体积（储油量） 与1V关系式：h（1.3）)2.1()6.0(3417.6.0)21(arcsin308.1 hhhV 1.1.2 情形 2 的模型：当 时，侧面的油面面积 为 与椭圆围成的平面.6.h)(S.y阴影部分图形的面积。其左右两个端点坐标为 ，从而侧面的油面面积：)6.0,.)(189.0(2h)2.
9、1()6.0(483.16.0)2(arcsin534.0.9.)(26.0)(189. 22 hhdxxhSh )2.16.0(h（1.4）此时，根据（1.1）和（1.4）可以得到罐体储油的体积（储油量） 与1V的关系式为：h， （1.5）)2.1()6.0(3417.6.0)21(arcsin308.1.2 hhV 根据（1.3）和（1.5）式可检测出附件 1 中那些与其描述的结论或吻合的数据，这些数据之外的就是变位情况下的数据。 （数据中 可能为 262 进油VL量）接下来考虑变位情况下的数据模型，即体积（储油量）与高度之间的关系式。1.2 罐体纵向变位时的体积与油位探针高度的函数模型：
10、当罐体纵向变位时，其水平线平行于坐标轴。此时，设油位指标测出的高度为 ，我们将研究油罐内储存的容积 与 的关系模型。h2Vh令侧面上左右两端的油高分别为 和 ，容易得出 与 之间的关系1 21h、式，易得（1.6）tan4.01h（1.7）52其中 .14设 指左边为 时左边截面油面面积； 指右边为 时右边截面)(hS1h)(2hS2h油面面积。下面求 和 关于 的表达式，分为以下几种情况进行考虑：)(1)(2S（I） 时，类似于情形 2 可以得到，即：.6.02h时，tan40tan5. ，)2.1()6.0(483.16.0)(rcsi53.)( 11 hhhS ，).().(.)2(ar
11、in4.0.)( 222所以，类似的，设从油位探针底端出发到左 米时，其对应的油位高度为：z（1.8） 1.4,.0,tan)(1 zh设从油位探针底端出发到右 米时，其对应的油位高度为：（1.9）.,5.2,t)(2油位探针左 米处的油面截面积为：z)(2.1)(6.0(483.16.0)(arcsin34.5)1 1zhzhzS（1.10）油位探针右 米处的油面截面积为：z)(2.1)(6.0(483.1 6.0)(arcsin534.)2 22 zhzhS（1.11）其中（1.10）和（1.11）中 满足表达式（1.8） ， （1.9） 。)(,21因此，储油量即油罐内油的体积 有如下表
12、达式：V4.005.212)()(dzSz（1.12）其中， 满足（1.10） ， （1.11）.)(,21zS（II）当 时，即6.0012h tan4.06tan5.2h)2.1().(83.1.)(arcsin534.)( 111 hS ).()6.0(4.6.0)2(ri.0)( 2222 hhh 设从油位探针底端出发左行 米和右行 米对应的油位高度分别满足zz（1.8） （1.9） ，即：；1.4,.0,tan)(1 h，522zz所以，油位探针左行 米和右行 米的油面截面积分别为：)(2.1)(6.0)(483.16.0)(1)(arcsin534.0)( 33333 zhzzhh
13、zS （1.13）（)(.)(.)(.)(2)(arcsi.)( 444444 zzzzz1.14）因此，储油量即油罐内油的体积 有如下表达式：2V（1.15）4.005.432)()(dzSzV其中 满足（1.13）和（1.14） ，)(,43zS) 且 时，即 时，(2.16.0h6.02h tan05.26tan4.0h设从图 1.4 所示的点 O 出发左行 z 米和右行 z 米对应油位高度分别满足（1.16）1.),ta6.5.,tan.)( 25 z（1.17）.4,tn0,t6.06 hzh其中 .tan.2z所以，从图 1.4 所示的点 O 出发左行 z 米和右行 z 米对应的油
14、位截面积分别为 )(2.1)(6.0(483.16.0)(2)(arcsin534.0.)( 555555 zhzhhzS （1.18） )(2.1)(6.0)(483.16.0)(21)(arcsin534.0)( 666 zhzzhzhzzS （1.19）因此，储油量即满足油罐内的体积 有如下表达式：2Vtan6.0452tan6.022)()(hhdzSdzS（1.20）其中 满足（1.18）和（1.19） ，)(,65zS 1.4tan05.2h（） 时，即 时，设从点 Atan45.2tan4.01h 60出发右行 z 米对应的油位高度分别满足（1.12）1.4,t.0,t.()7
15、hzh）所以，从点 A 出发 z 米处的油面截面积分别为 )(2.1)(6.0)(83.6.0)(21)(arcsin534.0)( 777777 zhzzhzzS 因此，储油量即油罐油的体积 有如下表达式：2V（1.23）tan4.072)(hdzS（） 时，即 时，t5.1tan45.212h 2.1tan4.021h设油罐内储油量为 满足：V（1.24）无无 V38.89.06.2 V下面来计算 ，从点 B 出发左行 z 米对应的油位高度为无（1.25） 1.4,tan2.15,2.1tan05.8 hhzzh所以，从点 B 出发左行 z 米处的无油面截面积分别为： )(2.)(6.0)
16、(483.6.0)()(rcsi34.)( 88888 zhzzhzzS （1.26）因此，储油量即油罐内无油部分的体积 有如下表达式：无V（1.27）tan2.1058)(hdzS无根据（1.24） （1.27）得到 ：（1.28）tan2.10582)(3.1hdzSV综合（I）-()可以得到罐体纵向变位时的体积与油位探针高度的函数模型如下：(1.29) tan2.1058tan4.07tan6.0452tan6.05.244.3.00.1 2.1tan4.0,)(3.16.t5.,)( tan05.2tan4.0,)()( t4.6t.,)()( an.021an05.2,22hhhh
17、hdzShdzSdzShdzSzV其中： )(2.1)(6.0(483.16.0)(21)(arcsin534.0.)( 11 zhzhzzhzS )(.)(.(.)()(arcsi.)( 222222 zzzzz )(.1)(6.0)(483.16.0)(1)(rin534.0)( 33333 hzhhS )(2.)(.)(.)(2)(arcsi.)( 444444 zzzz )(.1)(6.0(83.16.0)()(rin53.0.)( 55555 hhzhS )(2.1)(6.0)(483.16.0)(21)(arcsin534.0)( 666 zhzzhzhzzS )(.)(.)(.)
18、()(ri.)( 777777 )(2.1)(6.0)(483.16.0)(21)(arcsin534.0)( 88888 zhzzhzhzzS 以上表达式中 至 如下：)(1h8；1.4,.0,tanzhz；52)(2；.,.,ta3zz；140n)(4 h；.),tan6.5.2,ta6.025 hzzh；1.4,t0,tn.)(6 ；an.a407 hzhzzh）。 .,t2.05,2.1t5.28 问题二.实际储油罐的体积与油位探针高度的函数模型：对于实际储油罐而言，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向倾斜等变化（以下称为变位） ，从而导致罐容表发生改变。下面我们将建立一定的数学模型来表示储油量 与油位探针所探到的油高 之间的对应关Vh系。设圆柱体部分储油量为 ，则 , 分别为左右两个球冠部 2121V分的储油量。容易求得球冠部分所在的半径 满足 ,计算的 .R225.)(6251R2.1 圆柱体部分的储油量：由题可知，圆柱侧面为半径 米的圆，设油位探针的油高为 ，实际5.1r h油高设为 ，分为两种情形。无论是哪种情况， 与 的关系式总是满足如下0h 0h表达式：（2.1）cos)5.1(.cos)(0 rh
