1、中国科学技术大学University of Science and Technology of China本科毕业论文A Dissertation Submitted for the Bachelors Degree保细节的曲面编辑算法研究Surface Editing with Detail Preservation姓 名 李 勃B.S. Candidate Bo Li导 师 刘利 刚 教授Supervisor Prof.Ligang Liu2013 年 5 月May, 2013中国科学技术大学本科毕业论文0 谢 感谢中国科学技术大学多年在学习生活中的帮助，使学生在思想境界，学术水平上都有了
2、比较大的提高。并感谢母校能给学生这样一个机会 完成这篇论文。感谢中国科学技术大学刘利刚老师在本论文将近三个月的制作期间持续地耐心地解答学生的问题。刘老师不仅在论文中各种难点处给予学生自 然而深刻的指导，而且在学生学习生活方面处于十分迷茫的时期提供了友 善而有力的教诲，使学生能够正视人生道路上的困难，在接下来的若干年 里学生也将跟随刘老师从事相关研究工作，希望老师不吝教导。同时感谢中国科学技术大学单文同学、丁超同学与华中科学技术大学的王康同学等在这段时间内提供的各种资源上和知识上的帮助。感谢孙琪 同学在论文相关资源相关的方方面面的协助，孙琪同学在共同学习的四年 中提供了学生各种各样的帮助，其所充
3、满的专业精神与助人精神，是我所 应该学习的。能够顺利的完成学业并走向新的道路我十分高兴，在此亦将十分感谢 同宿舍以及邻舍的各位同学，给我创造了这样一个充满了善意与努力的环 境。尤其感谢我的父母在各方面的无私的大力支持与默默的奉献，我以你 们为荣。1中国科学技术大学本科毕业论文目 录致 谢 1摘 要 3Abstract 4第一章 绪论 51.1 引言 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 相关工作 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4、. . . . . . . . 6第二章 Laplacian 编辑 92.1 Laplacian 坐标 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Laplacian 编辑 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Laplacian 编辑的实现 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4 Laplacian 编辑的优 缺点 . . . . . . . . . . . .
5、. . . . . . . . . . . 15 第三章 ARAP 编辑 163.1 ARAP 局部分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.2 ARAP 整体处理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.3 ARAP 编辑的实现 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.4 ARAP 编辑的特点 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6、. . . . . . . . 20 第四章 总结与延伸 234.1 总结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.2 延伸 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 参考文献 262中国科学技术大学本科毕业论文0 要 伴随着计算机图形学学科的深入发展与该学科应用于实际工作中要求的广泛加深，三维模型的形状变形问题变得相当基本而重要。本篇论文便主要介绍了三维模型形状编辑过程中能够有效保持模型表
7、面细节的两种算法。分别为基于 Laplacian 坐标变换的 Laplacian 编辑以及以此为基础的进一步地施加刚性修正的 ARAP 编辑。本论文着重于介 绍两种算法的原理、实现、应用以及发展，大致分为三个部分。第一部分，也就是第二章我们主要介绍 Laplacian 编辑。这种 Lapla-cian 编辑是一种先对选定区域中各点建立局部拉普拉斯坐标，然后通过引导其进行平移、旋转、放缩这几种可以保持细节部分的变换来完成保持模型表面细节的形状变形的一种算法。这种算法可以有效地完成保持模型表面细节形状变形，并且具有形式简洁，运算速度快等诸多优点。而 第 二 部 分，我 们 则 介 绍 ARAP 编
8、 辑，这 将 放 在 第 三 章 中 进 行。ARAP 编辑，即极大刚性编辑，作为 Laplacian 编辑不能良好的控制形变模型细节刚性这一问题的解决方案，要在 Laplacian 编辑的基础上建立晶格体系，通过奇异值分解提取之前坐标变换对每一个晶格结构变换的旋转分量，对之前变换进行晶格旋转变换的近似来达到刚性修正的效果。这一方法可以比较好地保持形状变形过程中的模型的刚性，从而达到Laplacian 编辑所不能达到的效果。在最后我们也较详尽地比较了两者在形状变形过程中所达到的保持细 节形式的差异，提出了保细节形状变形中的一些问题。这也是本论文的重 要内容之一。关键字: 图形变形，Laplac
9、ian 编辑，ARAP 编辑，稀疏矩 阵3中国科学技术大学本科毕业论文Abstract3D meshes editing is becoming more and more important with the rapid development of Computer Graphics and its application. This pa-per introduces two surface editing algorithms which can keep the surface details, the Laplacian editing based on the Laplacian
10、 coordinates and As-rigid-as-possible surface editing. The thesis focuses on the implementation, application and development of the two algorithms.The first one, laplacian editing, is based on the local Laplacian coordi-nates, by directing its simple coordinate transformation to keep the surface det
11、ails. It has many advantage such as computing fast and achieving easily.The latter one ,ARAP editing, keeps the model as rigid as possible by setting up Cells. By using singular value decomposition to Laplacian surface editing, it can find a rotation approximation for keeping rigid. This approach ca
12、n make it while Laplacian editing cannot.The di erence of them is also the emphasis of this paper,which we will discuss at the end.Keywords: model editing , Laplacian editing , ARAP editing , Sparse Matrix4中国科学技术大学本科毕业论文0 1 章 绪论 1.1 引言 形状变形是计算机图形学中十分重要的一类问题。在处理三维图形的实际 过程中，三角网格在记录点、线、面的数据以及此三者之间关系的维护
13、方面具 有十分显著的优势，故三角形网格成为了此问题中比较常用的模型之一。从而 形状变形的相关问题经常直接演变成处理三角网格坐标变换的问题。在以往的三角网格坐标变换的研究中，比较自然的想法是在世界坐标系中 研究变换。然而，实际上对于处理形状变形细节的保持这一问题，大部分情况 下我们并不需要对每个点的绝对位置进行关注，而只需要考虑点的邻域中的其 他点与其的相对位置关系即可。这就是说我们可以根据网格中每个点与其周围 的少数点建立局部的坐标架，通过这种局部标架就可以有效的处理点的平移、 旋转、放缩变换过程中的细节保持问题。并且如此建立标架可以构建出坐标变 换的大规模稀疏矩阵的线性方程组，利用方程组的显
14、著的稀疏性就可以快速求 出变换后各点的坐标。这就是目前的大部分形状变形相关的网格编辑的主要思 路。Laplacian 编辑就是这种思路所产生的一种图形变形算法。而无论是在工业生产或是日常生活中，具有一定刚性的三维模型均是十 分平凡的。在处理这一类模型的形状变形过程中，保持细节部分的相对水平 的稳定也是十分重要的一类问题。而在接下来的讨论中我们得出结论，仅靠Laplacian 编辑来完成形状变形时会导致此类模型 变换后细节的平衡上相对失真。对于这种情况，就可以通过 ARAP 编辑来进 行有效的修正。其基本思路是先进行一次预测式的变换，这一步应用 Laplacian 编辑即可，然后通过逐点建立 1
15、- 邻域的晶格结构，将之前的坐标变换视为对于每个晶格的基本变换。对此变换的矩阵利用奇异值分解的方法抽取其中的旋转变换，以此旋转变换作为该晶格的基本变换的近似来操作整个图形的变换，从而控制模型细节的刚性。5中国科学技术大学本科毕业论文1.2 相关工作 三维形状变形的相关问题在计算机图形学领域占有重要地位，因而在以 往已经有相当多的学者置身于这些研究之中了，而这篇文章就是主要基于Sorkine 等的关于 Laplacian 编辑的文章 1 与这一研究小组关于 ARAP 编辑 的文章 2 完成的。在此之前的相关研究中，比较古老的研究方向是将所编辑 图形进行合理拆分，将三维网格中的光滑部分和细节部分通
16、过特定的算法提取 出来，并将两者分别进行编辑 34，这种方法虽然可以实现，但是成本比较 大，运算速度慢，占据资源多，此后就不太热门了。而后则出现一些基于整体 编辑的形状变形，如 Welch 等的简 易形状编辑 5，Taubin 等的光滑表面处理 算法 6，Veuvre 等的基于有限元建模的形状变形 7 等等，这些算法产生于三 维网格整体编辑研究的初期，对于处理相对光滑三维网格形状变形具有很好的 效果，但对于处理具有显著细节需要保持的三维网格，这些方法的效果就不尽 人意了。再之后，FORSEY 等人提出了保细节形状变形在世界坐标系中实现的 算法 8，可以比较有效的保持形状变形中的细节部分，但是这种基于整体点的 研究思路，也导致了运算上的规模过大的问题。后来在图像处理领域中 Perez等将偏微分方程引入其中提出了基于泊松方程的图像拼接技术 9，效果十分显 著，且其所用的求解大规模稀疏矩阵方程组的运算技术发展十分迅速，运算速 度非常之快。
