1、2013 高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了全国大学生数学建模竞赛章程和全国大学生数学建模竞赛参赛规则 （以下简称为“竞赛章程和参赛规则” ，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载） 。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛
2、章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等） 。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： C 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 山西建筑职业技术学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 王晋鹏 2. 李 帅 3. 徐 进 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 原二保 （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误
3、，论文可能被取消评奖资格。）日期： 2013 年 9 月 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2013 高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）:1C题 古塔的变形摘要文物保护是一件非常重要的事情，如何根据对古塔的测量数据了解其倾斜、弯曲、扭曲等情况并能够确定变形趋势是本文要解决的问题。针对问题一，本文将各层八个观测点看作同一平面上一个八边形的角点，利用公式 ，niiii iiiiyxx11113)
4、(并 编 写 C+程 序 计 算 其 中 心 坐 标 ， 有 较 高 的 精 确 度 。 问 题 二 要 求niiii iiiiyxy11113)(确 定 古 塔 的 倾斜、弯曲、扭曲等变形情况，结合测量专业知识，利用公式计 算 得 到 四 年 各 层 中 心 相 对 于 下 一 层 中 心 的 偏 心 距 （ 合 位 移 ） 与倾斜角度以及hdarct四年古塔整体倾斜的合位移与倾斜角度：1986 年 1996 年 2009 年 2011 年合 位 移 （ m） 0.3779 0.3739 0.3778 0.3285倾 斜 角 （ 弧 度 ） 0.0129 0.0121 0.0113 0.01
5、03利用公式 计算反映各段的弯曲，利用 ；)/arctn(dz 2121yxdkk及 最终确定出各年古塔整体k1arctnxyknk n2321扭曲情况：1986 年 1996 年 2009 年 2011 年扭曲方向（度） -34.3 -31.66 -36.52 -34.34扭曲位移（m） 0.3752 0.3159 0.3035 0.2713数据分析表明四年中底部 1-3 层及顶部 11-13 层扭曲现象严重，而中段 4-10 扭曲较平缓。应加强对底部及顶部的观测与维护。弯曲方面，四年相对变化不大，主要体现在各年不同层次的弯曲有一些变异，整体倾斜度不大且减小趋势。关键词：重心（中心） ，倾斜
6、、弯曲、扭曲 C+ MATLAB EXCEL2一 问题重述由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响，古塔会产生各种变形，诸如倾斜、弯曲、扭曲等。为保护古塔，文物部门需适时对古塔进行观测，了解各种变形量，以制定必要的保护措施。某古塔已有上千年历史，是我国重点保护文物。管理部门委托测绘公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月对该塔进行了4次观测。请根据附件1提供的4次观测数据，讨论以下问题：1.给出确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出各次测量的古塔各层中心坐标。2. 分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。3. 分析该塔的变形趋势。二
7、模型假设1.古塔变形测量的监测点选取符合变形观测的原则，测量数据有效。2楼层平面质地均匀。3. 在古塔各层选定的8（或7个）个监测点在同一平面内。三 符号约定1 ：第 个观测点的坐标。),(iyx2. x：各层中心相对于下一层中心在x轴方向的位移量。2. y：各层中心相对于下一层中心在y轴方向的位移量。3 d：各层中心相对于底层中心的合位移。4 ：各层中心相对于底层中心的扭曲方向。k5 ：各层中心扭曲方向的平均值，反映建筑物主体的扭曲方向。6h：各层中心相对于第一层中心的高度值。四 模型分析建立与求解问题一：确定古塔各层中心分析:附件给出了测绘公司先后于1986年7月、1996年8月、2009
8、年3月和2011年3月对古塔进行4次观测结果，即古塔十三层及塔尖各监测测点的坐标值。在建筑物的变形测量中每次都选取固定监测点观测。按附件提供的测测点的坐标值作图（图一），显现出正八边形形状，所以可以假设古塔为八角形，各层所设8个（7个）监测点为各层八角形的塔角。各层所设8个（7个）监测点坐标值的z坐标值虽有所不同，但差值最大仅为0.194m，可以忽略高度变化，故各层中心计算时假设8个（7个）塔角在同一平面内。查阅测量相关资料知道：对于外轮廓为正八边形的塔形垂直的建筑物，需对8条棱进行观测，每层观测8个角点（在同一平面内），从8个角点构成八边形得到的几何中心就是该层中心。在附件给出的4次观测数据
9、中，还发现1986年和1996年数据中十三层却监测点5。根据古塔已上千年历史，可推断古塔1986年和1996年进行测量时，13层塔角5处于损毁状态，到 2009年第三次测量前已经修复。313 层塔角 5 在两次测量无数据，故对 1986 年和 1996 年 13 层数据计算得到中心坐标误差较大，这对后面计算会产生影响。模型建立：在高等数学中已知物理学中求平面薄片重心的公式为：，Ddyx),(Ddyx),(当薄片质量分布均匀，即密度为一常数时，分式上下 可约分，此时分母转化为平面图形的面积，公式简化为：，SxDSyD此时平面薄片的重心完全由平面图形形状决定，即为平面图形的中心。利用这组公式进行计
10、算，计算难度决定于图形形状，但即使是正八边形，要确定边界表达式困难也很大，使得积分计算难度增加。工程计算中，对于非圆形建（构）筑物的几何中心，通常为通过测定其外廓的对称于几何中心的棱角点的坐标并取其平均值的办法来求得其几何中心的坐标，即使用公式，nxni1yni1本公式使用简单，一般能满足计算需要，但文献表明，由于 是测量数据，本身),(iyx存在误差，而减小误差也是操作中需要注意的，故选取公式 1 ，niiii iiiiyx11113)(， 约 定 ，niiii iiiiyxy11113)( 1xn进行求解。1yn图 14模型计算：利用上述公式计算各层古塔中心，通过编制 C+程序实现。 （附
11、件一） ，计算结果为表 1表 11986 年中心坐标 1996 年中心坐标各年中 心坐标层数 x y z x y z1 566.6649 522.7092 1.7874 566.6651 522.7089 1.78302 566.7218 522.6108 7.3203 566.7227 522.6698 7.31463 566.7775 522.6332 12.7553 566.7453 522.6794 12.75084 566.8092 522.6141 14.7896 566.8234 522.6012 14.78585 566.8684 522.5713 21.7205 566.87
12、11 522.5685 21.71606 566.9168 522.5399 26.2351 566.9202 522.5365 26.22957 566.9511 522.5231 29.8369 566.9552 522.5181 29.83238 566.9845 522.5066 33.3509 566.9686 522.5023 33.34549 567.0182 522.4900 36.8549 567.0229 522.4850 36.848310 567.0491 522.4759 40.1721 567.0542 522.4706 40.167611 567.1021 522
13、.4356 44.4409 567.1078 522.4298 44.435412 567.1550 522.3954 48.7119 567.1391 522.3991 48.707413 567.1496 522.5437 52.8343 567.1558 522.5375 52.8300塔尖 567.2473 522.2438 55.1233 567.2544 522.2367 55.11982009 年中心坐标 2011 年中心坐标各年中心坐标层数 x y z x y z1 566.7378 522.6979 1.7645 566.7413 522.7004 1.76332 566.7
14、760 522.6712 7.3090 566.7762 522.6710 7.29053 566.8094 522.6437 12.7323 566.8098 522.6441 12.72694 566.8368 522.6208 14.7734 566.8561 522.6536 14.76225 566.8655 522.5970 21.7094 566.8706 522.6019 21.70396 566.9540 522.5475 26.2110 566.9547 522.5467 26.20457 566.9871 522.5254 29.8246 567.0282 522.616
15、2 29.81708 567.0252 522.4756 33.3399 567.0402 522.4923 33.33669 567.0915 522.4604 36.8438 567.0925 522.4595 36.822310 567.1463 522.4068 40.1611 567.1474 522.4056 40.144111 567.1890 522.3668 44.4326 567.2131 522.3930 44.424912 567.2313 522.3273 48.6998 567.2326 522.3260 48.683913 567.2801 522.2814 52
16、.8184 566.7762 522.6710 52.8131塔尖 567.3360 522.2148 55.0910 567.3375 522.2135 55.0870问题二：古塔的倾斜、弯曲、扭曲分 析 ： 问 题 一 对 每次测量得到了古塔各层的中心坐标，分 析 古 塔 的 倾 斜 、 弯 曲 、 扭 曲等 情 况 时 ， 首先考虑视各层中心连线近似于一条直线，所以首先通过中心连线与铅垂直线夹角计算初步了解古塔的变形情况。初 解 ： 利 用 最 小 二 乘 拟 合 方 法 能 够 确 定 已 知 数 据 点 的 平 面 拟 合 曲 线 。niyxi ,21),(5对 于 已 知 空 间
17、数 据 点 ， 若 数 据 点 近 似 分 布 在 一 条 直 线 附 近 ， 亦 可 进 行nizyxi ,21),(空 间 直 线 拟 合 ， 因 空 间 直 线 可 视 为 两 个 平 面 相 交 所 成 的 直 线 ， 故 分 别 对 两 个 方 程dcba进 行 平 面 数 据 拟 合 从 而 确 定 的 取 值 2。,运 行 如 下 matlab 程 序 ， 得 到 各 年 各 层 中 心 对 应 的 空 间 拟 合 直 线 。function nhx1=input(input x1:);x=x1;y1=input(input y1:);y=y1;z1=input(input z1
18、:);z=z1;F=z;1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1;M=F*F;N=F*x;O=F*y;A=(MN)B=(MO)ABzz=1:10:60;xx=A(1)*zz+A(2);yy=B(1)*zz+B(2);subplot(2,2,3);plot3(xx,yy,zz,r);hold on,plot3(x,y,z,+);title(2009),grid on直 线 方 程 为 ：1986 年 ： x=0.01023z+566.6475， y=-0.0058z+522.69691996 年 ： x=0.0103z+566.6435， y=-0.0064z+522.719320
19、09 年 ： x=0.0115z+566.6699， y=-0.0088z+522.75552011 年 ： x=0.0085z+566.7331， y=-0.0066z+522.79接 下 来 应 用 空 间 两 条 直 线 夹 角 公 式，111:pnymL 222:pznymxL2212112),cos( pn运 用 matlab 计 算 各条直线与铅垂线夹角如表 2。表 21986 年 1996 年 2009 年 2011 年角度（度） 0.6704 0.6948 0.8296 0.6166初 步 结 论 ： 对 表 1、 表 2 数 据 初 步 分 析 可 知 塔 身 既 有 倾 斜
20、 又 有 扭 曲 。 幅 度 并 不 大 。进 一 步 求 解首 先 计 算 各 层 中 心 与 底 层 中 心 相 比 得 到 的 x 偏 移 与 y 偏 移 ， 得 到 表 4：表 461986年 1996年 2009年 2011年层数 x y x y x y x y2 0.0569 -0.0984 0.0576 -0.0391 0.0382 -0.0267 0.0349 -0.0294 3 0.1126 -0.0760 0.0802 -0.0295 0.0716 -0.0542 0.0685 -0.0563 4 0.1443 -0.0951 0.1583 -0.1077 0.0990 -
21、0.0771 0.1148 -0.0468 5 0.2035 -0.1379 0.2060 -0.1404 0.1277 -0.1009 0.1293 -0.0985 6 0.2519 -0.1693 0.2551 -0.1724 0.2162 -0.1504 0.2134 -0.1537 7 0.2862 -0.1861 0.2901 -0.1908 0.2493 -0.1725 0.2869 -0.0842 8 0.3196 -0.2026 0.3035 -0.2066 0.2874 -0.2223 0.2989 -0.2081 9 0.3533 -0.2192 0.3578 -0.223
22、9 0.3537 -0.2375 0.3512 -0.2409 10 0.3842 -0.2333 0.3891 -0.2383 0.4085 -0.2911 0.4061 -0.2948 11 0.4372 -0.2736 0.4427 -0.2791 0.4512 -0.3311 0.4718 -0.3074 12 0.4901 -0.3138 0.4740 -0.3098 0.4935 -0.3706 0.4913 -0.3744 13 0.4847 -0.1655 0.4907 -0.1714 0.5423 -0.4165 0.0349 -0.0294 塔尖 0.5824 -0.465
23、5 0.5892 -0.4723 0.5982 -0.4831 0.5962 -0.4869 平均值0.3159 -0.2028 0.3149 -0.1986 0.3028 -0.2257 0.2691 -0.1854 1 倾 斜 1986 1996 2009 2011层数 合位移 d 倾斜角 合位移 d 倾斜角 合位移 d 倾斜角 合位移 d 倾斜角 1 2 0.1137 0.0205 0.0696 0.0126 0.0466 0.0084 0.0456 0.00833 0.1358 0.0124 0.0855 0.0078 0.0898 0.0082 0.0887 0.00814 0.17
24、28 0.0133 0.1915 0.0147 0.1255 0.0097 0.1240 0.00965 0.2458 0.0123 0.2493 0.0125 0.1628 0.0082 0.1625 0.00826 0.3035 0.0124 0.3079 0.0126 0.2634 0.0108 0.2630 0.01087 0.3414 0.0122 0.3472 0.0124 0.3032 0.0108 0.2990 0.01078 0.3784 0.0120 0.3671 0.0116 0.3633 0.0115 0.3642 0.01159 0.4158 0.0119 0.422
25、1 0.0120 0.4260 0.0122 0.4259 0.012210 0.4495 0.0117 0.4563 0.0119 0.5016 0.0131 0.5018 0.013111 0.5158 0.0121 0.5233 0.0123 0.5597 0.0131 0.5631 0.013212 0.5820 0.0124 0.5663 0.0121 0.6172 0.0132 0.6177 0.013213 0.5122 0.0100 0.5198 0.0102 0.6838 0.0134 0.0456 0.0009塔尖 0.7455 0.0140 0.7551 0.0142 0
26、.7689 0.0144 0.7698 0.01447倾 斜 是 建 筑 中 心 线 或 其 墙 、 柱 等 ， 在 不 同 高 度 的 点 对 其 相 应 底 部 点 的 偏 移 现 象 。高 层 建筑 由 于 地 基 不 均 匀 沉 降 而 产 生 倾 斜 ， 可 利 用 相 互 垂 直 的 两 个 量 来 描 述如 图 二 所 示 ， 根 据 建 筑物 的 设 计 ， 底 层 中 心 A 点 与 顶 层 中 心 B 点 位 于 同 一 竖 直 直 线 上 ， 当 建 筑 物 发 生 倾 斜 时 ， 则 B点 相 对 A 点 移 动 了 某 一 数 值 d， 则 建 筑 物 的 倾 斜 角
27、 为 。 计 算 得 到 其 它 年 份 各 层hdarctn中 心 与 1986 年 各 层 中 心 的 位 移 量 及 高 度 ， 求 出 倾 斜 角 弧 度 数 如 表 5， 而 各 年 份 塔 的 合 位h移 和 倾 斜 度 数 如 表 6。表 5表 61986 年 1996 年 2009 年 2011 年合 位 移 （ m） 0.3779 0.3739 0.3778 0.3285倾 斜 角 （ 弧 度 ） 0.0129 0.0121 0.0113 0.01032.弯 曲观 测 古 塔 的 弯 曲 变 形 就 是 考 察 古 塔 在 外 力 作 用 下 ， 其 中 心 轴 线 由 直
28、线 变 成 了 曲 线 的 情况 。 为 此 ， 计 算 各 层 中 心 相 对 于 下 一 层 中 心 的 合 位 移 以 及 各 层 中 心 相 对 于 下2yxd一 层 中 心 的 倾 斜 角 （ ） ，通过比较合 位 移 、 倾 斜 角变化预测古dzarctn1zk塔 的 弯 曲 变 形 。 见表 7。表 7平均值 0.3779 0.0129 0.3739 0.0121 0.3778 0.0113 0.3285 0.0103层数 xk y k zk合位移 d 角（rad）2 0.0569 -0.0984 5.5329 0.1137 1.5503 3 0.1126 -0.0760 5.4
29、350 0.1358 1.5458 4 0.1443 -0.0951 2.0343 0.1728 1.4860 5 0.2035 -0.1379 6.9309 0.2458 1.5353 6 0.2519 -0.1693 4.5146 0.3035 1.5037 7 0.2862 -0.1861 3.6018 0.3414 1.4763 8 0.3196 -0.2026 3.5140 0.3784 1.4635 9 0.3533 -0.2192 3.5040 0.4158 1.4527 10 0.3842 -0.2333 3.3172 0.4495 1.4361 11 0.4372 -0.27
30、36 4.2688 0.5158 1.4506 12 0.4901 -0.3138 4.2710 0.5820 1.4354 13 0.4847 -0.1655 4.1224 0.5122 1.4472 1986年塔尖 0.5824 -0.4655 2.2890 0.7455 1.2559 层数 x k y k z k 合位移 d 角 (rad)2 0.0576 -0.0391 5.5316 0.0696 1.55823 0.0802 -0.0295 5.4362 0.0855 1.55514 0.1583 -0.1077 2.0350 0.1915 1.4775 0.2060 -0.1404
31、 6.9302 0.2493 1.53486 0.2551 -0.1724 4.5135 0.3079 1.50277 0.2901 -0.1908 3.6028 0.3472 1.47471996年8 0.3035 -0.2066 3.5131 0.3671 1.466789 0.3578 -0.2239 3.5029 0.4221 1.450910 0.3891 -0.2383 3.3193 0.4563 1.434211 0.4427 -0.2791 4.2678 0.5233 1.448812 0.4740 -0.3098 4.2720 0.5663 1.43913 0.4907 -0
32、.1714 4.1226 0.5198 1.4454塔尖 0.5892 -0.4723 2.2898 0.7551 1.2522层数 x k y k z k 合位移 d 角 2 0.0382 -0.0267 5.5445 0.0466 1.5624 3 0.0716 -0.0542 5.4233 0.0898 1.5542 4 0.0990 -0.0771 2.0411 0.1255 1.5094 5 0.1277 -0.1009 6.9360 0.1628 1.5473 6 0.2162 -0.1504 4.5016 0.2634 1.5124 7 0.2493 -0.1725 3.6136
33、 0.0466 1.4871 8 0.2874 -0.2223 3.5153 0.0898 1.4678 9 0.3537 -0.2375 3.5039 0.1255 1.4498 10 0.4085 -0.2911 3.3173 0.1628 1.4207 11 0.4512 -0.3311 4.2715 0.2634 1.4405 12 0.4935 -0.3706 4.2672 0.3032 1.4272 13 0.5423 -0.4165 4.1186 0.3633 1.4063 2009年塔尖 0.5982 -0.4831 2.2726 0.4260 1.2445 层数 x k y
34、k z k 合位移 d 角 2 0.0349 -0.0294 5.5272 0.0456 1.5625 3 0.0685 -0.0563 5.4364 0.0887 1.5545 4 0.1148 -0.0468 2.0353 0.1240 1.5100 5 0.1293 -0.0985 6.9417 0.1625 1.5474 6 0.2134 -0.1537 4.5006 0.2630 1.5124 7 0.2869 -0.0842 3.6125 0.2990 1.4882 8 0.2989 -0.2081 3.5196 0.3642 1.4677 9 0.3512 -0.2409 3.4857 0.4259 1.4492 10 0.4061 -0.2948 3.3218 0.5018 1.4209 11 0.4718 -0.3074 4.2808 0.5631 1.4400 12 0.4913 -0.3744 4.2590 0.6177 1.4268 13 0.0349 -0.0294 4.1292 0.0456 1.5597 2011年塔尖 0.5962 -0.4869 2.2739 0.7698 1.2444
