1、变胞机构的理论基础及基本求解摘要：简单介绍了变胞机构概念提出的时间，详细阐述了采用 Huston 低序体阵列和齐次变换矩阵相结合的方法，描述刚体的位置和姿态（简称位姿） 。包括对位置描述的位置矢量，对方位描述的旋转矩阵， 平移运动的齐次变换矩阵，旋转运动的齐次变换矩阵，变胞机构任意构态 q 的运动分析。关键字：变胞机构 齐次变换 旋转矩阵变胞机构在 1996 年的可重构包装自动化线的机构学研究中被发现，并于 1998 年第 25届 ASME 机构学与机器人学双年会上提出的一种新型机构。在机构连续运行中，由有效杆件数目变化或运动副类型和几何关系变化引起机构的拓扑变化，并导致机构活动度变化；在机构
2、连续运行中，至少有一次活动度变化，并在活动度变化后，机构仍保持运行，这样的机构称为变胞机构。目前，对变胞机构的研究主要包括三个方面，即变胞机构的构态分析、运动学分析和动力学分析。其中构态分析是变胞机构的基础，也是进行运动和动力分析的前提。变胞机构的构态描述是其结构学的重要内容，也是到目前为止对变胞机构研究最多的问题。研究者们主要用如下几种方法来描述变胞机构的构态：拓扑结构拓扑图，拓扑图具有形象、直观、便于理解等优点，是目前机构学中应用最多的方法；Roberson/wittenburg 有向图法，是一种基于图论的方法，该方法比较容易建立变胞机构的运动学及动力学方程；Huston 低序体阵列，将变
3、胞机构视为开链树形多体系统，按一定规则对系统中各个构件编号，从而可形成系统的低序体阵列；邻接矩阵法应用图论，杆间的关联关系可反映到相应拓扑图的邻接矩阵中。因此，变胞机构的构态及构态变换也可用邻接矩阵来描述。本文主要是从运动学方面来了解变胞机构的理论基础及基本求解。1 Huston 低序体阵列和齐次变换矩阵 采用 Huston 低序体阵列和齐次变换矩阵相结合的方法，描述刚体的位置和姿态（简称位姿）的方法是首先规定一个坐标系,相对于该坐标系,点的位置可以用维列向量表示,刚体的姿态可用的旋转矩阵来表示。1.1 位置描述一位置矢量 对于选定的坐标系k，空间任一点 P 的位置可用 31 的列矢量 表示，
4、即用位置矢kr量表示如下：= krzyx其中 、 、 是 P 在坐标系 k中的三个坐标分量。 的右上标代表选定的参考坐标系xryz krk。1.2 方位的描述旋转矩阵为了规定空间某刚体 k 的方位，另设一直角坐标系 k 与此刚体固接。我们用坐标系k的三个单位主矢量 、 、 相对于坐标系j的方向余弦组成的 33 矩阵。kXYkZ= 或jkRTjkjj= jk32311r表示刚体 k 相对坐标系j的方位。 称为旋转矩阵，右上标 j 代表参考坐标系j，右jkR下标 k 代表被描述的坐标系k 。 有 9 个元素，只有三个是独立的。因为 的三个列矢j jkR量 都是单位主矢量，且两两互相垂直，所以它的
5、9 个元素满足 6 个约束TjkjjkZYX条件( 称正交条件） = = =1jkjXjkYjkZ = = =0 jjjjX因此，旋转矩阵 是单位正交的，并且 的逆与它的转置相同，其行列式等于jkRjkR1，即=1 jk变次变换矩阵 T 是一个 44 矩阵，一般地，能用来表示平移、旋转、伸缩和透视变换。把 T 的 4 部分表示为：T= = 13frR比 例 因 子透 视 变 量 位 置 向 量旋 转 矩 阵其中， 为 33 的表示两坐标系间的旋转关系的转动矩阵， 为 13 矩阵表示 31f沿 3 个坐标轴的透视变换， = 矩阵称为位置向量，表示两坐标系间的平移，13rTcba右下角的单一元素矩
6、阵 为使物体产生总体变换的比例因子。在机器人运动学中，透视变换值总是取零，而比例因子则总是取 1.正交变换都是线性变换，故齐次变换是用齐次坐标表示的线性变换。三维物体在空间的运动都可以分解为平动和转动。下面分别讨论它们的齐次变换矩阵。1.3 平移运动的齐次变换矩阵考察任意典型构件 k（固定在其上的坐标系成为 k 系）上某点 在其动系中的坐标是0A，设 k 系在其低序体 j 系沿 、 、 轴平动的距离分别为 、kkzyx jxjyjzxT、 ，则 k 系相对于 j 系（ j= )的齐次变换矩阵为：yTz kL1=Trans = jkTzyxT0,jk1zyxT其中 为初始状态下，k 系相对于 j
7、 系的齐次变换矩阵，以下相同。0,jT变换后 再 j 坐标系下的坐标为0A= 1)()(1kLkzyxjTkkzyx1.4 旋转运动的齐次变换矩阵任意典型机构件 k 上某点 在其动系中的坐标是 ，设 k 系在 j 坐标0Akkzyx系中依次沿 、 、 轴转动的角度分别为 、，则 k 相对于其低序体 j(j= )jxjyjz L1的齐次变换矩阵为：=Rot(z,)Rot(y, )Rot(x,) jkT0,jkT其中Rot(x,)= 100cossini1Rot(y,)= 10cossiniRot(z,)= 100csii变换后 在 j 坐标系下的坐标为0A= TkLkkLzyx)()()(111
8、 jkTkzyx2 变胞机构任意构态 q 的运动分析2.1 位移分析假设某一变胞机构包含 c 个构态 ，构态 q 为此变胞机构的任意一个构态。已知变胞机构在构态 q 共有 个体，两相邻体 k 与 j 以某一约束相联，j 是 k 的低序体，即qNj= kL1设 是变胞机构的惯性坐标系， （k=1，2， ）为构态 q 中各),(00zyxS kqSqN活动构件上的固连坐标系，固连坐标系的原点为 ，单位向量 、 、 。Okxykz设机构在构态 q 的运动过程中，任一构件 相对于其低序体 的齐次变换矩阵为kqjq，沿着低序体递推，就可以得到典型体 在惯性坐标系下的位姿jkqT= （k=1,2， ） 0
9、kq1T2qijkqqN如果选定典型体 上任意点 P，P 相对于其体上的固联坐标系 中的坐标 （kqSkpqP,， ， ） 。在构态 q 时，其活动构件经过一系列绕轴线的转动和沿轴线的平kpqx,ky,kpqz,动后，点 P 在其新位置相对于惯性坐标系 的齐次坐标表达式为：0S= = 0,pkqr1,pkkzyx0kqT1,pkzyx其中 的意义为：左上标为变胞机构的某一构态 q;右上标为任意点 P 相对于 k 系的坐kpqP,标；右下标为 k 体上的 P 点。已知已知各典型体相对于体低序体的齐次变换矩阵,即可求出任意两典型体间的位置关系,此即为变胞机构的位置正解“当需要求典型体的位姿逆解时,
10、可用一系列齐次变换矩阵的逆矩阵左乘对典型体的位姿正解方程式求解: = 10Tqk12q3Tjkq = 210k2j =ijqqjkq然后考察各方程式右端的元素,找出那些为零或为常数的元素, 令这些元素与左端元素相等,即可求出全部的关节变量 “有时不需要做完所有的递推 ,即可求出全部的关节变量“2.2 速度分析设变胞机构在构态 q 时,两相邻杆件 , 以旋转关节. 相联,己知杆 以速度1iqLi iqJ1iqL/v,0-1 移动 ,并以 角速度转动。而杆在关节驱动力矩的作用下绕关节轴 相对于1iiz以 角速度旋转，于是对杆 来说，其上固联坐标系 的原点相对的线速度1iqLiiq iqS和杆 的角
11、速度 分别是：0iviq0iq= + iv1iiiqr,1= + 0iqiiiz其中 ,表示由 ,到 的位置向量。iqr11iOiq变胞机构是一个多体系统,为便于计算, 还可以把某构件的速度和角速度表示在自身的坐标系中,将会使计算简化。= + =iqvi1iqir，11-1-iqiiqi rvT，其中 是 相对于 的齐次变换矩阵。由于平移对向量不产生影响,所以对于速度iqT1iLi和加速度的齐次变换矩阵只考虑旋转变换,不考虑平移变换。3 实例分析及仿真变胞机构在运动过程中,构态会发生变化,各个构态间有效构件数或自由度也随之变化,构件间的运动关系会发生转移。本节用低序体阵列针对一种典型的含有闭环
12、约束、并含移动副连接的变胞机构进行构态分析和运动学仿真。图一 图二 P(P0)y(x1)O(O1)xy1y4x4 x4y4y1xP(P0)O(O1)此变胞机构有二个构态,初始状态如图一所示。第一个构态为构件 2、3、4 与构件 1 固定,构件 1 绕转动副 A 旋转 角,然后构件 1 与机架固定；第二个构态为构件 4 沿构件 1 平动一定距离后停下,平移的最大位移受构件 2 和构件 3 尺寸的限制。现考察构件 4 在整个变胞过程中的运动情况,建立坐标系如图一所示。选择断开构件 3 和构件 4 间的转动副,图所示机构的低序体阵列如表所示。表一 机构的低序体阵列kL01 2 3 410 1 2 1
13、20 0 1 030 0 0 0构件 1 相对于机架绕 z 轴旋转 角,如图所示。即固定在构件 1 上的动坐标系绕顶坐标系旋转角,齐次变换矩阵为,0,101 zRottTRot构件 1 绕转动副旋转 角后与机架固定,机架的运动转移到构件 1 上。构件 4 沿构件 1 的平动,即构件 4 上动坐标系在构件 1 坐标中沿轴 x1平移0BPCDBlld齐次变换矩阵为 0,0,104142 APlTransdrsTransT所以得到构件相对于固定坐标系的齐次变换矩阵 100sicossi coic 01420 APl 1sincossincoinco1000 0zldyxzyTxr APp 设各杆长度
14、分别为 。为了避免变胞机构在构mllmlABAPCDB5.,.,5. 0态变化时产生过大的刚性冲击,应使变胞机构在构态切换时采用先加速后减速的运动过程,使构态平稳切换。运动过程为构态一： 21,4240,22ttt构态二： 43,.03.10,2tttd运动学初始条件为 20zyxtt取仿真时间 T=4s,得到 P 点位移、速度的仿真结果所示。图三 位移时间图 图四 速度时间图总结Huston 低序体阵列法能将变胞机构运动学分析与其构态描述结合起来。齐次变换矩阵能很好地表达空间刚体的位姿及刚体上任意点的坐标变换。本文采用齐次坐标变换描述了相邻构件之间的变换关系，再根据各构件之间的递推关系推导出
15、各构件的运动学关系。采用 Huston 低序体阵列和齐次变换矩阵相结合的方法来研究变胞机构的运动学，推导出变胞机构任意构态 R 之典型体 k 的位置、速度和加速度。从而为建立变胞机构的动力学模型打下基础。通过对一个典型变胞机构的运动学仿真，得到了变胞机构在构态切换时加速度一般会有突变的结论。参考文献1.金国光, 张启先等. 变胞机构: 理论研究若干问题及其应用 J . 机械设计与研究, 2002, 增刊: 24 26。2.金国光.变胞机构结构学、运动学及动力学研究R.北京:北京航空航天大学博士后研究报告，2003 年 1 月UD L, Dai J S, Sun H. Configuration
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