1、第一章 振荡奇异积分算子在 Herz 型空间的有界性于湖波 1, 赵 凯，姜诺，席芳，张红俊（青岛大学数学科学学院，山东 青岛 266071）摘要：文章研究了振荡奇异积分算子 的有界性问题,当 时,借助于 在T)(log1nSLT空间和 Herz 型空间的有界性结果,得到了 在 Herz 型 Besov 空间和 Herz 型 Triebel- pLLizorkin 空间的有界性.关键词：振荡奇异积分; Herz 空间; Besov 空间; Triebel-Lizorkin 空间; 有界性中图分类号：O174.2 文献标识码：A主题分类号：42B20用 表示 上的单位球面,设 是 上的零次齐次函
2、数,满足1nS2nRnR和)(L, (1)0)(1xdnS这里 , ./|x0定义振荡奇异积分,dyfxKevpxTfnRyip)(.)(),(其中 是 上的实质多项式函数, 是 Caldern-Zygmund 核.),(yxPnR如果 满足K, 对所有的 . (2)nxxK|/)(0|x则说 是齐次 .CZ近几十年来,振荡奇异积分算子受到很多学者的关注,在文献1中，Ricci 和Stein 证明了如果 且满足(1), 满足条件(2),则 在 上是有界)(1nST)(npRL的, ,而且 只与 的次数有关,跟它的系数无关.接着,Chanillo 和)1(pTyxPChrist 在文献 2里面证
3、明算子 还是弱 型. 1992 年,陆善真在文献3 中通过)1,(一个更弱的条件 , ,改善了上述结果. 2000 年,Ojanen 在文献4中)(1nrSLr证明了算子 在 上是有界的,其中 满足一个更弱的条件 . Tp)(log1nSL作者简介：于湖波（1987-） ，男，山东人，硕士研究生，研究方向为调和分析及其应用.资助项目：国家自然科学基金项目(11041004);山东省自然科学基金项目(ZR2010AM032).2005 年，Chen,Jia 和 Jiang 证明了算子 在 Triebel-Lizorkin 空间上的有界性.受T这些研究启发,本文讨论了当 时,振荡奇异积分算子 在
4、Herz)(log1nSLT型 Besov 空间和 Herz 型 Triebel-Lizorkin 空间的有界性 .1.有关概念和主要结果定义 18 对于 ,记 , . 是k2|:knkxRB1kBAkA的特征函数 ,令 , ,齐次 Herz 空间 定义为kARqp0)(,npqRK,|:)0()( )(, ,npqnlocnq fLfK其中 .pRLkkpRnqnpq ff /1)()( |2|, 对于 , 设 , ,且 满足下面条件:j(ncC)2jj(i) ; (ii) ; (iii) .1)(0x1:x)sup35,0)(xcx当Herz 型 Besov 空间和 Herz 型 Trie
5、bel-Lizorkin 空间的定义如下：定义 28 对于 , , 和 ,定义sR0qpqn, , 1/()():|(2|)ps pq qpsnnsjq jKBKjKBfSf f 为 Herz 型 Besov 空间,记为 . 定义,psq |)(|:)()( , /1, pqspq KjjsFKnnspq ffRfF 为 Herz 型 Triebel-Lizorkin 空间,记为 .,)nR这里的主要结果是:定理 1 设 , 和 .如果p,q1q/1/且满足条件(1), 满足(2), 多项式函数 满足 .)(lognSL()Kx)(xP0)(则振荡奇异积分积分算子在 Herz 型 Triebe
6、l-Lizorkin 空间有界,且 的范数与T的系数无关.),(yxP定理 2 设 , 和 .如果p,1qq/1/且满足条件(1), 满足(2), 多项式函数 满足 .)(log1nSL()Kx)(xP0)(则振荡奇异积分积分算子在 Herz 型 Besov 空间有界,且 的范数与 的系T,y数无关.2 引理为了证明结论,先看下面的几个引理：引理 15 设 ,如果 且满足条dyfxKevpxTfnRyip)(.)(),( )(log1nSL件(1), 满足(2), 则振荡奇异积分算子 在 上有界, , 的范KT)npRLpT数与 的系数无关.),(yxP引理 26 设 , 和 .如果 且满p1
7、qq/1/)(log1nSL足条件(1), 满足(2), 多项式函数 满足 , 则振荡奇异积分积分()Kx)(xP0)(算子 在 上有界, 的范数与 的系数无关.T,npqRT,y引理 3 设 , 和 .如果 且满,1qq/1/)(log1nSL足条件(1), 满足(2), 多项式函数 满足 ,存在一个与 无关的()Kx)(xP0)(f常数 ,使得c.dyfyxcfTnRn|)(|(|)(|则振荡奇异积分积分算子 在 上有界, 这里,lKpq, ,|:)()( )(, , lqlocpq pqfLflK )(/1)( , |)| npqpq RKziilKff 且 的范数与 的系数无关.T,y
8、xP为了证明引理 3,先看下面这个引理：引理 47 设 , , ( ), p1q)qpilLfpqp LqziilLff|(| /1)(, 同上面的引理 3，定义粗糙核极大算子)(nSLT.|0 |)(|)1sup)(yndyxfxfM则有(1) ;1/ 1/|(|)|(|)|p pqqi iLLiz izTfcf(2) .ppziiziiM| /引理 3 的证明： 记 ,()()()jiijij jfxfxfx则 ,()1/ 1/()|(|)|2|(|qnpnKRqkppi iLRiz izTf Tfk pRLzikjjikp nqfc )(/12|(| k pRLzikjjikp nqfT
9、)(/11|)|(|2k pRLzikjjikp nqfc )(/12|)(| .321D对于 ,由引理 4 中(1) 得2Dk pRLzikjjikp nqfc )(/11-2 |)|(| .pKziik pRLziikp qnqfcf ,|)|(|)|(| /1)(/1 对于 ，当 , , ,所以 ,则 ,1DkAxjy2jjkyx2|,2|11 |xy2|()|()| ()|nkj ji inRj jxyTfcfd23|2()|()| kjinxyjfy.)(fcMkjji因此,由引理 4 中(2)得 k pRLzikjjikp nqfcD)(/121 |)|(|2k pRLzikjji
10、kp nqfc )(/12|)|(|2pKziik pRLziikp qnqfcf ,|)|(|)|(| /1)(/1 对于 ,当 时, , ,有 ,所以3D2kjAxjy|2yxnRkjjinkjji dyfcfT|)(|)(|)(| 22.|22|)(|yxkjjinyfc )|(|20xfcTkjji则由 Hlder 不等式和引理 4 得=1/02|()|pjiLizjkTf|)(|(|su201|)( dxgfziRjikjjignlpLjinlpLjiRzi jikjjigfT|)(|201|)( zi LzijiLkjjig pplpLji gf |)|(|)|su /1/1201
11、|)( .PLziifc|/所以 .3Dk pRziikp nqfc)(/1|)|(|2pKziiqfc,|)|/1综上所述，引理 3 得到证明.3 定理的证明定理 1 的证明: 由引理 3 得 pqpqspq KzjjsKzjjsjFK fTTfTf , |)|2(|)|2(| /1/1 .pqjjsjc,| / spqFKfc,|定理 2 的证明: 由引理 2 得 /1/1 )|2(|)|(| , jjsKjjsjBK pqpqspq fTTfTf ./|,jjsj pqc spqBKfc,|定理得证.4 结论由定理的结论可知,当 时,振荡奇异积分算子 在 Herz 型)(log1nSLT
12、Besov 空间和 Herz 型 Triebel-Lizorkin 空间上是有界的 .第 2 章 CRW 型交换子在 Herz 型空间的有界性2.1 引言和主要结果用 表示 上的单位球面,设 是 上的零次齐次函数,满足1nS2nRnR和)(L, (2.1)0)(1xdnS这里 , ./|x0定义奇异积分算子如下, (2.2)nRndyfxvpxTf )(|(.)(设 ，由振荡奇异积分算子 和 生成的交换子定义)(nRBMObTb(2.3)nRndyfxyvpxfTb )()(|.)(,1976 年，Coifman，Rochberg 和 Weiss 首先在文献9里面证明了当时 为 有界的充要条件
13、是 ，因此又称为)(1nSLip,)(npL)(nRBMObCoifman-Rochberg-Weiss 型交换子，并注意到了奇异积分交换子的 有界性可pL以刻划 BMO 空间.后来 Janson10和 Paluszynski11等的研究表明奇异积分交换子的有界性可以用来刻划包括 BMO，Besov-Lipschitz 类等在内的各种函数空间。1978 年 Coifman 和 Meyer12发现当 时，Coifman-Rochberg-Weiss 型)(1nSC交换子 的有界性可以从算子 的 权模估计中得到，其中 表示)(npRLTpApAMuckenhoupt 权函数类。1993 年 Alv
14、erez，Bagby，Kurtz 和 Perez13发展了Coifman 和 Meyer 的思想，建立了线性算子交换子 有界性的判别准则。)(npRL此外，交换子是另一类与奇异积分算子关联的算子。由于它与偏微分方程，Cauchy 型积分的密切关系，同时其本身也是很典型的非卷积型的 算子，ZC所以研究这些交换子在 空间上的有界性是一个有意义的问题。奇异积分)(npRL交换子在偏微分方程研究也起着举足轻重的作用，这些都使得交换子的研究得到了重视和发展，并取得了丰硕成果。本章讨论了当 时,CRW 型交换子 在 Herz 型 Triebel-)(log1nS,TbLizorkin 空间的有界性。定理
15、2.1 设 , ， , 和)(nRBMOb0sp,1q.q/1/如（2.3）所定义.如果 且满足条件(2.1), 则 CRW 型交换,Tb )(log1nSL子 是 上的有界算子。,()psnqKFR定理 2.2 设 , ， , 和)(nRBMOb0sp,1q./1/如（2.3）所定义.如果 且满足条件(2.1), 则 CRW 型交换,Tb )(log1nSL子 是 上的有界算子。,()psnqKBR2.2 引理为了证明结论,先看下面的几个引理：引理 2.114 设 ,如果nRndyfbxyvpxfTb )()(|.)(,且满足条件(2.1), 则 CRW 型交换子 在 上有界,)(log1n
16、SL ,TnpRL.且 在 上有界.1(p,Tb）（ npqRK,引理 2.2 设 , ， , 和 .)(BMO0sp,1qq/1/如（2.3）所定义.如果 且满足条件(2.1), 则 CRW 型交换,Tb )(log1nSL子 在 上有界, 这里)(,lKpq, ,|:)()(, ,lKqlocpqfLf )(/1)( , |)| npqpq RKziilKff 为了证明引理 2.2,先看下面几个引理：引理 2.315 设 和 ，则对于任意的 ，Rqp,1 )(,npqRKg当且仅当 ,)(,npqKf |)(|nRdxf在这种情况下 . (2.4)1|:)(su| )()( , npqnn
17、pq RKRRKdxff 引理 2.416 设 ，令 是一列线性算子，如果对于权函数 和1zjT 1A，存在和 无关的常数 ,使得zjzjC和)(Lj)(Lj pp| ff)(Lj)(Lj pp| ff成立，则对任意的 ，有1pzjqpzjqffT|)|(|)|(1j1j引理 2.517 设 ， ，定义算子 ： nRBMObkkbM,;. ryxrkb dyfxyxf)(0,; |)(|(|)|1sup)(如果 ，则对于 ，有)(1nSL，pkBMOpkb fbcxf |)(| ,;其中 .由 在 上的有1)|2log|:0inf()(,1 nn SLkSLk kb,;)(npRL界性，类似于
18、 在 上有界性，可以证明 在 上有界.M）（ npqRK, kb,; ）（ npqK,引理 2.6 设 ， , , ，)(BOb1q)(log1S)(qpilf( ),则存在与 和 无关的常数 有pqp LqziilLff|(| /)(jfc.pp LqziiLqziikb fcf |)|(| /11/1,; 证明：在给出引理 2.6 的证明前，我们先给出下面这个事实。对 ，存在一个与 和 无关的常数 有1nSujf0(2.5)pp LqziiLqziiufcM|)|(|)|( /1/1其中 .（参考文献18）ru dtuxfxf0|s记 ，ryxybxr dfexfbH)()|(|0 |1s
19、up)(,则已知 在 上有界, . 类似于第一章引理 4 的证明，可)(,xfnpRL以得到 . (2.6)pp LqziiLqzii fcf |)|(|)(| /1/1当 时， ，对于 记 ，1,k)|2log| ()( 11 nn SkSL 0t )2(log)(ttkk则 |)(1nLk当 由不等式 ，21,0t l2121 tetCt则 ryxkrkb dyfxcxfM)(0,; |)(|(|sup)(rybre)()|(| |)(fIfIppp LqziiLqziiLqziib ff |)I|(|)|( /1/1/1; 21I则对于 有上面的(2.6)式得到 .2I pziifcI|
20、(/2对于 , 1 ryxkr dyfxcxIf)(0 |)(|su)()(|1su|(|01 yBrJSn 1 )|)(|nk yfMc由(2.5)式和 Hlder 不等式得nqlpLiRziiig dxgIfI |)(|su1|1)( nnqlpLi zi iuSk dxgydfy|)(|)(|1)(|)(|s1)(| xnnqlpLi Rzi ig )(|)|(|)|(|u /1/11|)( yfMyzi LqziiLquSk ppnqlpLi pLziifc|/综上所述，引理 2.6 得证.引理 2.2 的证明： 记 , ()()()jiijij jfxfxfx )()(xfTfbb则
21、 ,()1/ 1/()|(|)|2|(|qnpnKRqkppbi biLRiz izTf Tfk pRLzikjjibkp nqfc )(/12|(| k pRLzikjjibkp nqfT)(/11|)|(|2.k pRLzikjjibkp nqfc )(/12|)(| 321D对于 ,由引理 2.1 和引理 2.4 得2Dk pRLzikjjikp nqfc )(/11-2 |)|(| .pKziik pRLziikp qnqfcf ,|)|(|)|(| /1)(/1 对于 ，当 , , ,所以 ,则 ,1DkAxjy2jjkyx2|,2|11 |xy2|()|()| ()|()|nj jbi inRj jxyTf bfd 23|2()|(x-y)|()| kjinxy jc fy .)(;fMkjjib因此,由引理 2.6 得 k pRLzikjjibkp nqfcD)(/12;1 |)|(|(|2k pRLzikjjikp nqf)(/12|)|(| pKziik pRLziikp qnqfcfc ,|)|(|)|(|2 /1)(/1 对于 ,当 时, , ,有 ,所以3D2kjAxjy|yx
