1、小学奥数专题高斯求和德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：123499100？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于 5050。高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：110029939849525051。1100 正好可以分成这样的 50 对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）10025050。小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项之差都相等
2、的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。例如：（1）1，2，3，4，5，100；（2）1，3，5，7，9，99；（3）8，15，22，29，36，71。其中（1）是首项为 1，末项为 100，公差为 1 的等差数列；（2）是首项为 1，末项为99，公差为 2 的等差数列；（3）是首项为 8，末项为 71，公差为 7 的等差数列。由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。在这一章要用到两个非常重
3、要的公式：“通项公式”和“项数公式”。通项公式：第 n 项=首项+（项数1）公差项数公式：项数=（末项首项）公差1和=（首项+末项）项数2。例 1、 1231999？分析与解：这串加数 1，2，3，1999 是等差数列，首项是 1，末项是 1999，共有 1999个数。由等差数列求和公式可得原式=（11999）199921999000。注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。例 2、 11121331？分析与解：这串加数 11，12，13，31 是等差数列，首项是 11，末项是 31，共有 31-11121（项）。 原式=（11+31）212=441。在利用
4、等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。根据首项、末项、公差的关系，可以得到项数=（末项-首项）公差+1， 末项=首项+公差（项数-1）。例 3、 371199？分析与解：3，7，11，99 是公差为 4 的等差数列，项数=（993）4125， 原式=（399）2521275。例 4、 求首项是 25，公差是 3 的等差数列的前 40 项的和。解：末项=253（40-1）142， 和=（25142）4023340。利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题。例 5、求等差数列 2，4，6，48，50 的和。【思路导航】这个数列是等
5、差数列，我们可以用公式计算。要求这一数列的和，首先要求出项数是多少：项数=（末项首项）公差+1=（502）2+1=25首项=2.末项=50，项数=25等差数列的和=（2+50）252=650.例 6、计算（2+4+6+100）（1+3+5+99）【思路导航】容易发现，被减数与减数都是等差数列的和，因此，可以先分别求出它们各自的和，然后相减。进一步分析还可以发现，这两个数列其实是把 1 100 这 100 个数分成了奇数与偶数两个等差数列，每个数列都有 50 个项。因此，我们也可以把这两个数列中的每一项分别对应相减，可得到 50 个差，再求出所有差的和。（2+4+6+100）（1+3+5+99）
6、=（21）+（43）+（65）+（10099）=1+1+1+1=50小学奥数专题高斯求和专题练习1、有这样一个数列：1.2.3.4，99，100。请求出这个数列所有项的和。2、求等差数列 2，4，6，48，50 的和。3、计算（2+4+6+100）（1+3+5+99）4、 求首项是 25，公差是 3 的等差数列的前 40 项的和。5、100+99+98+61+60四年级奥数专题高斯求和练习题答案1、有这样一个数列：1.2.3.4，99，100。请求出这个数列所有项的和。【思路导航】如果我们把 1.2.3.4，99，100 与列 100，99，3.2.1 相加，则得到（1+100）+（2+99）
7、+（3+98）+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是 101.一共有 100 个 101 相加，所得的和就是所求数列的和的 2 倍，再除以 2.就是所求数列的和。1+2+3+99+100=（1+100）1002=5050上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和：等差数列总和=（首项+末项）项数2这个公式也叫做等差数列求和公式。2、求等差数列 2，4，6，48，50 的和。【思路导航】这个数列是等差数列，我们可以用公式计算。要求这一数列的和，首先要求出项数是多少：项数=（末项首项）公差+1=（502）2+1=25首项=2.末项=50，项
8、数=25等差数列的和=（2+50）252=650.3、计算（2+4+6+100）（1+3+5+99）【思路导航】容易发现，被减数与减数都是等差数列的和，因此，可以先分别求出它们各自的和，然后相减。进一步分析还可以发现，这两个数列其实是把 1 100 这 100 个数分成了奇数与偶数两个等差数列，每个数列都有 50 个项。因此，我们也可以把这两个数列中的每一项分别对应相减，可得到 50 个差，再求出所有差的和。（2+4+6+100）（1+3+5+99）=（21）+（43）+（65）+（10099）=1+1+1+1=504、 求首项是 25，公差是 3 的等差数列的前 40 项的和。解：末项=253（40-1）142， 和=（25142）4023340。利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题。
