1、行列式的性质,性质1:,行列式与其转置行列式的值相等.,复习,性质2:,互换行列式的两行(列),行列式变号.,性质3:,推论:如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式,为零.,行列式任一行的公因子可提到行列式之外.,或用常数,乘行列式任意一行的诸元素,等于用,乘这个行列式.,性质4:,行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式等于零.,性质5:,注:性质3,性质5又称为线性性质,性质6:,在行列式中,把某行各元素分别乘非零常数,再加到另一行的对应元素上去,行列式的值不变.,重要公式,行列式计算(利用性质),方法:(1)化上(下)三角形法,(2)降阶法,(3)递归法,例题,例1.,计算,解
2、:法1,(化上三角形法),计算方法:,化上(下)三角形法;,降阶法.,法2(降阶法),可直接用对角线法则计算三阶行列式,例2,计算,先观察再计算,解:,或,矩阵,1.运算:+,-,数乘,乘法等.注意能运算的条件.,矩阵乘法定义:,规定:,记作:,2.注意:,(1)矩阵乘法不满足交换律.,但不是说对任意两个矩阵,一定有,例,(2)两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵.,(有别于数的乘法),例,(3)一个非零矩阵如有左(右)零因子,其左(右)零因子,不唯一.,结论:,矩阵乘法不适合消去律.,不能推出,满足运算律(乘法有意义的前提下),结合律:,数乘结合律:,左分配律:,右分配律:,又例,3.特殊矩阵:单
3、位矩阵,数量矩阵,对角矩阵,上(下)三角矩阵,4.重要矩阵及运算性质,转置矩阵,可逆矩阵,正交矩阵,满足运算规律:,矩阵的转置,对称矩阵:,反对称矩阵:,可逆矩阵的逆矩阵,定义:,奇异矩阵,非奇异矩阵,例,解:,例,例,正交矩阵及其性质,定义:,定理:,定理:,5.矩阵的初等变换及性质,掌握初等变换法求可逆矩阵的逆矩阵,一般结论:,初等矩阵是可逆的,结论:可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积.,例3,向量,概念:线性组合,线性相关, 线性无关,极大无关组,秩,向量组的等价,内积等,有关线性相关,无关,秩的重要定理,结论.,结论:1.m个n维向量必线性相关.(mn)特别:m=n+1,2. n个
4、n维向量线性无关 它们所构成方阵的行列式不为零.,3.n维向量空间任一线性无关组最多只能包含n个向量.,4 n维向量空间n个向量线性无关,则任一向量可由这n个线性无关向量表示,且表法唯一.,定理 (1)若向量组A: 线性相关,则向量 组B: 也线性相关.反之,若向量组 B线性无关,向量组A也线性无关.,若部分相关，则整体相关；若整体无关， 则部分无关,(2)设,若向量组A: 线性无关,则向量组B: 也线性无关.反之,若向量组B线性相关,向量组A也线性相关.,若r 维向量线性无关，则在每个向量上添加,m个分量所得到的新向量也线性无关.,等价的说法：,m 个分量所得到的新向量也线性相关.,若r 维
5、向量线性相关，则在每个向量上去掉,定义:,注意:,只含零向量的向量组没有极大无关组.,规定:它的秩为零.,极大线性无关组,问题:极大无关组是否唯一?,定理:向量组与它的任意一个极大无关组等价.,结论:,推论1:等价的无关向量组包含相同个数的向量.,定理:向量组的任意两个极大无关组相互等价,从而所含向量个数相同.,向量组的秩的求法,介绍的简便而有效的方法: (1)以向量组 中各向量作为列向量, 构成矩阵A;,(2)对A施行初等行变换化为阶梯形矩阵B,B的非零行数即矩阵A的秩,亦即原向量组的秩;,(3)求出B的列向量组的极大无关组;,(4)A中与B的列向量组的极大无关组相对应的 部分列向量组,即为
6、向量组 的极大无关组,秩的性质,1.(推论3.4.4)等价矩阵有相同的秩.,2. (推论3.4.5)对任意矩阵A,3. .(推论3.4.6)任何矩阵与可逆矩阵相乘, 其秩不变.,B可逆,r(B)=3,又r(AB)=2,r(A)=2,即,矩阵的秩与行列式的关系,例,向量组,线性无关,证明:,用定义.,设,只有零解.,所以,线性方程组,齐次 系数矩阵 基础解系 解的性质 解的结构,非齐次 增广矩阵 解的性质 解的结构,二.齐次线性方程组解的理论和解的结构,对(1)我们关心何时有非零解.,必有非零解.,定理1给出结论.,解的理论,特别:,解向量:,解的性质:,解的结构,解空间:,定义:基础解系,对(
7、2)我们关心何时有解,及何时有唯一解,无穷多解.,解的理论,解的结构,例,解,考虑1.有无解 2.有解(唯一解还是无穷多解),讨论:,特解:令,Ax=0的基础解系,通解,方法2由本题的特点:方程组中方程的个数与未知量个数一样,可想到先求系数行列式,利用克莱姆法则,矩阵的特征值与特征向量及二次型,概念:特征值,特征向量,特征值的性质:,方阵的特征值与特征向量,(一)特征值与特征向量的定义和计算,定义1:,注:,特征方程:,求特征值,求特征向量,即求齐次线性方程组,的非零解.,小结:,(二)特征值和特征向量的性质,定理1:,定理2:,推论,0是,的特征值,性质1(关于特征值的),性质3,性质2,一
8、个特征向量不能属于不同的特征值(即不同的特征值所对应的特征向量不同) (对于同一个矩阵),一般结论：若,的全体特征值为,则,的全体特征值为,例3 设,的特征值为, 求,解 设, 则,的特征值为,故,例2,相似矩阵及性质,定义:,相似是等价关系:,1.自反性,2.对称性,3.传递性,性质1.,相似矩阵有1.相同的行列式.2.相同的特征多项式和相同特征值.3.有相同的迹.4.有相同的秩.,(二)矩阵可对角化的条件,定理1.实对称矩阵A的任一个特征值都是实数.,二.实对称矩阵的特征值和特征向量,P146定理5.4.1,推论:实对称矩阵A的特征向量均为实向量.,定理2.实对称矩阵A的对应于不同特征值的
9、 特征向量是正交的.,定理3.(实对称矩阵必可对角化),本定理证明不要求,实对称矩阵对角化时,求正交矩阵的步骤:(P151),二次型的定义,二次型的标准形及化二次型为标准形的方法,二次型正定的充要条件,实对称矩阵正定的充要条件,(二).二次型的定义及矩阵表示,注:,2.讨论的主要问题:寻求线性变换,消去交叉项,使二次型只含平方项.,解:,例2 求对称矩阵,所对应的二次型,矩阵的合同,设线性变换(非退化的),因为,标准化问题变成寻找一个合适的可逆矩阵,定义:设A,B是数域P上两个n阶对称矩阵,若存在P上n阶可逆矩阵C,使,则称A与B是合同的.记作,合同是等价关系 (自反性,对称性,传递性),二次型的标准形,标准形的定义:如果二次型,二次型的标准形,正交变换法,解:,正交化,在将 单位化为,单位化为,令,则T是正交矩阵,且,于是,经过正交变换X=TY,原二次型化为标准形,正惯性指数:标准形中正系数的个数 负惯性指数:标准形中负系数的个数.,惯性定理和规范形,正定二次型,解:,
