1、期末复习,第 1 章 矩阵,一、矩阵 1、矩阵的加法、减法、数乘、乘法、方幂以及转置运算的运算法则。 2、可逆矩阵的性质与判定（定理 1.5 及其推论） 。逆矩阵的求法伴随矩阵法、初等变换法。（对角矩阵的逆矩阵。）3、求解矩阵方程（先化简） 。4、分块矩阵的加法、减法、数乘、乘法以及转置运算的运算法则。利用分块矩阵求逆矩阵。（分块对角矩阵的逆矩阵。） 5、矩阵的秩的求法。可逆矩阵的秩。,二、行列式1、行列式的定义（展开式）与性质。2、行列式的值的计算方法：二阶、三阶行列式的对角线法；有特点的行列式，如：零较多、各行（列）元之和都相等、除某一行（列）以外各行（列）元之和都为零、 “ 爪” 型行列
2、式的求法；范德蒙德行列式的特征与性质。,利用拉普拉斯定理求分块三角形矩阵的行列式；利用行列式的性质求分块矩阵的行列式 （如：练习1.4 的第2题） ；利用行列式的性质化简行列式、或将行列式化为三角形行列式；利用矩阵的特征值计算行列式*。,三、基础题型 1、练习1. 3 的 1（4）、（6）、（8）； 2、P.25 例 4 ； 3、练习1. 3 的 3（1） ； 4、练习1. 3 的 4（1）、（2）、（5）， P.28 例 7 ； 5、练习1. 3 的 6（1）（5） ； 6、练习1. 4 的 2（2）； 7、练习1. 5 的 2 7 ； 8、练习1. 5 的 8（2），P. 49 例 5 ；
3、,9、练习1. 6 的 3、求解下列矩阵方程：（3*） （ ）、 （4*）A X + B = X ，其中 ，（ ）， P.58 例 5 ；10、练习1.7 的 1（6） ； 11、习题一的 1 ； 12、习题一的 13； 13、习题一的 17 18 。,一、线性方程组的解法 1、克拉默法则 适用于 “ 方程个数 = 未知量个数 ” ，且 “ 系数行列式 0 ” 的线性方程组。2、消元法（用初等行变换法将增广矩阵化为简化阶梯形矩阵求解） 线性方程组有解与否的判定（用初等行变换法将增广矩阵化为阶梯形矩阵，如：带有参数的线性方程组的求解 ）。齐次线性方程组解的性质与结构； 非齐次线性方程组解的性质与
4、结构（导出组的概念）。,第 2 章 线性方程组,二、向量与向量组（熟记相关的定理与结论） 1、向量的线性运算（加法、数乘）及其运算律。2、向量间的线性关系（线性组合、线性相关、线性无关） 判定一个向量组的线性相关性（三种方法秩、行列式、齐次线性方程组 的解）；将一个向量表为一个向量组的线性组合； 两个向量组等价。 3、向量组的极大无关组求向量组的秩； 求一个向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量表为极大无关组的线性组合；,4、n 维向量空间 Rn 的标准正交基 判断一个向量组是否为 Rn 的一组基；向量的坐标、内积与长度的概念及其性质；用施密特正交化方法把一组线性无关的向量正交化；求 Rn
5、的一组标准正交基；正交矩阵（区别于正定矩阵的概念，正交矩阵的构成）。,三、基础题型 1、P.80 例 6 （要求会用两种方式确定参数的关键值，会使用结构式表示非齐次线性方程组的解） ； 2、P.83 例 7（要求会用两种方式确定参数的关键值，会使用结构式表示齐次线性方程组的解） ； 3、练习 2.3 的 1（3）； 4、练习 2.3 的 2； 5、 P.95 例 8 ； 6、练习 2.3 的 4； 7、练习 2.3 的 6；,8、练习 2.4 的 11（2）、（3） ； 9、记住并会使用下列结论： 练习 2.4 的 7、8、9、10，练习 2.5 的 3，P.111 例 2 ，习题二的 5、
6、6； 10、练习 2.5 的 1（2），P.110 例 1 ； 11、练习 2.5 的 2（2）； 12、P.113 例 3 ； 13、练习 2.6 的 1； 14、P.121 例 2 ； 15、P.122 例 3 ；,16、习题二的 8 ：注： 考题有时会更难，如：1 + 2 = ( 1 , 0 , 1 )T ， ; 题中方程组的两个解 1 ，2 可能会以另一种形式给出：设 4 3 矩阵 A 分块为 A = ( 1 ，2 ，3 ) ，其中 i R4 ，i = 1，2，3， 1 + 2 = ，1 + 3 = ，且线性方程组 A x = 满足 r ( A ) = r (A ) = 2 ，试求出该
7、方程组的全部解。 17、习题二的 10 ； 18、习题二的 12 。,第 3 章 矩阵的特征值和特征向量,一、矩阵的特征值和特征向量1、特征值和特征向量的定义、性质以及重要结论。2、全部特征值和特征向量的求法。3、利用矩阵的特征值计算矩阵的迹和行列式（ & 秩？）。二、相似矩阵1、相似矩阵的定义与性质。2、区分矩阵相似、矩阵等价（P.54 定义 1. 15） 、矩阵合同的概念。,三、矩阵的对角化1、矩阵可以对角化的判定（定理 4 . 9 及其推论 、 定理 4 . 10 ） 。2、当矩阵 A 可以对角化时，求出可逆矩阵 P、对角矩阵 ，使 P 1 A P = 。进而，当矩阵 A 可以对角化时，
8、r ( A ) = 矩阵 A 的非零特征值的个数。 3、实对称矩阵 A 的对角化：求出正交矩阵 Q、对角矩阵 ，使 Q1 A Q = 。4、当矩阵 A 可以对角化时，利用矩阵 A 的特征值和特征向量，求出矩阵 A 以及 A k 。,四、基础题型 1、练习 3.1 的 1（3）， P.131 例 4 ； 2、练习 3.1 的 3； 3、练习 3.1 的 4 *、 如果向量 = ( 1 , k )T 是矩阵 的逆矩阵 A1 （ 或：A* ）的特征向量，求常数 k 的值。 （计算时不要求 A1 （ 或：A* ）。） 4、记住并会使用下面的结论： （练习 3.1 的 5）设 0 是 n 阶矩阵 A 的
9、一个特征值，则 （1）k 0 是 k A 的一个特征值（k 为常数）， （2）0 m 是 Am 的一个特征值（m 为正整数） ，,（3）若 A 可逆，则 1 / 0 是 A1 的一个特征值， （4）若 A 可逆，则 det A / 0 是 A* 的一个特征值 ， （5）k 0 是 k E A 的一个特征值（k 为常数） ， （6）f ( 0 ) = a m 0 m + a m1 0 m1 + + a 1 0 + a 0 是 f ( A ) = a m Am + a m1 Am1 + + a 1 A + a 0 E 的一个特 征值（ 其中 a 0 ，a 1 ， ，a m1 ，a m 为常数） ，
10、进而有，若 f ( A ) = O，则 f ( 0 ) = 0 。 5、练习 3.2 的 2 ； 6、P.139 例 4 ； 7、练习 3.2 的 4（3）、（4）； 8、练习 3.2 的 5（1）、（2）；,9、练习 3.2 的 6 ； 10、练习 3.2 的 7 ，P.140 例 5 ； 11、练习 3.2 的 8 ； 12、练习 3.3 的 1（3）、（4），P.147 例 2 ； 13、练习 3.3 的 2 3 ； 14、习题三的 3 ； 15、习题三的 6 ； 16、习题三的 12 ； 17、习题三的 15 16 ； 18、习题三的 20 21 。,第 4 章 二次型,一、二次型的基
11、本概念1、二次型及其矩阵的一一对应关系。2、二次型的秩。 3、矩阵合同的概念和性质。二次型 x T A x（其中 AT = A ） 二次型 y T B y ，则 A B ，且有 B = C T A C ；r ( A ) = r ( B ) ；二次型 x T A x 与 y T B y 的正定性相同 。,二、二次型的标准形和规范形1、化二次型为标准形的方法：正交替换法、配方法、初等变换（合同变换）法。2、化二次型为规范形的方法（写出二次型的规范形）。3、二次型的正惯性指数、负惯性指数、符号差、秩的确定。,三、正定二次型与正定矩阵1、判断正定二次型与正定矩阵（定义 4.4、定理 4.7 及其推论
12、1、定理 4.8、定理 4.9 ） 。2、判断形如 AT A 和 A AT 的矩阵的正定性。3、二次型的有定性：正定、负定、半正定、半负定、不定。4、二次型的正惯性指数、负惯性指数、秩与二次型的有定性的关系。,四、基础题型 1、练习 4.1 的 3 4 ； 2、练习 4.2 的 1（2），P.178 例 1 ； 3、练习 4.2 的 2（2），P.180 例 3 ； 4、练习 4.2 的 3（3），P.185 例 5 ； 5、练习 4.2 的 4* 并将此二次型化为规范形。求出其正惯 性指数、负惯性指数、符号差和秩，并判断其正定性 ； 6、练习 4.2 的 6； 7、练习 4.3 的 1（1）、（2）； 8、练习 4.3 的 2（1）、（3），P.192 例 2 ； 9、 练习 4.3 的 3 6（1）；,10、习题四的 4 ； 11、习题四的 6 7 ； 12、习题四的 9 10 ； 13、习题四的 13 15 。,
