1、线性代数证明题,张小向东南大学数学系 http:/ E-mail:版本:2007.12.10,一. 为什么要练习解决证明题,培养严谨的逻辑思维能力。,为什么要培养严谨的逻辑思维能力？,为什么要竞争？,竞争。,生存。,为什么要生存？,本能。,二. 我们为什么觉得证明题难,不清楚题目所涉及的概念 不熟悉现存的有关结论 分不清条件的必要性与充分性 不善于组织语言 没有积累足够的经验 没有深入思考,三. 证明题的难度分类,1. 直接用定义、定理、性质、推论、公式,条件,结论,例1. 设e1 =,1 00,e2 =,0 10,en =,0 01,证明: (1) e1, e2, , en线性无关.,(2)
2、 任何一个n维向量都能由,e1, e2, , en线性表示.,可见k1=k2=kn=0.,证明: (1),所以e1, e2, , en线性无关.,不存在不全为零的数k1, k2, , kn使k1e1+k2e2+knen = .,这就是说,若k1e1+k2e2+knen = ,例1. 设e1 =,1 00,e2 =,0 10,en =,0 01,证明: (1) e1, e2, , en线性无关.,(2) 任何一个n维向量都能由,e1, e2, , en线性表示.,证明: (2) 因为,=,1 00,+,0 10,+ +,0 01,a1 a2an,a1,a2,an,所以任何一个n维向量都能由,e1
3、, e2, , en,线性表示.,证明: (2) 对于任意的n维向量 =(a1, a2, , an)T,设 = x1e1+x2e2+xnen,由此可得x1=a1, x2=a2, , xn=an.,所以任何一个n维向量都能由e1, e2, , en线性表示.,这只是 必要条件,即,经检验, = a1e1+a2e2+anen 确实成立,三. 证明题的难度分类,直接用定义、定理、性质、推论、公式 从结论往回推一步,条件,结论,对接,从条件往下推一步+,例2. 设1, 2, 3线性无关, 证明,1= 1+2+3, 2= 2+3, 3=3,也线性无关.,1, 2, 3线性无关,1, 2, 3线性无关,证
4、明:若k11+k22+k33 = ,即k1(1+2+3)+k2(2+3)+k33 = ,亦即k11+ (k1+k2)2+(k1+k2+k3)3 = .,又因为1, 2, 3线性无关,所以k1 = k1+k2 = k1+k2+k3 = 0.,由此可得k1 = k2 = k3 = 0.,这就是说, 不存在不全为零的数k1, k2, k3 使k11+k22+k33 = .,所以1, 2, 3线性无关.,三. 证明题的难度分类,直接用定义、定理、性质、推论、公式 从条件往下推一步+从结论往回推一步 要走好几步而且有分岔, 可能要讨论, 归纳,条件,结论,例3. 设A, B, A+B都是可逆矩阵, 证明
5、A1 + B1也 是可逆矩阵.,A, B, A+B可逆,A1 + B1可逆,注意到 这几个矩阵 都是方阵,例3. 设A, B, A+B都是可逆矩阵, 证明A1 + B1也 是可逆矩阵.,证明: 因为A, B, A+B都是可逆矩阵,= |A1(BB1) + (A1A)B1|,= |A1(BB1) + A1(AB1)|,= |A1(BB1 + AB1)|,= |A1(B + A)B1|,= |A1(A + B)B1|,= |A1| |A+B| |B1|,= |A|1 |A+B| |B|1,|A1 + B1| = |A1I + IB1|,所以|A|, |B|, |A+B|都不为零.,于是可得, 0.
6、,可见A1 + B1是可逆矩阵.,四. 怎样提高解决证明题的能力,学而不思则惘，思而不学则殆。,春秋论语,敏而好学，不耻下问。,千里之行始于足下。,春秋老子,工欲善其事，必先利其器。,四. 怎样提高解决证明题的能力,不积跬步无以至千里。,战国荀子:劝学,锲而不舍，金石可镂。,北宋欧阳修:卖油翁,无他，惟手熟尔。,清彭端淑:为学,为之则难者亦易矣。,五. 爆炒证明题,例4. 已知三角形ABC中, 点D, E, F分别是边BC, CA, AB的中点, 求证:AD + BE + CF = .,证明: 因为D, E, F分别是BC, CA, AB的中点,= .,例5. 设, 为两个不共线的向量, AB
7、 = +2, BC = 4 , CD = 5 3 , 证明: 四边形ABCD是梯形.,= 8 2,小样儿, 还想刁难我! 看我怎么摆平你!,例5. 设, 为两个不共线的向量, AB = +2, BC = 4 , CD = 5 3 , 证明: 四边形ABCD是梯形.,= 8 2,即4 = ,则 = 4,这与“, 个不共线”矛盾!,因而AD = 2BC 0,即k1( +2) + k2(5 3) = ,整理得 (k15k2) + (2k13k2) = .,所以k15k2 = 2k13k2 = 0.,又因为, 个不共线,由此可得k1 = k2 = 0.,这与“k1, k2不全为零”矛盾!,综上所述,
8、四边形ABCD必为梯形.,例6. 设M是ABC的重心, O是ABC所在平面上,的任意一点, 证明:,于是原命题得证.,C,A,B,例7. 设向量, , 互不平行, 且 = = ,证明: + + = .,证明: 因为 ( + +) = + + ,= + + ,= .,类似地, 可以证明 ( + +) = .,假若 + + , 则必与共线,可见 + +既与共线又与共线.,但这与“, , 互不平行”矛盾!,此矛盾表明 + + = .,注: 本题条件“, , 互不平行”可以换成 “与不平行”.,例8. 若A, B都是n阶对称矩阵, 且AB = BA,证明: AB也是对称矩阵.,证明: 因为A, B都是
9、n阶对称矩阵, 即,AT = A, BT = B.,(AB)T = BTAT = BA = AB.,又因为AB = BA, 所以,这就是说AB也是对称矩阵.,注: 还可以证明: “若A, B, AB都是n阶对称矩阵, 则AB = BA”.,事实上, AB = (AB)T = BTAT = BA.,例9. 设A =,证明: (方法一) 用数学归纳法. 略., 求证:当n 2时,a 1 0 0 a 1 0 0 a,An =,(方法二) 先用数学归纳法证明:,若矩阵M, N满足MN = NM, 则对于任意 的正整数n,若矩阵MN满足MN = NM, 则对于任意的 正整数n, 当n = 1时, (M+
10、N)1 = M1+N1成立.,由数学归纳法原理可知:,则(M+N)k+1 = (M+N)k(M+N),令M =,a 0 0 0 a 0 0 0 a,= aI,因此当n 2时,且MN = aN = NM,Mn = (aI)n = anI,= N4 = N5 = ,An = (M+N)n,例10. 证明任何一个方阵都可以分解为一个对称 矩阵和一个反对称矩阵之和.,分析: 设B是对称矩阵, C是反对称矩阵,A = B+C,则AT = (B+C)T,= BT + CT,= B C.,因而A + AT = (B+C) + (BC),= 2B,A AT = (B+C) (BC),= 2C,由此可见,可以直
11、接验证,是对称矩阵,是反对称矩阵.,例10. 证明任何一个方阵都可以分解为一个对称 矩阵和一个反对称矩阵之和.,证明: 设A为任意方阵,= B,= C,而且A = B + C,其中B是对称矩阵, C是反对称矩阵.,例11. 证明奇数阶反对称矩阵的行列式等于零.,证明: 设A为n阶反对称矩阵(n为奇数),则AT = A,于是|A| = |AT|,= (1)n|A|,= |A|,= |A|,移项得2|A| = 0,故|A| = 0.,例12. 设A是n阶方阵, n2, 求证|A*| = |A|n1.,证明: 分两种情况讨论:,(1) 当|A| = 0时, |A*| = 0,否则由|A*| 0可知A
12、*可逆,而AA* = |A|I = 0I = O,于是A = AA*(A*)1,= O(A*)1,= O,由此可得A* = O,这与|A*| 0矛盾!,因此|A*| = 0 = |A|n1.,例12. 设A是n阶方阵, n2, 求证|A*| = |A|n1.,证明: 分两种情况讨论:,(2) 当|A| 0时, 令|A| = a,于是a|A*| = |A|A*|,由此可得|A*| = an1,= |A|n1.,则AA* = |A|I = aI,= |aI|,= an.,= |AA*|,例13. 设A是奇数阶方阵, 且ATA = I, |A| 0,证明: 设A是n阶方阵(n为奇数), 则,求证I
13、A不可逆.,= |(AT I)A|,= |AT I|A|,= |(A I)T|A|,= |A I|A|,|I A| = |ATA IA|,= |(I A) |A|,= (1)n|I A|A|,= |I A|A|,移项得(1+|A|)|I A| = 0.,又因为|A| 0,因而|I A| = 0.,故1+|A|1,所以I A不可逆.,例14. 设A = I eeT, I是n阶单位阵, e是n维非零,分析: (1) 设e =,列向量. 求证: (1) A2 = A eTe = 1;,(2) 当eTe = 1时, A不可逆., ,则eT = (a1, a2, , an),eeT =,(a1, a2,
14、 , an), O,a12 a1a2 a1an a2a1 a22 a2an ana1 ana2 an2,eTe = (a1, a2, , an),= a12 + a22 + + an2.,例14. 设A = I eeT, I是n阶单位阵, e是n维非零,因为A = I eeT,列向量. 求证: (1) A2 = A eTe = 1;,(2) 当eTe = 1时, A不可逆.,A2 = (IeeT)(IeeT),= I eeT eeT + eeTeeT,= I 2eeT + e(eTe)eT,所以,= I + (eTe 2)eeT,故A2 = A I + (eTe 2)eeT = I eeT,
15、eTe = 1., (eTe 1)eeT = O, eTe 1 = 0,证明: (1) 由e是n维非零列向量可知eeT是n阶,非零矩阵,eTe是1阶方阵(也就是一个数).,例14. 设A = I eeT, I是n阶单位阵, e是n维非零,则由A2 = A可知A = I,列向量. 求证: (1) A2 = A eTe = 1;,(2) 当eTe = 1时, A不可逆.,进而得e = eeTe,= Oe,= .,因而eeT = O,于是eTe = 0,但这与eTe = 1矛盾!,此矛盾表明A不可逆.,证明: (2)当eTe = 1时,由(1)可知A2 = A,假若A可逆,注: 也可以根据前面的分析
16、得到eeT = O与,例15. 证明两个上三角矩阵的乘积是上三角矩阵.,证明: 设A = (aij)nn和B = (bij)nn都是上三角矩阵,即i j时, aij和bij都为零.,令AB = (cij)nn,则i j时,cij = ai1b1j+aijbjj+ ai,j+1bj+1,j+ ainbnj,= 0.,可见AB 也是上三角矩阵.,参考 具体 的例 子:,例16. 设1, 2, 3, 4都是n维向量. 已知4不能由,证明: 由条件可设1 = k12+k23+k34.,1, 2, 3线性表示, 但1能由2, 3, 4线性 表示. 求证1能由2, 3线性表示.,假若k3 0,则由上式可解
17、出,这与“4不能由1, 2, 3线性表示”矛盾!,矛盾表明k3 = 0,因而1 = k12+k23.,这就是说1能由2, 3线性表示.,例17. 证明: 在秩为r的向量组中任意r个线性无关,证明: 设1, 2, , s的秩为r,的向量都是它的极大无关组.,这意味着1, 2, , s有一个极大无关组:,我们只要证明,线性无关的向量,“1, 2, , s中任意一个向量j都能由,线性表示”即可.,无关的向量, 我们只要证明,“1, 2, , s中任意一个向量j都能由,线性表示”即可.,这r个向量线性表示,故原命题得证.,例18. 设有向量组I: 1, 2, 3; II: 1, 2, 3, 4;,证明
18、: 由秩(I) = 3可知I线性无关;,III: 1, 2, 3, 5. 已知秩(I) = 秩(II) = 3, 秩(III)=4. 证明1, 2, 3, 24+5线性无关.,由秩(II) = 3可知II线性相关,因而4能由1, 2, 3线性表示.,设4 = k11+k22+k33,(1, 2, 3, 24+5),= (1, 2, 3, 5),则,1 0 0 0,2k1 2k2 2k3 1,0 1 0 0,0 0 1 0,故秩(1, 2, 3, 24+5),= 秩(III) = 4.,所以1, 2, 3, 24+5线性无关.,I:,A = (1, 2, , s),II:,B = (1, 2,
19、, n),j = k1j1 + k2j2 + + knjn , j = 1, 2, , s, 即,这就是说, I能由II线性表示存在K使得A = BK.,1,2,s,= (1, 2, , n),例19. 设Rn中向量组I: 1, 2, , s; II: 1, 2, ,证明: (1),t ; III: 1, 2, , s, 1, 2, , t . 证明: max秩(I),秩(II)秩(III)秩(I)+秩(II).,1 = 11+02+0s+01+02+0t ;,2 = 01+12+0s+01+02+0t ;,;,s = 01+02+1s+01+02+0t ;,1 = 01+02+0s+11+0
20、2+0t ;,;,t = 01+02+0s+01+02+1t ,可见I和II都能由III线性表示,因此秩(I) 秩(III), 秩(II)秩(III).,例19. 设Rn中向量组I: 1, 2, , s; II: 1, 2, ,证明: (1),t ; III: 1, 2, , s, 1, 2, , t . 证明: max秩(I),秩(II)秩(III)秩(I)+秩(II).,可见I和II都能由III线性表示,因此秩(I) 秩(III), 秩(II)秩(III).,故得max秩(I) , 秩(II)秩(III).,(2) 设秩(I) = r, 秩(II) = u,则存在矩阵Crs和Dut使得,(
21、2) 设秩(I) = r, 秩(II) = u,于是有,(1, 2, , s, 1, 2, , t ),(1, 2, , s) = ( , , , )C,i1,i2,ir,(1, 2, , t ) = ( , , , )D,j1,j2,ju,则存在矩阵Crs和Dut使得, r + u,= 秩(I)+秩(II).,例20. 设向量组I能由II线性表示, 且秩(I) = 秩(II),证明: 设I: 1, 2, , s; II: 1, 2, , t ;,证明: II能由I线性表示.,秩(I) = 秩(II) = r,令A = (1, 2, , s),B = (1, 2, , t ),存在矩阵Ftr使
22、得C = BF;, I能由II线性表示,存在矩阵Grt使得B = DG;,存在矩阵Ftr使得C = BF;, I能由II线性表示,存在矩阵Hsr使得C = AH;, 令GF = K,则K为r阶方阵且C = BF = (DG)F = DK;, r = 秩(C) 秩(K) r, 秩(K) = r, K可逆, D = CK1;,B = DG = (CK1)G = (AH)K1G = A(HK1G), II能由I线性表示.,例21. 对任意mn矩阵A, B, 证明: 秩(A+B) 秩(A)+秩(B).,证明: 设A = (1, 2, , n), B = (1, 2, , n);,秩(A) = r, 秩
23、(B) = s,则A+B = (1+1, 2+2, , n+n),且1+1, 2+2, , n+n能由,因而秩(A+B) =秩(1+1, 2+2, , n+n), r + s,= 秩(A) + 秩(B).,例21. 设A为mn矩阵, 1, 2, , s是Ax = 的基础解系,证明: (1, 2, , s) = (1, 2, , s),s 2. 证明: i = (k) i (i = 1, 2, , s)也是,Ax = 的基础解系.,k=1,s,., 0.,证明: (1, 2, , s) = (1, 2, , s)P., |P| 0, P可逆, 秩(1, 2, , s) =秩(1, 2, , s)
24、 = s., 1, 2, , s线性无关., 对于Ax = 的任意一个解向量,1, 2, , s, 这s+1个向量能由1, 2, , s,线性表示, 1, 2, , s, 线性相关, 能由1, 2, , s线性表示.,由和可知1, 2, , s也是Ax = 的基础,解系.,例22. 设A为sm矩阵, B为mn矩阵, 且AB = O.,证明: 设秩(A) = r,证明: 秩(A)+秩(B) m.,1, 2, , mr为Ax = 的基础解系.,设B = (1, 2, , n),则A(1, 2, , n) = AB = O, 1, 2, , n都是Ax = 的解, 1, 2, , n能由1, 2,
25、, mr线性表示, 秩(1, 2, , n) m r,秩(B) m 秩(A),秩(A) + 秩(B) m.,例23. 设A为mn矩阵, 秩(A) = r. 证明: Ax = 的任意nr,证明: 因为A为mn矩阵, 秩(A) = r,个线性无关的解向量都是Ax = 的基础解系.,所以可设1, 2, , nr为Ax = 的一个基础解系.,1, , nr, 这nr +1个向量能由1, 2, , nr,下面设1, 2, , nr是Ax = 的任意nr个线性 无关的解向量.,我们只要证明Ax = 的任意一个解都能由,1, 2, , nr线性表示即可.,线性表示, 1, , nr, 线性相关,1, 2,
26、, nr线性无关,事实上, 能由1, 2, , nr线性表示.,所以可设,线性无关的向量.,我们只要证明A中任意一个向量i都能由,事实上,例23. 设向量组A: 1, 2, , s的秩为r. 证明: A中任意r,证明: 因为向量组A: 1, 2, , s的秩为r,个线性无关的向量都是A的极大无关组.,例23. 设向量空间V的维数为r. 证明: V中任意r个线性,证明: 因为向量空间V的维数为r,无关的向量都是V的一组基.,所以可设1, 2, , r为V的一组基.,1, , r, 这r +1个向量能由1, , r线性表示,下面设1, 2, , r是V中任意r个线性无关的向量.,我们只要证明V中任
27、意一个向量都能由,1, 2, , r线性表示即可., 1, , r, 线性相关,1, 2, , r线性无关,事实上, 能由1, 2, , r线性表示.,例24. 设A为3阶可逆方阵, 将A的第一行和第三行互换后,证明: 由题意可知B = P(1, 3)A,得矩阵B. 证明: B可逆, 并求AB1.,其中P(1, 3) =,可逆,A可逆, B可逆.,B = P(1, 3)A, B1 = A1P(1, 3)1, AB1 = AA1P(1, 3)1,= P(1, 3)1,= P(1, 3),例25. 设A为mn矩阵, 秩(A) = r. 证明:,证明: 由题意可知存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q,
28、(1) 存在r个秩为1的mn矩阵A1, A2, , Ar 使得,A = A1 + A2 + + Ar .,(2) 存在秩为r的mr矩阵B及秩为r的rn矩阵B,使得A = BC.,(1) 令mn矩阵Ei的第i行第i列位置的元素为1,其余位置的元素为0,Ai = PEiQ,i = 1, 2, , r,则秩(A1)=秩(Ar)=1且A = A1+A2+Ar .,C = (Ir , O)即可.,例26. 设A, B, C, D是同阶方阵, 其中A是可逆的. 证明: |M| = |A|DCA1B|, 其中M是分块,由此可得,= |M| .,证明:,|A|DCA1B| =,例27. 设A为mn的矩阵, b
29、为m维列向量. 证明:,进而得秩(ATA)=秩(A).,证明: 设x为n维列向量,一方面Ax = (ATA)x = , xT(ATA)x = 0, (Ax)T(Ax) = 0, Ax = .,这就是说的Ax = 解必为(ATA)x = 的解.,另一方面(ATA)x = ,故Ax = 与(ATA)x = 同解,因此n秩(ATA)= n秩(A).,(1) 秩(ATA)=秩(A).,证明: (ATA, ATb) = AT(A, b),例27. 设A为mn的矩阵, b为m维列向量. 证明:,(1) 秩(ATA)=秩(A).,(2) 线性方程组(ATA)x = ATb一定有解.,秩(ATA, ATb)
30、秩(AT),= 秩(A)., 秩(ATA) 秩(ATA, ATb),秩(ATA) = 秩(A),秩(ATA, ATb) 秩(A).,由和可得,= 秩(ATA).,秩(ATA, ATb) = 秩(A),因此线性方程组(ATA)x = ATb一定有解.,例28. 设A为n阶矩阵, 为n维列向量. 若存在正整数k,证明: 设t1 + t2A + + tkAk1 = ,使得Ak = , 但Ak1 , 证明: 向量组, A, , Ak1线性无关.,则Ak1(t1 + t2A + + tkAk1) = ,即t1Ak1 = ,而Ak1 ,故t1 = 0.,于是可得t2A + + tkAk1 = ,因而Ak2(t2A + + tkAk1) = ,即t2Ak1 = ,而Ak1 ,故t2 = 0.,依次类推可得t3 = = tk = 0.,所以, A, , Ak1线性无关.,
