1、第二章图像处理中的常用数学变换北京信息科技大学光信系空域变换域间变换代数运算几何运算傅里叶变换Gabor变换余弦变换2.1 引言 图像的数学变换的特点在于其有精确的数学背景，是许多图像处理技术的基础。 一种是在 空间域 上进行的，这些变换根据处理操作的特点，可以分为图像的代数运算和集合运算，它们都是利用对输入图像进行加工而得到输出图像； 另一种重要的数学变换则是将 原定义在图像空间的图像以某种形式转换到另外一些空间，并利用输入图像在这些空间的特有性质有效而快速地对图像进行处理和分析 。最典型的变换有离散傅里叶变换，它把空域中的图像信号看作二维时间序列，将其变换到频域来分析图像的频谱特性。除了傅
2、里叶变换外，常用的还有 Gabor 变换、小波变换、离散余弦变换、 PCA 变换等。无论是在空域中的数学变换还是频域中的数学变换，它们在图像分析、滤波、增强、压缩等处理中都有着非常典型而重要的应用，本章将对这些常用的数学变换做详细的介绍。2.2 空域变换代数运算 几何运算加法运算减法运算乘法运算平移旋转缩放复杂变换2.2.1 代数运算 图像的代数运算是指对两幅图像进行点对点的四则运算而得到一幅新的输出图像。B ( x , y )A ( x , y ) C ( x , y )B ( x , y )A ( x , y ) C ( x , y )B ( x , y )A ( x , y ) C (
3、x , y )B ( x , y )A ( x , y ) C ( x , y )1.加法运算 若 A(x,y)和 B(x,y)为输入图像， C(x,y)为输出图像C ( x , y ) = A ( x , y ) + B ( x , y ) 图像去噪 图像叠加作用：图像去噪 同一场景中，对多个受白噪声干扰的图像可以通过相加求平均的方式来抑制噪声。对于白噪声，其出现的强度是随机的，在求平均值的过程中，图像的静止部分不会改变，而噪声的强度则会减弱（非消除）。理论上讲，对 M 幅图像进行平均，可以使图像中每一点的功率信噪比提高 M 倍。 （注意：使用条件）相加去噪M=1M=2 M=16M=4图像叠
4、加减法运算 若 A(x,y)和 B(x,y)为输入图像， C(x,y)为输出图像C ( x , y ) = A ( x , y ) B ( x , y ) 图像减法也称为差分方法，常用于检测同一场景的运动图像序列中两两图像之间的变化，以检测物体的运动。在控制环境下，或者在很短的时间间隔内，可以认为背景是固定不变的，可以直接使用差分方法检测变化或直接分割出作为前景的物体。减背景运动探测 边缘探测(1)减背景 g(x,y) = f(x,y) b(x,y) f(x,y):前景背景混合图象 b(x,y):背景图象差影法在自动现场监测中的应用 在银行金库内，摄像头每隔一固定时间拍摄一幅图像，并与上一幅图
5、像做差影，如果图像差别超过了预先设置的阈值，则表明可能有异常情况发生，应自动或以某种方式报警； 用于遥感图像的动态监测，差值图像可以发现森林火灾、洪水泛滥，监测灾情变化等； 也可用于监测河口、海岸的泥沙淤积及监视江河、湖泊、海岸等的污染； 利用差值图像还能鉴别出耕地及不同的作物覆盖情况。（ 2） 运动探测 检测同一场景两幅图象之间的变化 g(x,y) = T2 (x,y) - T1(x,y) T1(x,y):时间 1的图象 T2(x,y): 时间 2的图象阈值处理当前图像前一时刻图像减法 图间差别差值法的应用举例 (a)差影法可以用于混合图像的分离- =(b) 检测同一场景两幅图像之间的变化设
6、： 时刻 1的图像为 T1(x,y)，时刻 2的图像为 T2(x,y)g(x,y) = T2 (x,y) - T1(x,y)= -T1(x,y) T2(x,y)g(x,y)（ 3） 求取边缘（ edge) 差分运算也可以用来计算物体边界位置的梯度。梯度定义为：yyxfjxyxfiyxf ),(),(),( 梯度幅度：22 ),(),(),( yyxfxyxfyxf因为平方根的计算比较费时，该式可近似为如下形式：)1,(),(,),1(),(m a x ),( yxfyxfyxfyxfyxff(x,y) f(x+1,y)f(x,y+1) f(x+1,y+1)f(x-1,y)f(x-1,y-1)注
7、意理解公式与实际图像的对应)1,(),(,),1(),(m a x ),( yxfyxfyxfyxfyxf255 0肌肉纤维边缘检测例子3.乘法运算（ Multiplication ） 乘法可以用来掩盖图像的某部分。 灰度值 1的区域得以保留，灰度值为 0或其它值的区域被抑制。4.除法运算C(x,y) = A(x,y)/ B(x,y) 主要应用举例 常用于遥感图像处理中2.2.2 几何运算 几何运算可以改变图像中物体之间的空间关系。这种运算可以看成是图像内的各物体在图像内移动的过程。 （几何变换不改变像素值，而可能改变像素所在的位置。） 图像的平移 (translation) 图像的镜像变换
8、(reflection ) 图像的缩放 (scaling) 图像的旋转 (rotation) 扭曲 (distortion)几何运算步骤 为了不至于使图像经过几何运算之后发生断裂或肢解等情况，在大多数应用中，要求保持图像中物体轮廓线的连续性和各物体表面的连通性。为此，一个几何运算需要两个独立的算法。 首先，需要一个算法来定义空间变换本身，用它描述每个像素如何从其初始位置“移动”到终止位置，即每个像素的“运动”； （空间变换） 同时，还需要一个用于灰度级插值的算法，因为，在一般情况下，输入图像的位置坐标（ x,y）为整数，而输出图像的位置坐标为非整数，反过来也是如此。 （灰度插值）1. 空间变换),(),(),(),( yxbyxafyxfyxg 几何运算的定义：g(x,y) : 输出图像；f(x,y): 输入图像；a(x,y), b(x,y): 变换函数。（ 1）平移0),( xxxyxa 0),( yyyyxb 设， x00； y000 xxx 0 yyy (x,y)(x0,y0)xy(x,y)
