1、2018/10/17,1,第六章,光 学 小 波 变 换,2018/10/17,光学信息处理,2,第六章 光学小波变换,61 引言 62 从短时傅里叶变换到小波变换 63 小波变换的定义和性质 64 实现一维小波变换的光学系统 65 用多通道匹配滤波实现二维小波变换 66 光学小波变换匹配滤波器在图像识别中的应用 67 光学 Haar 小波变换和图形边缘探测,6.1 引 言,如果g(x)是一个时域或空域中分布在(-，)中的稳恒过程或稳定分布，则傅里叶分析给出了近乎完美的结果然而，在自然界和科学技术中还有大量信号，它们具有局部的或定域的特性例如语言信号、声纳信号、各种电脉冲等。这些信号只出现在一
2、个短暂的时间问隔内，此后很快衰减到零，称快速过程或暂态过程一个很短暂的信号，可以称为“小波”信号,对于局部信号或暂态过程，傅里叶分析就不完全适用首先，我们仅对t内的时间信号感兴趣，没有必要在过去、现在及未来的无限长时间范围内对信号进行分析；类似地，在处理定域于x 内的空间图像时，也没有必要对全平面内的信号进行全面的分析在许多情况下，在 t 或 x 以外的信号是未知的，它可能是零，也可能是背景噪声；对它们我们不太了解，测不准，或不感兴趣如不加选择地把(-，)内全部信号进行傅里叶处理，还可能产生较大的误差甚至错误此外，一个局部的信号在 t 或 x 以外较远处几乎完全等于零当用它们的频谱来恢复或重构
3、这些信号时，在 t 或 x 外很远处也会出现一些非零的分量，它们一般不是信号，而是在傅里叶逆变换中频域综合不够充分而产生的噪声,2018/10/17,光学信息处理,5,在一些课题中，我们往往不满足于了解信号在全部区间内的综合的频谱分布，而希望了解某一区间或某些区间内信号对应的频谱例如在地震勘探中，为了分辨分层的地层和矿床结构，我们需要在时域和频域中仔细分析不同时刻的信号在不同频谱区间中的行为，而傅里叶分析只能提供在长时间内的信号整体的频谱，显然不能满足我们的要求近年来发展起来的小波分析，正好克服了傅里叶分析的上述缺点它和傅里叶分析的一个重要区别，在于它恰恰适用于处理局部或暂态信号因此，小波分析
4、成为信号分析、图像处理、数据压缩、语音信号分析等领域中的重要工具；在地震勘探信号处理、边缘探测、语音信号合成中则有特殊的用途,2018/10/17,光学信息处理,6,6.2 从短时傅里叶变换到小波变换,6.2.1 短时傅里叶变换(STFT)为了有效地提取一个局部信号g(x)的信息，引入一个局部化的变换 所谓局部化，包含两个要素：第一，被分析的区间要有一定的宽度x，我们仅对x及其附近的信息进行处理；第二，被分析的区间有一个中心坐标xc，当 xc 改变时，就可以提取不同的信息,2018/10/17,光学信息处理,7,为了实现局部化，一个有效的方案是在傅里叶变换中加一个 窗函数w(x)： Gw(v,
5、 xo) = - g(x)exp(-i2vx) w(x- xo) dx (1)= W(v)exp(-i2vxo)* G(v) (2) 式中 W 和 G 分别是 w 和 g 的傅里叶变换只要w(x)和W(v)有足够快的衰减速度，窗函数就是一个局部化的函数 函数f (x) 和g(x) 的内积的定义 :( f (x) , g(x) ) = - f (x) g(x)dx,2018/10/17,光学信息处理,8,窗函数的中心xc定义: xc = (w(x),x w(x)/(w(x),w(x)= - w(x) xw(x)dx / - w(x)w(x)dx 式中(*,*)表示函数f 和g 的内积xc与xo不
6、一定相等。 窗函数的宽度则定义： w = 2(w(x),(x- xc )2 w(x)/(w(x),w(x)1/2= 2 -w(x)(x-xc )2w(x)dx / - w(x) w(x)dx1/2注意: 它是节1.2.4中所定义的信号空域宽度的两倍。,2018/10/17,光学信息处理,9,Gw(v, xo) = - g(x)exp(-i2vx) w(x- xo) dx (1)由于窗函数具有局部处理的功能，因此(1)式定义的变换称为短时傅里叶变换(STFT) STFT和FT的一个重要区别: 频率变量 v 和坐标变量 xo同时出现在变换函数中.在STFT中，窗口宽度则隐含于Gw(v, xo) 内
7、，正是xo和窗口宽度w，使这一变换具有局部处理的功能改变 xo，窗口就在空域中移动，以获取不同区域的信息， xo 通常称为位移因子； w 则限制了被处理空间的范围 频率窗中心：vc = (W(v), vW(v)/(W(v),W(v) (5) 频率窗宽度： W=2(W(v),(v- vc)2W(v)w(x)/(W(v),W(v)1/2 (6),2018/10/17,光学信息处理,10,当w和W 都有限时，我们称函数w(x)在空域和频域同时局部化wW称为空间-频率窗，它限制了空域和频域中被处理区域的范围。根据w，W的定义及测不准关系式，并注意信号宽度定义的区别，我们就有： wW1/ (7)当高斯函
8、数取为窗函数时，(7)式中的等式成立，这种情况下STFT具有最小处理区域STFT的局部性，其特征在于处理过程限制在空间-频率窗内进行，且窗的位置是可变的，然而无论w还是W都是常数，不会随信号中心频率的变化而变化，这使STFT在处理一些奇异性的信号时显得无力恰恰是在这一点上，小波变换具备比STFT更强的功能,6.2.2 Gabor 变换,早在1946年，Gabor就提出了下面的变换(8) 称Gabor变换，其中 和b为变换的参数上式又可表为 (9) 式中 (10),因此Gabor变换就是高斯窗短时傅里叶变换 窗函数中心坐标 xc = 0, 窗的宽度 w = 1.414 w(x)的傅里叶变换: W
9、(v) = exp(-22 2v2) (13) 也是高斯函数频率窗宽度 W = 1/ 1.414 (14) 因此有 w W = 1 / ,图中将空域和频域同时表达出来，称空间-频率坐标系，空-频窗则表示为图中的一个矩形Gabor变换空-频窗的高度和宽度都是恒定的。,Gabor变换在频域中的表达式： 式中 = 1/(2)2 ,可见Gabor变换在频域和空域中的表达式具有相似的形式,2018/10/17,光学信息处理,13,Gabor变换的特点：(1)实现空域和频域处理的局部化中心位于(b, v)空-频窗为1.414(1/ 1.414) = 1/ (2) 由(8)式和(15)式，可看出变换是参数
10、，b 和变量 v 的函数。上式给出的积分是一个调制包络，载波exp(-i2vb)的频率(即中心频率) v 与参数无关，不会随 的变化而变化，这正是所有短时傅里叶变换共同的缺点。,(17),6.2.3 Morlet小波变换,为了克服Gabor变换中窗口尺寸不能变动的缺点，Gabor变换的基元函数可改写为,子函数,定义信号函数g(x)的Morlet小波变换:,称变换的母函数.,引入参数a，b，,Morlet小波变换与Gabor变换的实质性差别: 小波变换: vc= v/a, w =1.414a , W=1/1.414a .当 vc 增高时(a 减小)， w 变小而W增大，可处理更多的高频信息；当v
11、c 降低时(a 增大)，W变小而w加宽，可容纳足够多个空间周期，以保证处理精度,Morlet小波变换，在处理低频信号时空间窗自动加宽，在空间窗范围内包含的信号空间周期相同，这就保证了小波变换以同样的精度去处理不同中心频率的信号，这正是小波变换与短时傅里叶变换的根本区别,Gabor变换: 窗的宽度是常数，当vc增高时，一定宽度的空间窗内包含的空间周期增加，所以变换的精度是随频率而变化的；,小波变换的空间-频率窗,2018/10/17,光学信息处理,16,2018/10/17,光学信息处理,17,6.3 小波变换的定义和性质,6.3.1 小波变换的定义 母函数h(x)的基本小波函数ha, b(x)
12、定义为 (1)式中b称为小波变换的位移因子，a 0 称为伸缩因子上式表明基本小波是母函数经平移和缩放的结果基本小波又简称小波 信号函数g(x)的小波变换定义为： (2)由于相关运算较易用光学相关器进行，因此小波变换可以用我们已熟悉的光学相关系统来实现,2018/10/17,光学信息处理,18,Morlet小波 的母函数是子函数是Mor1et小波的基函数 式中：m, n = 0，1，2，；a = aom ；b = nbo.,2018/10/17,光学信息处理,19,当m = n = 0时，a = 1，b = 0，即为母函数； 当m = 1, n = 0时，a = a0，b = 0，对应的一阶小波
13、函数为当m = -1，n = 0时，a = a0-1，b = 0，有负一阶小波函数h(t)，h1,0(t),和h-1,0(t)已分别在上图中画出,2018/10/17,光学信息处理,20,并非任何函数都可以作为小波变换的函数h(x)， h(x)必须在x 时衰减到零实际使用的小波变换母函数h(x)，当x 时迅速衰减，使它的不显著为零的分量只存在于一个很小的区间内，这正是“小波”名称的来由。实际上，也只有迅速衰减的小波才使变换(2)式具备局部化的特征,2018/10/17,光学信息处理,21,6.3.2 小波变换在频域中的表达式,在频域中，小波可表示为 式中H(v)是小波母函数h(x)的傅里叶变换
14、在空域的扩大 x/a 等价于频域的压缩 av空域的位移b 等价于频域的位相移动exp(-i2vb) 由Parseval定理，小波变换的傅里叶变换为(4) 其中 H 和 G 分别是 h 和g 的傅里叶变换上式表明信号g(x)的小波变换可以用4f 系统实现,6.3.3 逆变换和相容性条件,小波变换(2)式的逆变换定义为其中Ch满足条件(6)式称“相容性条件”，是逆变换存在的条件 下面我们来证明它ha,b(x) 可表为,以(4)、(7)式代入(5)式，得到上式中最内部的积分为 (v - v)，因此上式成立的条件是即(6)式当v = 0时，相容性条件要求: H(0) = 0 ， (10) 即小波函数没
15、有零频分量由于 H(0)=-h(x)dx = 0 (11) 意味着h(x)必须是振荡函数，平均值为零，其傅里叶谱直流分量为零.,6.3.4 正则性,从理论上讲，任何满足相容性条件的函数都可当作小波变换的母函数，然而在实用中，为了使变换具备局部化的功能，h(x)和H(v)在空域和额域中都是迅速衰减的，它们不显著为零的分量分别分布于空域和领域中的原点附近此外，要求Wa,b作为a的函数，应当是充分光滑的，当a0 时，Wa,b0，即要求Wa,b在a=0附近是正则的. 设 b = 0，则有将g(x)在x =0的邻域内展开成泰勒级数：,2018/10/17,光学信息处理,25,代入(12)式得到式中Mn是
16、小波函数 h 的n 阶矩：Mn = - h() nd (n = 0，1，) (15) 由(11)式 Mo = H(0) = 0 (16) 设 Mp = 0 ( p = 0，1， , n) (17) 则在 0 的邻域内,2018/10/17,光学信息处理,26,随着 a 0，Wa.o 0 的速率为即对于一个足够平滑的函数g(x)、Wa.og以a n+1/2 的速率随a 趋近于零，称它为 n 阶小波函数 由节1.1(24)式， Mp = 0 ( p = 0，1， , n)意味着 H(p) (v) = 0 ( p = 0，1， , n) 表明 v = 0是H(v) 的 n 阶零点此外，(16)式(即
17、相容性条件)保证Wa.o随 a 趋于零的速度的下限为 a1/2,6.3.5 小波变换的空间-频率窗和处理过程的局部化,小波变换在空域中的处理局限于空间窗内 (23)小波变换在频域中的处理局限于频率窗内(29) 空间-频率的处理就局限于空间-频率窗内：(31),小波变换处理过程的特点： (1)空间窗宽度 a w 和频率窗宽度 W/a 均随 a 的变化而变化，窗的面积 w W 与 a 无关 (2) 中心频率 v /a 与带宽(即频率窗宽)之比 Q = (v /a)/ (W/a) = v / W (32) 与中心频率大小无关，仅取决于 H(v)Q是测量精度的特征量，上式表明小波变换的测量精度与频率无
18、关当v/a增大时(a 减小)，频率窗自动变宽，使小波变换在不同频率下具有相同的检测精度；反之，当 v/a 减小时(a 增大)，空间窗自动加宽，以容纳同样数目的信号空间周期有人把小波变换的这种性能比喻为“自动变焦”(zooming)， 伸缩因子 a 常称小波变换的频率变量，位移因子 b 则称为坐标变量,2018/10/17,光学信息处理,29,6.3.6 常用小波函数,1. Haar小波 Haar小波是双极性阶跃函数 它以t = 1/2为中心的奇对称实函数，满足小波存在条件.,2018/10/17,光学信息处理,30,Haar小波的傅里叶变换是它的模是正的偶函数，以v = 0 为对称轴. 相位因
19、子exp(-iv)是由于h(t)是以t =1/2为中心的奇对称性所引起的 Haar小波对于离散的缩放因子和位移量是正交的，其傅里叶谱的振幅|H(v)|随1/v 很慢地收敛到零,2018/10/17,光学信息处理,31,2. Morlet小波,Morlet小波是由分析声像技术引入的，可表示为其实部是余弦-高斯函数Morlet小波的傅里叶谱是平移到 vo 及 vo 处的两个高斯函数，即显然，H(v)是正的实偶函数,2018/10/17,光学信息处理,32,图: h(t)的实部和 h(t) 的傅里叶谱,2018/10/17,光学信息处理,33,3. Mexican hat 小波,这种型如墨西哥帽的小
20、波函数被广泛用于零交叉多分辨边缘检测，其母函数实际上是高斯函数的二阶导数，即该函数是实偶函数，满足小波变换存在条件. Mexican - hat小波的傅里叶变换是它也是实偶函数,2018/10/17,光学信息处理,34,Mexican - hat小波函数及其傅里叶变换高斯函数的高阶导数也可以用来作为小波函数. 高斯函数n 阶导数的傅里叶谱 H(v) 将是乘以( i 2v )n 的高斯函数，所以H(0) = 0，满足子波变换的存在条件。Mexican hat 小波变换收敛速度很快,2018/10/17,光学信息处理,35,4. Meyer 小波,Meyer小波是用其傅里叶变换来定义的，即H(v)
21、 = exp(-i v )sin(v) 式中：(v)是偶对称函数，如图所示图中，AB弧段有一个对称中心，在 v =1/2 和(1/2) = /4 处, 即,2018/10/17,光学信息处理,36,而BC弧段具有相同的形状，是AB弧段的翻转和展开，其对称中心在 v = 1 和(1) = /4，即 如果H(v)中相移因子ex(-i v)被忽略，则H(v)为实偶函数相移因子的作用，是使h(t)在时间轴上的位移为t =1/2 Meyer小波可表示为它也是一个以 t =1/2 为对称点的实函数，衰减较快Meyer已经证明，具有离散缩放和位移因子的这种小波，可以构成一组正交基底,2018/10/17,光
22、学信息处理,37,6.3.7 离散小波变换(DWT),正如傅里叶变换一样，小波变换也可以分为两种形式：连续的和离散的变换 对于离散小波变换，我们将假定信号g(x)也是离散的离散小波变换的形式为对应离散小波逆变换为,2018/10/17,光学信息处理,38,6.4 实现一维小波变换的光学系统,从小波变换的定义可知，N维信号函数的小波变换是2N维函数，因此计算的工作量很大，尽管专门用于小波变换的超大规模集成电路已有报道，但人们仍在考虑用光学系统来实现小波变换，因为光学信息处理器具有高度的并行处理性能,一维小波变换光学处理系统,2018/10/17,光学信息处理,39,柱面透镜,图14-10 柱面透
23、镜,图14-11 柱面透镜成像,柱面透镜水平剖面与凸透镜的剖面相同，在这个平面内，对光线有会聚作用；而竖直剖面与平板玻璃剖面相同 ，对光线没有会聚作用。所以，一个点光源经过此柱面透镜所成的像为一条竖直的直线。,2018/10/17,光学信息处理,40,xy-L2-uv 构成 x 方向的一维傅里叶变换器。在SLM1上输入信号 g(x)，经 L2 的变换作用，在 uv 平面上形成它的傅里叶谱 G(u) 在 uv 平面上放置第二个空间光调制器SLM2，它被分成M个沿u方向的带状区域，这些带状区域中分别显示具有不同伸缩因子 am 的基元函数h的傅里叶谱：H*(amu) (m = 1，2，M)， (1)
24、 假定 H 是实的，从而有H*(amu) = H(amu) ， (2) H(amu)| m = 1，2，M 构成多通道小波变换匹配滤波器，G(u) 经滤波后成为H*(amu) G(u) (m = 1，2，M), (3),2018/10/17,光学信息处理,41,uv - L3 - 构成像散系统 在子午面(vz平面)内，L3使 uv 平面成像在 上; 在弧矢面(uz平面)内，柱面镜没有作用, uz 位于球面镜的前焦面, 位于其后焦面，构成沿 u 方向的一维傅里叶逆变换，参见图6.8图6.8(a)在子午面内构成成像系统 (b)在弧矢面内构成一维傅里叶逆变换系统,2018/10/17,光学信息处理,
25、42,由于成像作用，在平面上沿方向相应形成 uv 平面上各带状通道的像对于第m 个通道，由于沿 u 方向的傅里叶逆变换作用，得到 (a, am) = H*(amu) G(u) exp(i2a u) (4) 由节6.3(4)式，有(5) 在图像处理系统中，将CCD输出的信号除以(am )1/2即得到小波变换在 中，伸缩因子a 是分立的，由一组M个滤波器 引入处理器；而位移因子b 则是连续的，与输入平面的坐标a 成正比,2018/10/17,光学信息处理,43,6.5 用多通道匹配滤波实现二维小波变换,6.5.1 单通道小波变换系统 一维小波变换定义: 二维小波变换也可类似定义：(1) 为了简单起
26、见，令 ax = ay = a，即 x，y方向按相同的尺度加以缩放，得到(2),2018/10/17,光学信息处理,44,在频域中，(1)式变成匹配滤波的频域表达式 (3)匹配滤波可以用标准的4f系统实现，如图6.9所示图6.9 用4f 系统实现小波坐换将二维信号函数(x, y)经过SLMl 输入系统，则在Ll 的频谱面上将出现它的谱(u, v),2018/10/17,光学信息处理,45,在谱面上放置第二个SLM2，将匹配滤波函数H*(axu，ayv)通过SLM2 对 (u, v) 进行滤波，则形成H*(axu，ayv) (u, v) ，再经过第二个透镜L2，在输出平面上得到它的傅里叶逆变换由
27、上式可知，H*的傅里叶逆变换，即信号 (x, y) 的小波变换,2018/10/17,光学信息处理,46,我们注意到，位移因子( bx，by )是与输出平面的坐标对应的变量，但伸缩因子( ax，ay )却是给定的，亦即我们只能对给定的伸缩因子( ax，ay ) 实现小波变换，不同的 ( ax，ay )的变换只能通过依次输入不同的匹配滤波函数 H*( axu，ayv ) 来实现，速度很慢，发挥不了光学系统并行处理的优越性,6.5.2 用 Dammann 光栅进行多通道相关处理,由于comb(x)与任意函数(x)相乘，等于对(x) 的抽样；comb(x)与(x)的乘积再进行傅里叶变换，在谱面上得到
28、comb(u)与(u)的卷积，相当于谱项(u)在comb(u)中各个 函数的位置上重复出现，只要(x) 的带宽是有限的，则我们总可以通过足够密集的抽样手续，使各谱项在频域内互相分离即对于给定的输入信号(x, y) ，可利用梳状函数在谱面上复制出一系列谱函数 mn(u, v)，m，n = 0，1， 2， 如果每个mn 代表一个处理通道，就可以实现多通道的并行处理在这里，关键的器件是梳状函数器件，又称Dammann光栅一维Dammann光栅的透过率函数可表为(4) 式中 是栅线宽度，d 是空间周期，见图6.10(a),2018/10/17,光学信息处理,48,若将Dammann光栅放在4f系统的输
29、入面上，则在谱面上得到T(u) = sinc(u)comb(du)， (5) 它是一个被sinc函数调制的梳状函数，见图6.0(b). 若 足够小，则sinc(u) 变化缓慢，在中心附近的一些 函数幅度接近于1当然， 越小，透过的光能量就越少,2018/10/17,光学信息处理,49,把两个同样规格的一维Dammann光栅相对旋转90o并叠在一起，就得到二维Dammann光栅，其透过率函数可表为(6)在 很小时，上式可近似表为(7) 显见二维Dammann光栅是一个 函数点阵，它们分布在间隔为d 的栅线的交点上，这些地方的透过率为1，其余地方的透过率为0,2018/10/17,光学信息处理,5
30、0,在上图所示的4f系统的输入平面上放置信号(x, y) ，把二维Dammann光栅紧贴在(x, y) 上，在光栅后的光场复振幅分布为(x, y) comb(x/d, y/d) /d2 (8) 在 uv 平面上得到它的傅里叶谱 (9)式中 fo = 1/d . (10),2018/10/17,光学信息处理,51,m.n = (u - mfo, v - nfo) (11) 是一系列中心位于Amn=(mfo, nfo) 处复现的谱项. 如设计一个匹配滤波器列阵, 位于Amn 处的复数透过率为 H*m.nexpi2(upm+vqn)，亦即：(12) 滤波器中各谱项是按角度编码的，相当于用不同方向传播
31、的平面波exp i2(upm+vqn)作为参考光制成的全息匹配滤波器，通常是计算机生成的全息匹配滤波器(CGH),2018/10/17,光学信息处理,52,经滤波后，再通过4f 系统中第二个傅里叶透镜L2 的作用，在输出平面上得到傅里叶逆变换：式中Cmn 是常数系数 (13),2018/10/17,光学信息处理,53,亦即频域中的相移形成输出平面上的位移，以( pm，qn )为中心形成一系列在空间相互分离的项，每一项都代表一个不同的伸缩因子( am，an )的小波变换，位移因子则由以( pm，qn )为中心的坐标来表示. 这样一来，我们就用多通道4f 系统实现了二维光学小波变换，它是缩放因子的
32、分立函数，是位移因子的连续函数,2018/10/17,光学信息处理,54,6.5.3用体全息存储器进行多通道相关处理,重铬酸明胶(DCG)或光折变晶体(BaTiO3，LiNbO3，BSO等)都可以做成体全息存储器，并可以用角度对全息图进行编码这一性质也可以用于光学小波变换，参见图611,将缩放后的母函数 hmn = h( x/am， y/an ) (14) 经SLM1输入系统，则在频谱面上产生了它的傅里叶变换 Hmn = am an H ( amu, anv )在谱平面上放置体全息记录器件，例如光折变晶体，并用倾斜的平行参考光 Rmn = exp -i2(upm+vqn) (15) 照射，与物
33、光am an H ( amu, anv ) 相干叠加，形成全息图一系列 hmn 依次输入系统，并用不同角度的参考光 Rmn 编码，最后得到： (16)式中第三项正是我们所需的小波变换匹配滤波函数,当我们将所分析的信号 (x, y)通过SLM1输入系统，它的谱 (u, v) 经过F(u, v)的滤波后得到(17)我们略去了与匹配滤波无关的项再经L2 的傅里叶逆变换，在输出平面上得到同样得到以(pm，qn)为中心的一系列空间互相分离的小波变换,(18),(16)式前二项经逆变换重合于原点，但第四项则是以 (-pm，-qn) 为中心的卷积项，在输出平面上与相关项关于原点对称，可称为“鬼像” (gho
34、st image)，因此在角度编码时要避免这些鬼像对其他小波变换项的干扰目前全息存储密度已做得相当高，因此在晶体中可以存储相当多个按方向编码的小波变换匹配滤波器,2018/10/17,光学信息处理,58,6.6 光学小波变换匹配滤波器 在图像识别中的应用,图像识别或特征识别：从大量信息或背景中检测某一特定的图形或指定的特征信息，并排斥其他图形信息。在一般情况下，我们只知道需要检测的图形的特征，对于其他图形的特征，我们事先可能并不知道，或知之甚少，但检测系统必须排斥这些图形，图像识别系统的这种性能称为“排他性”。光学小波变换识别系统在这方面的性能比常规的相关识别系统更强，因此有可能利用这一效应设
35、计成有应用价值的小波变换图像识别系统。,2018/10/17,光学信息处理,59,6.6.1 边缘增强效应,图形的重要特征之一是它的形状或轮廓。为了识别某一特定的图形，往往只需认定它的轮廓，而并不需要研究它的内部细节。轮廓就是图形的边缘，一旦图形的边缘被清晰地勾画出来，这一图形就容易识别了。相对于图形整体而言，边缘显然是局部，因此我们可以期望小波变换在边缘检测中有特殊的功效。,2018/10/17,光学信息处理,60,选择“墨西哥帽”式母函数，定义为(1) 引入 g(x, y) = exp-(x2 + y2)/2 (2) 则有 h(x, y) = -(1/2)2g(x, y) (3) 由 F
36、2g(x, y) = - 4 2(u2+ v2)G(u,v)，得到H(u,v) = - 2 (u2+ v2)G(u,v) (4) 式中G 是g 傅里叶变换 G(u,v) = 2 exp - 2 (u2+ v2) (5) 代入(4)得到：H(u,v) = 4 2(u2+ v2) exp - 2 (u2+ v2) (6),2018/10/17,光学信息处理,61,图6.12给出a = 0.6 及 a = 0.3 的墨西哥帽小波函数及它们的傅里叶谱,2018/10/17,光学信息处理,62,函数 (x, y) 的小波变换7)：亦即 的小波变换是 和缩放后的高斯函数 g 的相关的二次导数,2018/1
37、0/17,光学信息处理,63,由于 (8) 伸缩因子a 正是高斯函数的特征尺度。g 和 相关的结果则是平滑效应， 中比 a 小得多的精细结构都被平滑掉。此外， 和 g 的相关运算的结果再二次求导，(x, y) 中振幅不变的区域(常数项)及线性变化的区域(一次项)都等于零，而在振幅变化的拐点两侧不为0。边界正是这样的拐点,2018/10/17,光学信息处理,64,(a) 边界函数(x)和高斯函数g(x) (b)Cr (a, x)= g(x/a) (x) (c)小波变换函数D (x),2018/10/17,光学信息处理,65,图(a)：边界函数(x)，高斯函数g(x/a)； 图(b)：给出它们的相
38、关相关运算对(x) 起到了平滑的作用，结果噪声都被平均掉；,2018/10/17,光学信息处理,66,可以在边界内外侧看到小波变换的一对正、负峰，它们明确指示了边界的位置边界内、外区域内小波变换函数都是零其最终效果恰恰是边界突出或轮廓突出，这正是我们所期望的在二维小波变换的情况下，伸缩因子a 是矢量而不是标量，a = (am, an)，一般情况下am an ，从而在两个方向上的平滑效果可分别加以控制,图(c) ：给出小波变换作为位移因子的函数(差一个常数因子)，即 2g(x, y) (x),待处理坦克模型图像和小波函数平面图像 及小波变换边缘增强后实验结果,2018/10/17,光学信息处理,
39、68,6.6.2 小波变换匹配滤波,图像识别课题，一般情况下仅仅勾画出图像或区域的轮廓或边界是不够的，还要求认定输入图像中是否包含要求识别的目标在常规光学信息处理中，我们用匹配滤波方法达到这一目的在小波变换信息处理中，匹配滤波方案同样适用设输入要求识别的目标图像 (x, y) 和另一图像 (x, y) ，首先对它进行二维小波变换，可采用上一节中介绍的各种方法，其结果，得到了边缘增强的小波变换谱函数 Wa,x,y 和 的小波变换Wa,x,y，然后再以 W 和 W 作为输入信号，进入第二个光学相关识别系统，例如4f 系统，或第五章中介绍的各种实现傅里叶变换的系统。,2018/10/17,光学信息处
40、理,69,在谱面上， W 和 W 的频谱函数分别由以下二式给出： (10)(11) 表明：在第二个相关识别系统中，当输入函数为 W 和 W 时，谱面上将出现 H* 和 H*。我们用 (x, y)所对应的小波变换匹配滤波器F(u, v) = *(u, v) H(au, av) (12) 进行滤波，上式中H(au, av) = 42a2(u2+v2)exp-22a2 (u2+v2) (13),经滤波后得到 |(u, v) H*(au, av) |2 (14) 及 *(u, v) (u, v) H(au, av) H*(au, av) (15) 再经过傅里叶逆变换，分别得到W 的自相关a -|*(u
41、, v) H(au, av)|2 expi2(ux+vy)dudv= Wa,x,y Wa,x,y (16) 及W 和W 的互相关a-*(u,v)H(au, av)(u,v)H*(au,av)expi2(ux+vy)dudv= Wa,x,y Wa,x,y (17) 其中W 的自相关给出亮斑(自相关峰)，成为目标图像的特征由于小波变换匹配滤波方法给出经过边缘增强处理的二维小波变换函数的自相关，所以有可能获得更好的识别效果,由于小波变换匹配滤波器是*H，所以H 正是频域中的窗函数当a增大时通带宽度减小，通带的中心频率向低频移动，可以有效地抑制高频噪声，但鉴别能力下降；反之，当a 减小时匹配滤波器将包
42、含更广的频段，中心频率向高频移动，将具有更高的鉴别能力，但容易受噪声的干扰，因为一般的白噪声是与带宽成正比的,a = l,a = 2,2018/10/17,光学信息处理,72,2018/10/17,光学信息处理,73,6.7 光学Haar小波变换和图形边缘探测,6.7.1 Haar变换1910年，Haar就首次提出了Haar变换函数： h(x)=rect2(x1/4)-rect2(x3/4) (1) 它较易用光学方法实现因此Haar小波变换是常用的小波变换之一h(x)的傅里叶变换为H(v) = i2e-i v 1-cos(v)/ v (2),2018/10/17,光学信息处理,74,6.7.2
43、 Hanr小波变换与边缘探测,Haar小波变换是信号函数(x)与Haar函数经伸缩后的母函数h(x/a)相关的结果对于一个给定的伸缩因子a，Haar小波变换的作用如下： (1) 在小波基元函数ha,b(x)的正、负半周内对信号进行不加权的积分，这事实上是一个平滑或平均的过程(2) 将正、负半周的积分值相减以上两个作用的综合结果是在平均的意义下求差分，或求导数，恰恰是测出了图形的边缘,图6.17(a)是对一个带有低频噪声的方波进行Haar小波变换的结果: 在方波的两个边缘呈现一对峰，极值恰恰指示了边缘的位置,峰,峰,实线为带有噪声的方波信号；虚线为Haar小波变换,图6.17(b)是对一个高频噪
44、声的方波进行Haar小波变换的结果: 在方波的两个边缘呈现一对峰，极值恰恰指示了边缘的位置,实线为带有噪声的方波信号；虚线为Haar小波变换,峰,峰,图6.17(c)方波同时具有低频和高频噪声干扰. 只要伸缩因子a 选择得当，小波变换仍然有很高的信噪比，峰很尖锐，正确的指示了边缘的所在，充分说明Haar小波变换的抗干扰能力,实线为带有噪声的方波信号；虚线为Haar小波变换,峰,峰,2018/10/17,光学信息处理,78,图6.18(a)是一个带有噪声的step函数 g(x)及其Haar小波变换噪声是由空间频率为 v1 = 27 及 v2 = 40 的正弦干扰信号及随机本底噪声构成尽管信噪比很
45、底，小波变换仍然正确地指示了step函数的边界,图6.18 step函数及其Haar小波变换,2018/10/17,光学信息处理,79,图618(b)是信号函数g(x)和小波函数h(x)在频域中的行为，实线表示G(v)，虚线表示H(v)G(v)的主峰主要由step函数的直流和低频成分贡献，而旁瓣则主要是step函数在边界的跃变部分贡献的,零频、低频主峰,旁瓣,H(v)频率窗恰恰开在旁瓣,干扰信号的主频v1，v2远在频率窗外,2018/10/17,光学信息处理,80,值得一提的是，两种干扰信号的主频v1，v2远在频率窗外，对变换没有贡献，而随机本底噪声的谱是宽带的，对结果的影响也不大说到底，在空
46、域中干扰信号和随机本底都是“全局”信号，小波变换的局部处理手续恰恰抑制了它们的作用，而突出了图形的局部变化边界的贡献,2018/10/17,光学信息处理,81,6.7.3 二维Haar小波变换和图形拐角测量,二维Haar变换的母函数定义如下：h(x,y) =rect(x - 0.5, y- 0.5) + rect(x + 0.5, y + 0.5)+ rect(x + 0.5, y- 0.5)+ rect(x- 0.5,y+ 0.5),二维Haar变换母函数,如图所示用h(x, y) 构作的二维Haar小波变换，在探测与x 轴或与y 轴平行的边缘时都为零，但测量任意一段既不和x 轴平行又不和y
47、 轴平行的边缘时不为零，因而该变换特别适用于探型图形边缘的“拐角”,-1,+1,+1,-1,x,y,2018/10/17,光学信息处理,82,图6.20(a) 给出一个字母“T”作为输入图形 图6/20(b) 是由二维Haar变换测量该输入图形的输出，可以看到拐角测量的效果,专门进行 x 方向或 y 方向边缘测量的二维Haar变换，见图6.21 用于测量拐角的Haar函数常称为“角母函数” 用于测量边缘的Haar函数则称为“边母函数” 根据图形的尺寸、边缘过渡区的宽度及噪声的频谱分布，可以采用不同的伸缩因子，以获得最佳的信息提取效果 图6.21二维图形边、角测量的Haar小波变换母函数示意图. (a)角母函数, (b) y边缘母函数, (c) x 边缘母函数.,
