1、一、离散傅里叶变换1.离散傅里叶变换的特点离散傅里叶变换（DFT），是连续傅里叶变换在时域和频域上都离散的形式，将时域信号的采样变换为在离散时间傅里叶变换（DTFT）频域的采样。在形式上，变换两端（时域和频域上）的序列是有限长的，而实际上这两组序列都应当被认为是离散周期信号的主值序列。即使对无限长的离散信号作 DFT，也应当将其看作经过周期延拓成为周期信号再作变换。在实际应用中通常采用快速傅里叶变换以高效计算 DFT。DFT 将空域变换到频域，很容易了解到图像的各空间频域的成分。DFT 的应用十分广泛，如：图像的特征提取、空间频率域滤波、图像恢复和纹理分析等。2.离散傅里叶变换的性质1）线性性
2、质2）比例性质3）可分离性4）平移性质5）图像中心化6）周期性7）共轭对称性8）旋转不变性9）卷积定理10）平均值2、离散余弦变换1.离散余弦变换简介为了快速有效地对图像进行处理和分析，常通过正交变换将图像变换到频域，利用频域的特有性质进行处理。传统的正交变换多是复变换，运算量大，不易实时处理。随着数字图像处理技术的发展，出现了以离散余弦变换（DCT）为代表的一大类正弦型实变换，均具有快速算法。目前 DCT 变换在数据压缩，图像分析，信号的稀疏表示等方面有着广泛的应用。由于其变换矩阵的基向量很近似于托普利兹（Toeplitz ）矩阵的特征向量，而托普利兹矩阵又体现了人类语言及图像信号的相关特性
3、，因此常被认为是对语音和图像信号的最佳变换。对给定长度为 N 的输入序列 f(x)，它的 DCT 变换定义为:102)1(cos)()(2)(NxNxfuCF式中： ，式中的 的满足：,1,0u其 它102)(uuC在数字图像处理中，通常使用二维 DCT 变换，正变换为: 10 2)1(cos2)1(cos),()(2),(Nxy NvyuxfvuvF 其逆变换 IDCT 为: 10 2)1(cos2)1(cos),()(2),(Nuv vyuxvuFCyxf 式中： ， 。, ,1,0N由于 DCT 的变换核是可分离的，为此，二维 DCT 变换可通过两次一维变换实现，这一方法称为行列分离法。
4、其过程如下图所示：( 0 , 0 )M - 1X ( m , n )逐行变换 逐列变换X ( m , l ) X ( k , l )( 0 , 0 ）M - 1N - 1( 0 , 0 )N - 1M - 1N - 1由图知，该方法是先沿行（列）进行一维 DCT 变换计算，再沿列（行）进行一次一维 DCT 变换，共需做 M 次 N 点的和 N 次 M 点的一维 DCT 变换。其好处是结构简单，容易实现。在 DCT 变换中，我们称 F（0，0）为 DC 系数，其余为 AC 系数。下图说明了 DCT 系数的分布规律。DCT 变换最主要的一个特点就是图像经过变换后，主要的能量多数集中在低频系数区域，
5、而图像的细节等信息则分布在中高频区域。因此，在压缩传感中，可以采用 DCT 变换将信号变为稀疏信号，将能量较多的低频系数传输到解码端进行重构。同时，最近的研究还发现，在 DCT 变换域中，图像纹理特征也呈现一定的分布规律。这使得 DCT 变换在图像压缩、特征提取、图像分析，稀疏表示中有着重要的应用。(a)频带分布 (b)z 形扫描方式图4.2 DCT 系数的特点(a)频带分布 (b)z 形扫描方式2.离散余弦变换的特点离散余弦变换的变换核为余弦变换，因其变换核为实数，所以，DCT 的计算速度比变换核为复数的 DFT 要快的多。DCT 除了具有一般的正交变换性质外，它的变换阵的基向量能很好的描述
6、人类语音信号，图像信号的相关特征。3、离散沃尔什-哈达玛变换1.离散沃尔什-哈达玛变换的特点WHT 是将一个函数变换成取值为 1或1的。即是将一个函数变换成取值为1或1的基本函数构成的级数，用它来逼近数字脉冲信号时要比 FFT 有利。同时，WHT 只需要进行实数运算，存储量比 FFT 要少得多，运算速度也快得多。因此，WHT 在图像传输、通信技术和数据压缩中被广泛使用。2.离散沃尔什-哈达玛变换的性质WHT 具有能量集中的特性，而且原始数据中数字越是均匀分布，经变换后的数据越集中于矩阵的边角上。因此，可用来压缩图像信息。四、K-L 变换0 1 5 62 4 7 123 8 11 139 10
7、14 15低频中频高频DC1.K-L 变换的特点K-L 变换也常称为主成分变换(PCA)或霍特林变换， 是一种基于图像统计特性的变换，它的协方差矩阵除对角线以外的元素都是零，消除了数据之间的相关性，从而在信息压缩方面起着重要作用。K-L 变换虽然具有 MSE 意义下的最佳性能，但需要先知道信源的协方差矩阵并求出特征值。求特征值与特征向量并不是一件容易的事，维数较高时甚至求不出来。即使能借助计算机求解，也很难满足实时处理的要求，而且从编码应用看还需要将这些信息传输给接收端。这些因素造成了 K-L 变换在工程实践中不能广泛使用。人们一方面继续寻求解特征值与特征向量的快速算法，另一方面则寻找一些虽不
8、是“最佳”、但也有较好的去相关与能量集中的性能且容易实现的一些变换方法。而 K-L 变换就常常作为对这些变换性能的评价标准。2.K-L 变换的性质1）去相关特性。K-L 变换是变换后的矢量信号的分量互不相关。 2）能量集中性。所谓能量集中性，是指对 N 维矢量信号进行 K-L 变换后，最大的方差集中在前 M 个低次分量之中。 3）最佳特性。K-L 变换是在均方误差测度下，失真最小的一种变换。4）无快速算法，且变换矩阵随不同的信号样值集合而不同。这是 K-L 变换的一个缺点，是 K-L 变换实际应用中的一个很大障碍。五、离散小波变换1.离散小波变换的特点小波变换是近几十年发展起来的，目前已成为国
9、际上极为活跃的研究领域，其主要优点之一就是提供局部分析和细化的能力。小波变换在时域和频域都有良好的局部化特性，而且，由于对高频采取逐步精细的时域或空域步长，从而可以聚焦到分析对象的任何细节，这就称为小波变换的“数学显微镜”特性。与传统的信号分析技术相比，小波变换还能在无明显损失的情况下，对信号进行压缩和去噪。图像信息处理采用二维离散小波变换（DWT）实现，在实际应用中采用水平与垂直方向上两次一维小波变换的形式实现，在具体实现过程中则用滤波器实现离散小波变换。如下图所示：S 表示原始的输入信号，通过两个互补的滤波器组，其中一个滤波器为低通滤波器，通过该滤波器可得到信号的近似值A，另一个为高通滤波
10、器，通过该滤波器可得到信号的细节值 D，再经过下采样即得到小波分解系数。Sc Ac D低通高通 下下离散小波变换（DWT）有如下优点：1）DWT 能根据图像特点自适应的选择小波基，从而提高压缩比。而 DCT不具有自适应性。2）可以充分利用 DWT 系数之间的空间相关性对系数建模，进一步提高压缩比。3）可以对 DWT 生成的子带灵活的进行处理。2.离散小波变换的性质1）可分离性、尺度可变性和平移性。2）多分辨率的一致性。3）正交性。六、双树复小波变换传统的二维离散小波变换，它不具有平移不变性，此外，它的方向选择性是十分有限的，在每一个尺度空间中只能被分解成三个方向的细节信息，即水平方向、垂直方向
11、和对角方向。然而，在某些特定的情况下，需要对图像的某些方向上的纹理或边界进行描述，此时传统的二维小波变换由于自身缺乏方向选择性就无法满足需求。为了克服二维离散小波方向选择性差的缺点，1998年英国剑桥大学的 Kingsbury 等人提出了双树复小波变换。它是在复小波变换的基础上发展起来的，不仅具有传统小波变换的优良的特性，还能够更好的描述图像的方向性信息。双树复小波变换（dual-tree complex wavelet transform，DDWT ）是通过实数小波变换来实现复数小波变换。它将复小波的实部和虚部分开，通过两组并行的实数滤波器组来获取小波变换系数的实部和虚部，这样通过实数的小波
12、变换实现了复小波变换。下X下下下下T r e e AT r e e B下下下下下下下)(0nh)(1 )(0nh)(0nh1 1)(1ng0 )(0ng)(0ng11L e v e l 2 L e v e l 3L e v e l 1双树复小波变换通过两组并行的实数滤波器组实现。上图所示为一维双树复小波变换的分解示意图。其中下代表下采样，树 A 和树 B 分别代表复小波的实部和虚部，它们分别采用不同的滤波器组。二维双树复小波变换与二维离散小波变换情况类似，都是通过小波张量积来实现拓展。在对图像进行二维双树复小波变换时，方法与二维离散小波变换相同，都是先对图像的行进行一维的双树复小波变换，然后再
13、对列进行变换。双树复小波变换具有良好的方向选择性，并且其振幅没有震荡特性，代价小。由于双树复小波变换显著的改善了离散小波变换的平移敏感性和方向选择性，所以双树复小波变换已经应用到许多方面，例如：信号降噪，图像分割，增强，分类，特征提取，纹理分析，运动估计，编码，水印和图像的稀疏表示等应用领域。七、Contourlet 变换Do 和 Vetterli 于2003年提出 Contourlet 变换（CT），经过几年的充实和完善，形成了较成熟的理论和方法，目前在该领域里的主要研究力量仍然是以 Do为主的研究小组。其在图像处理领域及其传统应用场合已经开始受到青睐，国内外的研究成果不断涌现，并呈现增长的
14、势头。CT 是一种新的多尺度几何分析方法，通过多尺度分解和多方向分解两部分实现，由拉普拉斯金字塔（Laplacian Pyramid，LP）对图像进行多尺度分解/ 捕捉零点奇异，由方向滤波器（Directional Filter Bank，DFB)将分布在同方向上的奇异点合成为 CT 系数。CT 也称塔形方向滤波器组（Pyramidal Direction Filter Bank，PDFB ），其基本思想是在多尺度的基础上实现方向信息的提取。CT 是小波变换的一种新扩展，具有多分辨率、局部定位、多方向性和各向异性等性质，其基函数分布于多尺度和多方向上，少量系数即可有效地捕捉图像中的边缘轮廓，而
15、边缘轮廓正是自然图像中的主要特征。此外，其冗余度也很低，使得该变换能应用于许多图像处理领域。CT 先使用一个类似小波的多尺度分解捕捉奇异点，再根据方向信息将位置相近的奇异点汇集成 CT 系数。拉普拉斯式分解把原始图像分解为低频子带和高频子带。CT 之所以适用于描述自然图像，是因为自然图像中物体的方向信息和纹理信息能够有效地被变换域的基函数简便表示并能够快速的逼近，还避免了扰频现象。LP 与 DFB 结合形成的双层滤波器组结构称为塔形方向滤波器组（PDFB ）。CT 的过程如下图所示。首先利用拉普拉斯塔式结构（ LP）对图像进行多尺度分解获得多分辨率特性，即实现奇异点的分离任务（LP 结构可将二维图像分成低通和高通两个子带），再用方向滤波器组(DFB)对各尺度的高通子带进行多方向分解，即完成奇异的收集，将方向基本相同的奇异点收集到一个基函数上进行更集中的描述。其中， 和 构成了拉普拉斯金字塔滤波器。iHiLxD F B下D F B下D F B)(0wH)(0L)(1wL)(1H)(2wH0d1 2d
