1、章 节 第三章 变量变化速度与局部改变量的估值问题-导数与微分 课 时 6教学目的1.使学生准确掌握导数与微分的概念.明确其物理、几何意义， 2.熟悉导数与微分的运算性质和微分法则，牢记基本初等函数的导数公式，并熟练地进行初等函数的导数、微分运算； 教 学重 点及突 出方 法1.教学重点是导数与微分的概念及其计算2.解决方法为在几何意义的基础上理解函数导数的定义，熟记公式教 学难 点及突 破方 法1.教学难点是求复合函数的导数2.突破方法是让学生首先记住什么是基本初等函数，然后将复合函数拆成基本初等函数相 关内 容素 材第一节 函数的局部变化率-导数教学过程文艺复兴的火炬驱散了欧洲中世纪的漫漫
2、黑暗，15 世纪之后的欧洲，资本主义逐渐，出现的大量实际问题，给数学提出了前所未有的亟待解决的新课题，其中三类问题导致了微分学的产生：（1）求变速运动的瞬时速度（2）求曲线上一点的切线（3）求极大值和极小值1.1 抽象导数概念的两个现实原型原型 I 求变速直线运动的速度设一质点 从点 开始做变速直线运动，经过 秒到达 点，求该质点MOTP在 时刻的瞬时速度.0,tT以 为原点，沿质点运动的方向建立数轴- 轴，用 表示质点的运s动的路程，显然路程 是时间 的函数，记作 ，现求st (),0ft0,tT时刻的瞬时速度 .0()vt如果质点做匀速直线运动，那么按照公式 ，便可以求出 ，但=路 程速
3、度 时 间 0v是现在要求质点做变速直线运动的速度，则在整个时间间隔 内不能应,T用上边的公式求 时刻的速度 ，下面我们分三步来解决这一问题.0t0v(1)给 一个增量 ，时间从 变到 ，质点 从点 运动到点0tt10tM0，路程有了增量1M1000sftftftft(2)当 很小时，速度来不及有较大的变化，可以把质点在 间隔内的运t t动看似匀速运动，这实质上是把变速运动近似的转化为匀速运动，下面求内的平均速度 00ftftsv(3)当 越来越小，平均速度就越来越接近于 时刻的瞬时速度 ，即t0t0v第一节 函数的局部变化率-导数教学过程0000limlilitttftfsv原型 II 求曲
4、线切线的斜率在初等数学中，我们知道曲线 上的两点 和 的连)(xfy0(,)Mxy,xy线为曲线的割线，当点 沿着曲线无限的趋近于 时，其极限位置就是M曲线在点 处的切线，如何求曲线在 处的切线的斜率呢？我们分三步0 0来解决：(1)求增量 给 一个增量 ，自变量由 变到 ，曲线上0xx0xx纵坐标的相应增量为 = .y0()(ff(2)求增量比 曲线 上的点从 变到 时，x,)Mxy00,xy当 很小时，此时曲线上的纵坐标来不及有很大的变化，这时候割线的斜x率近似的等于切线的斜率，此时割线 的斜率为0xffxy)(0(3)取极限 当 时，点 沿着曲线无限的接近00,My，割线 的斜率的极限就
5、是切线的斜率，即0(,)Mxy0,其中 ，是切线与 轴正向000()(tanlimlixxfxf 2x之间的夹角.1.2 导数概念定义 设函数 在点 的某邻域内有定义，当自变量 有一个增量xfy0 x时，相应函数值的增量为 = ，若极限xy0()(fxfx存在，则称函数 在点 可导，并称该极限为函数00limxffxf0f第一节 函数的局部变化率-导数教学过程在点 处的导数，记为0x， ， 0xdy， 等.f0x 0xf若上述极限不存在，则称 在点 不可导.f0导数是函数增量 与自变量增量 之比 的极限，这个增量比称为函数yxy关于自变量的平均变化率，而导数 = 是函数在点 处0f00limx
6、fx0x的变化速度，称为函数 在点 处的瞬时变化率.f0x导数的力学意义就是变速直线运动物体的瞬时速度导数的几何意义就是曲线的切线斜率例 1 求函数 在点 处的导数2()fxx解：给 一个增量 ，0()(2)limxfffx 20()4limx2044lix如果函数 在区间 内每一点都可导，则称 为区间 上的可导f(,)abf(,)ab函数。此时对每一个 ，都有 的一个导数 与之对应，记作,xfx， ， ， 等. 即 xfydfxffxf0lim这就是说：函数 在点 的导数 是曲线 在点 处的函数f00fxfy0值第一节 函数的局部变化率-导数教学过程例 2 求函数 在点 处的导数1yx解：
7、0()()limxffxf 01limx01lix2x1f例 3 求函数 的导数x解： 0()()limxffxf0limx0lixx12x综上面的例题，幂函数 的导数1例 4 求常数函数 的导数.Cy解 ： (1)求增量：因为 ，即不论 取什么值， 的值总等于 ，xyC所以 ；0y(2)算比值： ；xy0(3)取极限： .0limli0xx即常数函数的导数等于零.例 5 求函数 的导数.ysin解 （1）求增量： ，xxfxf sin)sin()( 由和差化积公式有： 2i2cosy第一节 函数的局部变化率- 导数教学过程（2）算比值： .2sin)cos(2sin)cos(2 xxxxy
8、（3）取极限： 2sin)cos(limlid00 xxxyxx即 ，用类似的方法，可求得(sin)c(cs)in我们同样可以利用导数定义去证明对数函数 ，exaalog1l特别地 x1l1.5 函数的可导性与连续性之间的关系定理 2 若函数 在 处可导，则函数 在 处连续.f xf1.6 高阶导数的概念函数 的变化率是用它的导数 来表示的，而导数 也是 的函数，xf ()f ()fx那么函数 的变化率也应该用它的导数 来表示，我们把它称为函() ()fx数 的二阶导数，记作 ，xf xf2dy二阶导数的力学意义就是运动物体的加速度设函数 存在 阶导数，并且 阶导数可导，那么f1n1n的导数称
9、为函数 的 阶导数记为 , ,11nnyxxf xfnynndx第一节 函数的局部变化率-导数教学过程例 设 ，yx1,0y设 ， ，sincosxsinx课堂练习：3.（1）10.(3)78P总结：1、学习导数的基本定义及导数的几何意义2、掌握函数导数的求法作业：3.（2）78P第二节 求导数的方法-法则和公式教学过程2.1 求导法则1.函数的和、差、积、商的求导法则(1)设函数 与 在点 处可导,则函数 也在）（ xu）（ xvuxv（ ） （ ）点 处可导,且有以下法则:xuxv（ ） （ ） （ ） （ ）例 1 已知 3sinl2yx解： 3sin(l2)x 23cosx(2) 设函
10、数 与 在点 处可导,则函数 也）（u）（v ）（）（ xvu在点 处可导,且有以下法则:x )()()( xvxux证明：令 ,）（）（ vuy(1)求函数 的增量:给 以增量 ,相应地函数 , 各有增量）（u）（ xv与 ,从而 有增量v, vxuxu xvuxy ）（）（ ）（）（）（）（）（）（ ）（）（）（）（(2)算比值: ,xy）（）（(3)取极限:由于 与 均在 x处可导,所以）（ xu）（v.）（） ，（ xx 00limlim又,函数 在 处可导,就必在 处连续,因此 ,）（v )(lim0xvxv从而根据和与乘积的极限运算法则有 .lililili 0000 ）（）（）（
11、）（ ）（）（ xvuxvu xxy第二节 求导数的方法-法则和公式教学过程这就是说， 也在 x处可导且有）（）（ vxuy.）（）（）（）（）（）（ xvu特别的，当 ,()Cv例 2 已知 2lncosyxx解： 2lncosx 21ln(cos-i)xxl inx(3) 设函数 与 在点 处可导,则函数）（ xu）（ xv也在点 处可导,且有以下法则:）（）（ ）（ 0vxu）（ ）（）（）（）（）（ ）（ x2 )0(xv特别的，当 21,uv例 3 已知 ，求xytany解： 2sisincosinccoxx（ ） （ ）（ ） （ ）2222cosi1e,sxx即 同理可得2eta
12、n）（ xx2csot）（例 4 已知 ,求 xyscy第二节 求导数的方法-法则和公式教学过程解： =21cossecsxyx（ ）（ ） 2insectax同理可得 t）（2.复合函数的求导法则 设函数 是由函数 和 复合而成的函数，并且设函)(xfy)(ufy)(x数 在点 x处可导， 在对应的点 处可导，则有复合u )(u函数的求导法则： xud也可表示为 ()f复合函数的导数等于函数对于中间变量的导数乘以中间变量对于自变量的导数.例 5 求 的导数xysin解： 函数 可以看作由函数 与 复合而成uysinx因此 xuxuy2co1cs)(sin例 6 ，求loy解：函数是由 复合而
13、成，则ln,cos,yuvxlncosyuvx1in21is2x例 7 ，求lnyy第二节 求导数的方法-法则和公式教学过程解： ln,0l()xy当 时， ；0x1x当 时，函数是由 复合而成ln,yuxln(1)yu3.用复合函数求导法则求隐函数的导数如果方程 确定了 是 的函数，那么这样的函数叫做隐函数.(,)0Fxyyx例 8 方程 确定了 是 的函数，求 .2lny解：方程左右对 求导，x20y21y例 9 求圆 上一点 处的切线方程.24x0(2,)M解：将方程左右关于 求导， xy，则 ，从而切线方程为xy1k2x2.2 基本初等函数的求导公式1.任意指数的幂函数 的导数()yx
14、R解：左右取以 为底的对数， ，再对 求导，elnlx1yx1yx第二节 求导数的方法-法则和公式教学过程2.指数函数 的导数xya(01)且解：左右取以 为底的对数， ，再对 求导，elnlyxaxlnyalnxya特别的当 时，exe3.反三角函数的导数2 211arcsin;arcosxx 22t;tx解：设 ，则存在反函数 ，等式两arcsin,(1,)(,)yysinxy边对求导， ，x1os 221cosinyyx例 10 求下列函数在指定点处的导数（1） ，求()lnsiftt4f解： ，co()tasift tan1f（2） ，求1rnrct2ftf,2221() 14tft
15、tt 123f第二节 求导数的方法-法则和公式教学过程例 11 质量为 的放射性物质，经过时间 后，所剩的质量 与时间 的关0mtmt系为 （ 为正数，是该物质的衰减系数） ，求该物质的衰减率.kte解： 0tdkt例 12 求下列函数的 阶导数n（1） （2） （3）nyxxesinyx解：（1） ， ，12(1)ny 3(1)2n显然 !nnyx（2） ，e ,nxxxyeye （3） ，所以4cos,incos,iyin()2x课堂练习：4.（1、2、5、6、9、10、3）5.(1、3、5、7、9)8.（1、3）78P小结：1、掌握函数的求导法则，会计算初等函数的导数2、掌握复合函数导数
16、的求法及高阶导数作业：4（7、16） 5.（2、4、6、8、10） 8.（2、4）8P第三节 局部该变量的估值问题-微分及其运算教学过程3.1 微分1.微分的概念定义 设函数 在点 处有增量 ，相应地函数值有改变量)(xfyx可以表示为 ，其中 与 无关， 为 的线性yAAxAy主部， 为比 高阶的无穷小量，则称函数 在点 处可)(xo)0(x )(f微，并称其线性主部 为函数 在点 处的微分，记为 或)(xfyyd，即 且有 ，这样 )(dxfxAy)(xf d一般来说一元函数 在点 处可导与可微等价)(f2.微分的几何意义 xyo)(xfy0xM Tx0 P Nxyd)(o第二节 求导数的
17、方法-法则和公式教学过程见上图，当 是曲线的纵坐标增量时, 就是切线纵坐标对应的增量.ydy当 很小时,在点 的附近,切线段 可近似代替曲线段 .xMMPMN3.2 微分公式和法则1.导数公式和微分公式（1） （ C） =00dC（2） 1()x1()xx（3） loglna loglnadx dx（4） ()l()lxexe（5） (sin)cos (sin)coddx（6） ixsi（7） 2(ta)sec 2(ta)ecx（8） oxosddx（9） (sec)tanx(sec)tanx（10） scxscox（11） 21(arcin)x 21(arcin)dxd（12） 2(ros)12(ros)1x第二节 求导数的方法-法则和公式教学过程（13） 21(arctn)x21(arctn)dxdx（14） oo2.导数法则和微分法则（1） uv()duvd（2） Cv ()Cv（3） 2uv 2udv（4） xuxy xuxy课堂练习：11.（1、3、5、7、9）小结：掌握函数的微分运算法则，会计算复合函数的微分作业：11.（2、4、6、8、10）教学后记
