1、高等数学第 - 1 - 页 共 9 页第三章 微分中值定理及导数的应用一、了解两个中值定理及其推论1.罗尔（中值）定理满足：在 上连续；)(xf,ba在 内可导；)( ；ff则在 内至少存在一个点 ，使 。),(ba0)(f【例题】用 在 上解xfsinl)(65,释罗尔定理的正确性。证明： 在 上有定义)(xf,6在 上连续5又 在 内有定义xfcot)(),(在 内可导6,21lnsil)(f5，)6()ff 0cot(xf， 。,2x2 ，证明方程)3()1()xf有且仅有三个实根。0证明： 是一个三次多项式xf方程 最多有三个实根)(在 上连续,在 内可导f有 4 个零点)(x在 上至
2、少存在一个3,21,0、最少三个实根)()(3,23xff使使使综上所述 有且仅有三个实根。0)(xf2.拉格朗日中值定理满足：在 上连续；)(xf,ba在 内可导；)(则在 内至少存在一个点 ，使 。),(babff)()(【例题】 ，用 在 上验132xf x2,1证拉格朗日中值定理的正确性。证明： 在 上连续，在 内可导)(xf,),(03)1(2f， ，xf6312x， 。)2,1(0)(10( ff拉格朗日中值公式： )abfafb推论： 在区间 上可导，且 ，则 )(xfI0)(x在 上是一个常数。例：证明 。2cotartnx证明：令 arxf)(，0)1 22xCxf)(又 ，
3、 原式成立。cotartn)0(f推论： 与 在区间 上可导，且x)(gI，则在 上 。fCxgf)(证明：设 )()(xgfx0 高等数学第 - 2 - 页 共 9 页即Cx)(Cxgf)(f二、熟练掌握用洛必达法则求极限方法1.洛必达法则与 满足下列条件：)(xfF 与 均可导，且 ；)(0)(xF (同一变化过程中 )是 型或 型;)limxFf 存在或虽不存在但能确定不为 ;)(lif则 。)(li)(lixFff说明： 不存在的情况：limf： ，例如 ；xtan2：在两个数之间来回摆动，例如 。xx1coslim02.注意：使用洛必达法则前提条件是 型或 型;0若 不存在也不是 ，
4、则不能使用；)(limxFf使用时与其他方法混合。【例题】 13li2xe解： ， 原式=021limli2xxxe 340sinlmx解：原式 )1(ili30x61sinlm3cosilli02300xxx 2iex解：原式 xxli012lim0xe 01snlix解：原式 20 )1sin)(lixex 1sinlm2coslii)1(002exexx已知 时 与2)n(ba是等价无穷小，求 。,解：由已知 01li20xxxbabaxx 21lim)ln(i 0201原式 2)(li2li00 xxxb 20)1ln(sitalixx高等数学第 - 3 - 页 共 9 页21)(co
5、slim21sinl)n(li )l(itamta11)in(stlim000 20xxxxxxxxx3.可能为 型或 型的极限 型0【例题】： xlnim20x解：原式 021lili0x20x： tan)1(lix解：原式 2cs1lim2cotx1 型【例题】： 3131li)(li xxx 2lim1x： .xxx cosinl)se(tanli220sicol2x 型0【例题】： x0lim解：令 ，t则 xtln01limili 2000 xxxlililn00 ettxxx： xxsin0)co1(lim解：令 ，xtsi则 xc)os1l()ln(sil 01costanlim
6、)1cosi(tanli )2(itsi02000 xxtxxx原式e 型【例题】： ：x)1(li0x解：令 ，则t)1ln(xt01lim1)(li)1l(ilni 0x20x0x0x t原式e： xxxe14320)(li解：令 xxt1432高等数学第 - 4 - 页 共 9 页则 )4ln(132xxeet251032lim4lni400xxxee原式ln0i li ttxx高等数学第 - 5 - 页 共 9 页三、用导数研究函数的单调区间、极值、最值（一）单调区间：用 的符号)(xf单 减单 增)(0ff（二）极值可能的极值点是 的点（驻点）或0xf不存在的点。)(xf【判断方法】
7、：设 是 的一个可能极值点0f方法 1：看 两边 的符号：0x)(f。左 右 不 变 ： 不 是 极 值 点： 则 为 极 小 值 点 ；右左 ： 则 为 极 大 值 点 ；右左 “方法 2： 是 的一个驻点，0x)(f。)(f如果 ，则：“0是 极 大 值 点 。： 则 是 极 小 值 点 ；： 则 00)(xf（三）求 的单调区间与极值的方法步骤求 的定义域；)(xf求 的所有可能极值点；找到的以上各点就把 分为若干区间；)(xf看各区间上 的符号。f【例题】求 的单调区间与极值。21)(x解：定义域 ,22)()()xf时，01x，（四）函数的最值在 上连续，则 在)(xfy,ba)(x
8、fy上最值的求法：,1. 先求出 在 内所有可能的)(xfy,极值点；2. 计算以上各点的函数以及闭区间两端的函数值 ；)(,bfa3. 比较以上个函数值，得出最值。注意：若 在区间 内只有一个极)(xfyI值点，则这个点是最值点。【例题】做一个容积为 300 的无盖圆柱形蓄水3m池，已知地底面积造价是周围单位面积的两倍，如何设计才能是总造价最低？解： 302hx设周围单位面积造价为 元a总造价 hxy26)(204xa当 时 ；y325，3104“xa0)(“y时 有最小值23325h高等数学第 - 6 - 页 共 9 页当底面积半径为 ，高为 时，造325321价最低。高等数学第 - 7
9、- 页 共 9 页四、用导数证明不等式（一） 时，证明ax)()(aff或要证明 ，可)(fx或先证明 在区间 上单增（单减） ，)(xf),即可证明 在区间 上)(f),a0(xf。0x或【例题 1】证明 时 。)1ln(x证明：令 l)(xf当 时，00f在 上单增)(xf),即 。0)1ln(x证明 时 。22)1(lx证明：令 )()xf21ln2)( 2xf21ln)(“xxf当 时 , 在 上单增1x0)(“f)(f,， 在 上单增)(f x)1x22)1(ln)(xx（二）证明： ，令gf，只有 有最小值 0。)()(xx)(x【例题 2】证明： 。e1证明：令 )()(xx定义
10、域为 ,，当 时1)(xe0)(x在 内有最小值)(x),0)(0即 1xe证明可得。证明 。221)ln(x证明：令 l1)x定义域为(x),()1ln(1) 222xx当 时0)0 1(“2x有最小值)(0(高等数学第 - 8 - 页 共 9 页原式成立五、用导数研究曲线的凹凸性与拐点。1.曲线 的凹凸性的判定)(xfy凸 弧凹 弧0)(“f 0“)2,(sinsinyxx2.曲线 的拐点凸弧与凹弧的fy分界点。可能拐点： 的点或 不存在的点。)(“xf)(“xf表示拐点时 横纵坐标都要写出来。,0f3.求曲线 的凹凸区间与拐点的方)(xfy法步骤：（1）求出 的定义域；f（2）求出 所有
11、可能拐点的横坐标；)(xy（3）以上各点把定义域分配若干区间。【例题】求曲线 的凹凸区间与拐点。xyln解：定义域为 ，),0(2l1342 )(nl1“xxy当 时， ，023e时，23ex2323lney拐点为 。),(23【综合题】 在 处具有二阶导数， ，)(xf0 0)(xf， 是 的极值点吗？1lim0x 0解：方法 1： )(li00xfx时0)(0f当 （ ）时， ；0xx0)(f当 （ ）时， ；0x是 的极大值点。0x)(f方法 2： 1lim00xx0)(li)(“000 fffx是 的极大值点。0f曲线 的方程为 ，Cdcxbay23已知 是曲线 的拐点，曲线 在)1,(C处有水平切线，求 的值。42c,解： 是曲线 的拐点)0,(dcba1026)(“26“,3 ybaxyx高等数学第 - 9 - 页 共 9 页曲线 在 处有水平切线C)4,2(dcba801)( y通过以上 4 式解出 即可。,
