1、上一页 下一页 返回首页湘潭大学数学与计算科学学院 1二、几个初等函数的麦克劳林公式三、 泰勒公式的应用四、小结2.3 泰勒公式一、 泰勒公式的建立上一页 下一页 返回首页湘潭大学数学与计算科学学院 2一、泰勒公式的建立多项式的两个突出的优点：结构简单、易于计算；分析性质极佳。常数特点：分析上一页 下一页 返回首页湘潭大学数学与计算科学学院 32. 若 f(x)在 x0 可微 , 则微分应用中已知近似公式 :x 的一次多项式特点 :以直代曲且上一页 下一页 返回首页湘潭大学数学与计算科学学院 4问题 : 如何提高精度 , 并能给出误差的定量估计 . 假设 f (x) 在 x0 处 n +1 阶
2、可导，寻找 n 次多项式函数 能否有 Rn(x) 的定量估计式？不足 : 1、 精确度不高 ； 2、 误差不能定量估计 .使得上一页 下一页 返回首页湘潭大学数学与计算科学学院 5问题解决的具体步骤：1. 求 n 次近似多项式函数 Pn(x)：假定函数 f (x) 在含有 x0 的某个开区间 (a, b)内具有到 n+1阶的导数 ， 在 x=x0 处，函数 Pn(x)与 f (x) 的函数值及直到 n阶导数值都对应相等 ，即 上一页 下一页 返回首页湘潭大学数学与计算科学学院 6设 则由此得上一页 下一页 返回首页湘潭大学数学与计算科学学院 7于是2. 余项 Rn(x)的估计：令 (称为余项
3、), 则有上一页 下一页 返回首页湘潭大学数学与计算科学学院 8之间 )类似地， 上一页 下一页 返回首页湘潭大学数学与计算科学学院 9之间 )如此继续， 上一页 下一页 返回首页湘潭大学数学与计算科学学院 10由此，可得如下的 泰勒中值定理 ： 直到 n+1 阶的导数，其中 ,(2.3.1)(2.3.2)上一页 下一页 返回首页湘潭大学数学与计算科学学院 11我们称为 在点 处的 次 泰勒 (Taylor)多项式 为函数 f (x) 在点 x0 处 (或按 x-x0 的幂展开 )的n 阶泰勒公式 或 n阶泰勒展开式 上一页 下一页 返回首页湘潭大学数学与计算科学学院 12称为 拉格朗日型余项
4、 当 n=0时，泰勒公式变成 : 即拉格朗日中值公式可见泰勒公式是拉格朗日 公式的推广 .上一页 下一页 返回首页湘潭大学数学与计算科学学院 13当函数在区间 (a, b)内有界，即 时，有(2.3.3)(2.3.3)称为 佩亚诺（ Peano）型余项 上一页 下一页 返回首页湘潭大学数学与计算科学学院 14称为 麦克劳林（ Maclaurin）公式 ， 其佩亚诺型余项为 上一页 下一页 返回首页湘潭大学数学与计算科学学院 15误差估计式为二、几个初等函数的麦克劳林公式解 由 则上一页 下一页 返回首页湘潭大学数学与计算科学学院 16注意到 故特别地取 x=1, 可得 e 的近似值且误差上一页
5、 下一页 返回首页湘潭大学数学与计算科学学院 17解 由 可得又 则上一页 下一页 返回首页湘潭大学数学与计算科学学院 18其中类似地，还可得到其中 上一页 下一页 返回首页湘潭大学数学与计算科学学院 19其中 上一页 下一页 返回首页湘潭大学数学与计算科学学院 20其中上一页 下一页 返回首页湘潭大学数学与计算科学学院 21常用函数的麦克劳林公式 (带 佩亚诺型余项 )上一页 下一页 返回首页湘潭大学数学与计算科学学院 22sinx的 麦克劳林 多项式对 sinx的近似情况：n=1时 ：上一页 下一页 返回首页湘潭大学数学与计算科学学院 23sinx的麦克劳林多项式对 sinx的近似情况：n
6、=3时 ：上一页 下一页 返回首页湘潭大学数学与计算科学学院 24n=5时 ：sinx的 麦克劳林 多项式对 sinx的近似情况：上一页 下一页 返回首页湘潭大学数学与计算科学学院 25sinx的 麦克劳林 多项式对 sinx的近似情况 ：n=11时 ：上一页 下一页 返回首页湘潭大学数学与计算科学学院 26三 、 泰勒公式的应用利用前面这些公式，我们可直接得出相应函数在 x0处的泰勒公式 例 3 将函数 n阶泰勒公式 解 上一页 下一页 返回首页湘潭大学数学与计算科学学院 27因为其中 所以上一页 下一页 返回首页湘潭大学数学与计算科学学院 28其中 上一页 下一页 返回首页湘潭大学数学与计算科学学院 29解 因为 利用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式，有时可比较方便的计算未定式的值 上一页 下一页 返回首页湘潭大学数学与计算科学学院 30所以
