1、几个初等函数的Maclaulin公式,小结 思考题,泰勒(Taylor)（英）1685-1731,其它应用,3.3 泰勒(Taylor)公式,Taylor公式的建立,简单的,多项式函数,特点,(1)易计算函数值;,(2)导数与积分仍为多项式;,(3)多项式由它的系数完全确定,又由它在一点的函数值及导数值确定.,而其系数,用怎样的多项式去逼近给定的函数?,误差又如何呢?,一、泰勒公式的建立,熟悉的函数来近似代替复杂函数., 应用,用多项式近似表示函数,理论分析,近似计算,一次多项式,（如下图）,如,以直代曲,需要解决的问题,如何提高精度 ?,如何估计误差 ?,问题,(1) 系数怎么定?,(2)
2、误差(如何估计)表达式是什么?,不足,1. 精确度不高；,2. 误差不能定量的估计.,希望,一次多项式,用适当的高次多项式,猜想,2.若有相同的切线,3.若弯曲方向相同,近似程度越来越好,1.若在 点相交,1.n次多项式系数的确定,得,假设,同理,代入,中得,称为f(x)的,泰勒多项式来逼近,并估计它的误差.,下面将证明确实可以用,函数,泰勒多项式.,泰勒(Taylor)中值定理,其中,余项,2.泰勒(Taylor)中值定理,多项式,(书上第141页定理3.7),泰勒公式就是拉格朗日中值公式.,分析,即证,也即证,其中,证,令,由要求,柯西定理,柯西定理,用1次,用2次,如此下去,得,可得,即
3、,用n+1次柯西定理,拉格朗日型余项,Peano型余项,当对余项要求不高时,带有Peano型余项,可用Peano型余项,书上P209定理3.8,对某个固定的n,1.,泰勒公式就是拉格朗日中值公式.,2. 在泰勒公式中,这时的泰勒公式,即,按x的幂(在零点)展开的泰勒公式称为:,n阶泰勒公式,麦克劳林(Maclaurin,C.(英)1698-1746)公式,麦克劳林(Maclaurin)公式,近似公式,误差估计式为,带有Lagrange型余项,带有Peano型余项,解,代入上公式,得,于是有,的近似表达公式,二、几个初等函数的Maclaulin公式,例,麦克劳林公式.,有误差估计式,得到,其误差
4、,其误差,解,例,因为,所以,误差为,泰勒多项式逼近,类似地,有,解,练习,一阶和三阶泰勒公式及相应的拉格朗日型余项.,的一阶泰勒公式是,其中,三阶泰勒公式是,常用函数的麦克劳林公式,带有Peano型余项,例,解,用间接展开的方法较简便.,两端同乘x,得,解,三、其它应用,常用函数的泰勒展开求,例,型未定式,例,是x的几阶无穷小?,解,因,故由于,有,显然,它是x的4阶无穷小.,例. 求,解:,由于,用洛必塔法则不方便 !,例. 证明,证:,像这类估值问题常用泰勒公式.,证,例,分析,利用泰勒公式可以证明某些命题及不等式.,带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式,得,(1),(2),即,故,四、小结,
5、多项式局部逼近.,泰勒(Taylor)公式在近似计算中的应用.,泰勒(Taylor)公式的数学思想,熟记常用函数的麦克劳林公式;,思考题1,2002年考研数学一, 6分,设函数,的某邻域内具有一阶连续,导数,是比h高阶的无穷小,试确定a, b的值.,解,所以,因此当,有,此题亦可不用Taylor公式。,的某邻域内具有一阶连续,导数,思考题2,利用泰勒公式求极限,思考题解答,注：本题亦可用洛必达法则 次来求极限,须解决问题的类型:,(1) 已知x 和误差界,要求确定项数n;,(2) 已知项数n和x,计算近似值并估计误差;,(3) 已知项数 n 和误差界,确定公式中 x 的,五、近似计算与误差估计,适用范围.,例,解,五、近似计算与误差估计,满足要求.,计算 的近似值,使其精确到0.005 ,试确定 的适用范围.,近似公式的误差,例,用近似公式,解,已知项数 n 和误差界,确定公式中 x 的适用范围.,令,解得,即,由给定的近似公式计算的结果能准确到0.005.,
