1、,3.1.5空间向量运算的坐标表示,1空间向量的基本定理：,2平面向量的坐标表示及运算律：,复习回顾,若是 空间的一个基底， 是空间任意一向量，存在唯一的实数组使,1空间直角坐标系：,（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为 1， 这个基底叫单位正交基底,(2)在空间选定一点 和一个单位正交基底 ，以点 为原点，分别以 的方向为正方向建立三条数轴： 轴、 轴、 轴 ，它们都叫坐标轴我们称建立了一个空间直角坐标系 ,点 叫原点，向量 都叫坐标向量通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面， 分别称为 平面， 平面，平面；,一、空间向量的直角坐标运算,（4）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 轴的
2、正方向，食指指向 轴的正方向，如果中指指向 轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系。本书建立的坐标系都是右手直角坐标系.,（3）作空间直角坐标系 时，一般使,2空间直角坐标系中的坐标：,如图给定空间直角坐标系和向量 ，设 为坐标向量,则存在唯一的有序实数组 ，使 ，有序实数组 叫作向量 在空间直角坐标系 中的坐标，记作 在空间直角坐标系 中，对空间任一点 ，存在唯一的有序实数组 ，使 ，有序实数组 叫作向量 在空间直角坐标系 中的坐标，记作 ， 叫横坐标， 叫纵坐标， 叫竖坐标,二、向量的直角坐标运算,1.距离公式,（1）向量的长度（模）公式,注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度
3、。,三、距离与夹角,在空间直角坐标系中，已知 、，则,（2）空间两点间的距离公式,2.两个向量夹角公式,注意：（1）当 时， 同向；（2）当 时， 反向；（3）当 时， 。,思考：当 及 时，夹角在什么范围内？,例1已知,解:,三、应用举例,三、应用举例,例2 已知 、 ，求：（1）线段 的中点坐标和长度；,解：设 是 的中点，则,点 的坐标是 .,（2）到 两点距离相等的点 的 坐标 满足的条件。,解：点 到 的距离相等，则,化简整理，得,即到 两点距离相等的点的坐标 满 足的条件是,解：设正方体的棱长为1，如图建 立空间直角坐标系 ，则,例3 如图, 在正方体 中， ，求 与 所成的角的余
4、弦值.,例4 在正方体,练习 3 已知 垂直于正方形 所在的平面, 分别是 的中点,并且 ,求证:,证明:,分别以 为坐标向量建立空间直角坐标系 则,练习4：如图，已知线段AB，AC，BDAB，DE ，DBE=30，如果AB=6，AC=BD=8，求CD的长及异面直线CD与AB所成角的大小。,练习：平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB=4，AD=3，AA1=5，BAD=BAA1=DAA1=60，E、 H、F分别是D1C1 、AB、CC1的中点。（1）求AC1的长；（2）求BE的长；（3）求HF的长；（4）求BE与HF所成角的大小。,10,证明:,设正方体的棱长为1,建立如图的空间直角坐标系,
