1、3.1.43.1.5 空间向量的坐标表示,从空间某一个定点引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系xyz,点叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xoy平面、 yoz平面、和 Zox平面,空间直角坐标系的画法:,o,1.X轴与y轴、x轴与z轴均成1350, 而z轴垂直于y轴,2.y轴和z轴的单位长度相同，x轴上的单位长度为y轴（或z轴）的单位长度的一半,有了空间直角坐标系，那空间中的 任意一点怎样来表示它的坐标呢？,(a,b,c),经过A点作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴，它们与x轴、y轴和z轴分别交于三点，三点在相
2、应的坐标轴上的坐标a,b,c组成的有序实数对（a,b,c)叫做点的坐标,记为：（a,b,c),在空间直角坐标系中,x轴上的点、xoy坐标平面内的点的坐标各有什么特点？,x轴上的点横 坐标就是与x轴交 点的坐标，纵坐标 和竖坐标都是,xoy坐标平面 内的点的竖坐标为 ，横坐标与纵坐 标分别是点向两轴 作垂线交点的坐标,练习如图，已知长方体ABCD-ABCD的边长为 AB=12,AD=8,AA=5.以这个长方体的顶点为坐标 原点，射线AB,AD,AA分别为x轴、y轴和z轴的正半 轴,建立空间直角坐标系,求长方体各个顶点的坐标,单位正交基底：,如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且大小都为1，那
3、么这个基底叫做单位正交基底，常用 来表示.,因此我们可以类似平面直角坐标系,建立空间直角坐标系,在空间选定一点O和一个单位正交基底 以点O为原点，分别以 的正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O xyz . x 轴、y 轴、z 轴，都叫做叫做坐标轴,点O 叫做原点，向量 都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面.,对空间任一向量 ,由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组 ,使,空间直角坐标系,以 建立空间直角坐标系Oxyz,若A(x1,y1,z1) , B(x2,y2,z2), 则,规定：,（0，0，0）,注：此公式的几何意义是表示长方体的对角
4、线的长度。,注意：（1）当 时， 同向；（2）当 时， 反向；（3）当 时， 。,思考：当 及 时， 的夹角在什么范围内？,6.空间两非零向量垂直的条件,练习:已知求,解:,练习：,2.求下列两个向量的夹角的余弦：,1.求下列两点间的距离：,例题：,例1 已知 、 ，求：（1）线段 的中点坐标和长度；,解：设 是 的中点，则,点 的坐标是 .,（2）到 两点距离相等的点 的 坐标 满足的条件。,解：点 到 的距离相等，则,化简整理，得,即到 两点距离相等的点的坐标 满 足的条件是,解：设正方体的棱长为1，如图建 立空间直角坐标系 ，则,例3 如图, 在正方体 中， ，求 与 所成的角的余弦值.,证明：设正方体棱长为1， 为单位正交 基底，建立如图所示坐标系D-xyz，则可得：,所以,x,y,z,x,y,z,练习：,x,y,z,建立空间直角坐标系来解题。,1.基本知识：,（1）向量的长度公式与两点间的距离公式；,（2）两个向量的夹角公式。,2.思想方法：用向量计算或证明几何问题 时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐 标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或 证明。,
