1、1北京市 2016 届高三数学理一轮复习专题突破训练圆锥曲线一、选择、填空题1、（2015 年北京高考）已知双曲线 的一条渐近线为 ，则012ayx 03yxa2、（2014 年北京高考）设双曲线 经过点 ，且与 具有相同渐近线，则 的方程C2,214yxC为_； 渐近线方程为_.3、（2013 年北京高考）若双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为( )21xyab3A y2 x B C D122yx4、（朝阳区2015届高三一模）已知点A(1， y0 )( y 0 0) 为抛物线 y2 = 2px( p 0)上一点若点 A到该抛物线焦点的距离为 3，则 y 0 =A B 2 C2 D 45、
2、（东城区 2015 届高三二模）若双曲线 截抛物线 的准线所得线21(0,)xab24yx段长为 ，则 ba6、（房山区 2015 届高三一模）双曲线 的实轴长是虚轴长的 2 倍，则 =（ ）2xmymA4 B2 C D1147、（丰台区 2015 届高三一模）已知双曲线 的一条渐近线方程是2(0,)xyab，它的一个焦点坐标为（ 2,0），则双曲线的方程为3yx(A) (B) (C)(D) 216216xy213yx213xy8、（海淀区 2015 届高三二模）若双曲线 上存在四个点 ，使得四边形 是正方M,ABCDABCD形，则双曲线 的离心率的取值范围是 M9、（石景山区 2015 届高
3、三一模）如果双曲线的离心率 ，则称此双曲线为黄金双曲215e2线有以下几个命题：双曲线 是黄金双曲线； 双曲线 是黄金双曲线；1522yx 152xy在双曲线 中， F1为左焦点， A2为右顶点， B1（0， b），若 F1 B1 A2 ,则该2ab 90双曲线是黄金双曲线；在双曲线 中，过焦点 F2作实轴的垂线交双曲线于 M、 N 两点， O 为坐标原点，若2xy MON ，则该双曲线是黄金双曲线10其中正确命题的序号为（ ）A和 B和 C和 D和10、（西城区2015届高三一模）已知双曲线 的一个焦点是抛物线 y2 = 210xyabb ，8x的焦点，且双曲线 C 的离心率为2，那么双曲线
4、 C 的方程为 .11、（东城区示范校 2015 届高三上学期综合能力测试）双曲线 的焦3013622myx距为A. 6 B. 12 C. 36 D. 212、（昌平区 2015 届高三上学期期末）已知双曲线 的离心率是 2，则21(0)yxm以该双曲线的右焦点为圆心且与其渐近线相切的圆的方程是 _,m13、（朝阳区 2015 届高三上学期期末）双曲线 （ ）的离心率是 2:Cy；渐近线方程是 14、（东城区 2015 届高三上学期期末）若抛物线 的焦点到其准线的距离为 ，则2(0)px1该抛物线的方程为 15、（海淀区 2015 届高三上学期期末）若双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ，21yx
5、m60则 m3二、解答题1、（2015 年北京高考）已知椭圆 ： 的离心率为 ，点 和点C012bayx21,0P都在椭圆 上，直线 交 轴于点 0,mnAPAM（）求椭圆 的方程，并求点 的坐标（用 表示）；Cmn（）设 为原点，点 与点 关于 轴对称，直线 交 轴于点 问： 轴上是否存在点 ，OBxPBxNyQ使得 ？若存在，求点 的坐标；若不存在，说明理由NQMQ2、（2014 年北京高考）已知椭圆 ，2:4Cxy（1）求椭圆 的离心率.C（2）设 为原点，若点 在椭圆 上，点 在直线 上，且 ，求直线 与圆OAB2OABA的位置关系，并证明你的结论.xy3、（2013 年北京高考）已知
6、 A， B， C 是椭圆 W： y21 上的三个点， O 是坐标原点4x(1)当点 B 是 W 的右顶点，且四边形 OABC 为菱形时，求此菱形的面积；(2)当点 B 不是 W 的顶点时，判断四边形 OABC 是否可能为菱形，并说明理由4、（朝阳区2015届高三一模）已知椭圆C： 的一个焦点为 F(2，0)，离心率21xyab为 。过焦点 F 的直线 l 与椭圆 C交于 A， B两点，线段 AB中点为 D， O为坐标原点，过 O， D的直63线交椭圆于 M， N 两点。（1）求椭圆 C 的方程；（2）求四边形 AMBN 面积的最大值。5、（东城区 2015 届高三二模）已知椭圆 的中心在原点
7、，焦点在 轴上，离心率为 ，且椭COx32圆 上的点到两个焦点的距离之和为 C4（）求椭圆 的方程； （）设 为椭圆 的左顶点，过点 的直线 与椭圆交于点 ，与 轴交于点 ，过原点与AAlMyN平行的直线与椭圆交于点 证明： l P2|NOP46、（房山区 2015 届高三一模）动点 到定点 的距离与它到定直线 的距离之),(yxP)0,1(F4:xl比为 .21() 求动点 的轨迹 的方程；PC（） 已知定点 ， ，动点 在直线 上，作直线 与轨迹 的另一个(2,0)A(,)B(4,)QtlAQC交点为 ,作直线 与轨迹 的另一个交点为 ，证明： 三点共线.MQN,MF7、（丰台区 2015
8、 届高三一模）已知椭圆 ： 的离心率为 ，右顶点C21(0)xyab32是 抛物线 的焦点直线 ： 与椭圆 相交于 ， 两点A28yxl()ykPQ（）求椭圆 的方程；C（）如果 ，点 关于直线 的对称点 在 轴上，求 的值MAPQlNyk8、（海淀区 2015 届高三二模）已知椭圆 上的点到它的两个焦点的距离2:1(0)xyCab之和为 ，以椭圆 的短轴为直径的圆 经过这两个焦点，点 ， 分别是椭圆 的左、右顶点.4COABC（）求圆 和椭圆 的方程；O（）已知 ， 分别是椭圆 和圆 上的动点（ ， 位于 轴两侧），且直线 与 轴平PQPQyPQx行，直线 ， 分别与 轴交于点 ， .求证：
9、 为定值.AByMN9、（石景山区 2015 届高三一模）已知椭圆 C: 离心率 ，短轴长为21(0)xyab2e2()求椭圆 的标准方程；C() 如图，椭圆左顶点为 A，过原点 O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆 C 交于 P， Q 两点，直线 PA， QA 分别与 y 轴交于 M， N 两点试问以 MN 为直径的圆是否经过定点（与直线 PQ 的斜率无关）？请证明你的结论 NMQAOPxy510、（西城区2015届高三一模）设 F 1 ， F 2分别为椭圆 的左、右焦点，点21xyabP（1， ） 在椭圆 E 上，且点32P 和 F1 关于点C（0， ） 对称。34（1）求椭圆 E 的方程；
10、（2）过右焦点 F2 的直线 l与椭圆相交于 A， B两点，过点 P且平行于 AB 的直线与椭圆交于另一点 Q ，问是否存在直线 l ，使得四边形 PABQ的对角线互相平分？若存在，求出 l 的方程；若不存在，说明理由。11、（大兴区 2015 届高三上学期期末）已知椭圆 的离心率为 ，右焦2:1 (0)xyGab63点为 ，过原点 的直线 交椭圆于 两点，线段 的垂直平分线交椭圆 于点(2, 0)Ol,ABAGM（）求椭圆 的方程；G（）求证： 为定值，并求 面积的最小值221OAMAOM12、（丰台区2015届高三上学期期末）已 知 椭 圆 的 右 焦 点 ，2:1(0)xyCab(3,0
11、)F点 在 椭 圆 C上 .1(3,)2M（ I） 求 椭 圆 C的 标 准 方 程 ；（ II） 直 线 l过 点 F， 且 与 椭 圆 C交 于 A， B两 点 ， 过 原 点 O作 直 线 l的 垂 线 ， 垂 足 为 P， 如 果 OAB的面 积 为 （ 为 实 数 ） ， 求 的 值 .|42|ABOP613、（石景山区 2015 届高三上学期期末）已知椭圆 )0(12bayx的离心率为 23，且过点 .(01)B，（）求椭圆的标准方程；（）直线 )2(:xkyl交椭圆于 P、 Q 两点，若点 B 始终在以 PQ 为直径的圆内，求实数 k的取值范围.14、（西城区 2015 届高三上
12、学期期末）已知椭圆 C： 的右焦点为 F，右顶点为 A，离心216xy率为 e，点 满足条件 .(,0)4Pm|FAeP（）求 m 的值；（）设过点 F 的直线 l 与椭圆 C 相交于 M， N 两点，记 和 的面积分别为 ，PFN1S，求证： .2S12|PMN15、（通州区 2015 高三 4 月模拟考试（一）已知椭圆 的左焦点是2:1(0)xyCab，上顶点是 ，且 ，直线 与椭圆 相交于 ， 两点.1,0FB2F(1)ykMN（）求椭圆 的标准方程；C（）若在 轴上存在点 ，使得 与 的取值无关，求点 的坐标. xPMNur P参考答案一、选择、填空题1、 3解析：渐近线为 所以有 双
13、曲线 的方程得 且0yx3ab12yax1b0a3a72、 ；213xyx双曲线 的渐近线为 ，故 的渐近线为242yxC2yx设 ： 并将点 代入 的方程，解得 Cyxm()， 3m故 的方程为 ，即 23421xy3、答案：B解析：由离心率为 ，可知 c a， b a.2渐近线方程为 ，故选 B.2byxa4、答案：C【解析】：抛物线焦点为： 它们的距离为5、 6、A 7、C 8、 9、B 2(2,)10、答案：11、B 12、 ； 13、 ; 32()3xy2yx14、 15、32y二、解答题1、解析:8（I）由题意得 解得 ，,2,1cba2a故椭圆 的方程为C.12yx设 ).0,(
14、Mx因为 ，所以m.n直线 的方程为 ，PAxmy1所以 ，即xM1).0,(因为点 与点 关于 轴对称，所以 .BxnB,设 ，则 .)0,(NxnN“存在点 使得 ”等价于“存在点 使得 ”，即,QyONQ),0(QyONM满足 .QyNMx2因为 ， ，nmx1.12nm所以 或 ，2QyQ故在 轴上存在点 ，使得 ，ONQ点 的坐标为 或 .),0()2,(2、椭圆的标准方程为： ，14xy， 则 ，离心率 ;a2bc2cea直线 与圆 相切.证明如下：ABxy法一：设点 的坐标分别为 ，其中 .02xyt0x因为 ，所以 ，即 ，解得 .OAB AO0y02ytx9当 时， ，代入椭
15、圆 的方程，得 ,0xt20tyC2t故直线 的方程为 .圆心 到直线 的距离 .ABxOABd此时直线 与圆 相切.2y当 时，直线 的方程为 ，0xt02yxt即 .00022yxtyt圆心 到直线 的距离 .OAB022xtyd又 ， ，故204xy02ytx.220024220004816dyxx 此时直线 与圆 相切.AB2法二：由题意知，直线 的斜率存在，设为 ，则直线 的方程为 ， ，OkOAykxOAB当 时， ，易知 ，此时直线 的方程为 或 ，0k20A02BB22y原点到直线 的距离为 ，此时直线 与圆 相切；B2xy当 时，直线 的方程为 ，0kO1yk联立 得点 的坐
16、标 或 ；24yxA22k221k联立 得点 的坐标 ，12kyBk由点 的坐标的对称性知，无妨取点 进行计算，AA221k于是直线 的方程为： ，B2211kkyxxk10即 ，222110kxkyk原点到直线 的距离 ,AB2211dkk此时直线 与圆 相切。2xy综上知，直线 一定与圆 相切.AB2法三：当 时， ，易知 ，此时 ，0k00B2OAB，原点到直线 的距离 ，、2AB 2d此时直线 与圆 相切；2xy当 时，直线 的方程为 ，0kOB1xk设 ，则 ， ，12Axyy 21A221OBkyk联立 得点 的坐标 或 ；24k22k22于是 ， ,2211AkOkx21OBk，
17、2 22411ABkk所以 ,直线 与圆 相切；2221OdkAB2xy综上知，直线 一定与圆 相切ABxy3、解：(1)椭圆 W： y21 的右顶点 B 的坐标为(2,0)4x因为四边形 OABC 为菱形，所以 AC 与 OB 相互垂直平分所以可设 A(1， m)，代入椭圆方程得 m21，即 m .43211所以菱形 OABC 的面积是 |OB|AC| 22|m| .12123(2)假设四边形 OABC 为菱形因为点 B 不是 W 的顶点，且直线 AC 不过原点，所以可设 AC 的方程为y kx m(k0， m0)由 消 y 并整理得(14 k2)x28 kmx4 m240.24,x设 A(
18、x1， y1)， C(x2， y2)，则 ， .2k12122k所以 AC 的中点为 M .224,mk因为 M 为 AC 和 OB 的交点，所以直线 OB 的斜率为 .4k因为 k 1，所以 AC 与 OB 不垂直4所以 OABC 不是菱形，与假设矛盾所以当点 B 不是 W 的顶点时，四边形 OABC 不可能是菱形4、13145、解：（）设椭圆 的标准方程为 ，C21(0)xyab由题意知 解得 ， 22,34,abc所以椭圆 的标准方程为 5 分C21xy（）设直线 的方程为： ，则 AM()k(0,2)Nk由 得 （*）2()4,ykx， 221+4614x设 ， ，则 ， 是方程（*）
19、的两个根，(,0)1()y1所以 2184kx所以 22(,)Mk2284| ()141kA221641()k|Nk15222418(1)| 4kkAMN设直线 的方程为： OPyx由 得 24,yx， 2(14)0k设 ，则 ， 0(,)2022041ky所以 ， 224|1kOP28|OPk所以 13 分|AMN6、解： ()由题意得 ， 221|4|)(2xy分化简并整理，得 .1342y所以动点 的轨迹 的方程为椭圆 . 5 分),(xPC1342yx（）当 时，点 重合，点 重合，0tBM与AN与三点共线. 7 分,NF当 时t根据题意： :(2),:(2)6ttQAyxyx由 21
20、436xty消元得：223()109tx整理得： 222748ttx该方程有一根为 另一根为 ,根据韦达定理，,M1622410854,77MMttxx由 23ytx消元得： 22()10t整理得： 34xt该方程有一根为 另一根为 ,根据韦达定理，2,Nx2216,33NNttxx当 时，由M22547t得： ， 三点共线；29,t1Nx,F当 时， ，M218()67Mttyx 26()3Nttyx；228754191F ttkx2291FNttkt， 三点共线. NFMK,综上，命题恒成立. 14 分7、解：（）抛物线 ，28yx所以焦点坐标为 ，即 ， (,0)(2,)A所以 a又因为
21、 ，所以 32ce3c所以 ，21ba所以椭圆 的方程为 4C24xy17分（）设 ， ，因为 ， ，1(,)Pxy2(,)QAMPQ(2,0)A所以 ， ，1A2(,)xy所以 ， 124+M所以 1212,xy由 ，得 （判别式 ），24()ykx2(4)840kxk0得 ， ，212281k12122()4+1kykx即 22(,)4Mk设 ， 则 中点坐标为 ， 30)Ny 322(,)41yk因为 ， 关于直线 对称，l所以 的中点在直线 上， 所以 ，解得 ，即 3221()41kk3yk(0,2)Nk由于 ， 关于直线 对称，所以 ， 所在直线与直线 垂直，MNlMl所以 ，解得
22、 142()1041k2k分8、解：（）依题意得 解得： ， . 3 分22,.acba2bc所以圆 的方程为 ，椭圆 的方程为 . 5 分OxyC214xy（）解法一：如图所示，设 （ ）， ，则0(,)P00(,)Q即 201,4Qxy22004,.Qxy187 分又由 得 .0:(2)yAPx0(,)2yMx由 得 . 0:()B0(,)N10 分 所以 ,002(,)(,)2QQyxyMxur. 00(,)(,)2Nxr所以 .220002(4Qxyyur所以 ，即 . 14 分MN9（）解法二：如图所示，设 ， （ ）.0(,)Pxy:(2)Akx0由 得 .21,4()xyk22(
23、)840kxk所以 ，即 .20841x201k所以 ，即 . 02ky24(,)P19所以 直线 的斜率为 .BP241k所以 .1:()2yxk令 得: ， . 10 分0x,M0,N设 ，则 ， .(,)Qy0()Qxkyur 01(,)QNxykur所以 .22 200001r因为 ，2024,Qkxy所以 .MNur所以 ，即 . 14 分909、（）由短轴长为 ，得 ， 1 分22b由 ，得 cabe4,a椭圆 的标准方程为 4 分C21xy（）以 为直径的圆过定点 5 分MN(,0)F证明如下：设 ，则 ，且 ，即 ，0(,)Pxy0,Qxy2014xy204xy ， 直线 方程
24、为： ，6 分(2,)AA0()20(,)M直线 方程为： ， ， 7 分Q0()2yx0(,)yNx以 为直径的圆为10 分MN002()()()2【或通过求得圆心 ， 得到圆的方程 】02(,)4xyO02|4yrx20即 ， 2200244xy ， ， 12 分20020xy令 ，则 ，解得 .y2x2以 为直径的圆过定点 14 分MN(,0)F10、2111、解：（）由题意 ，2c因为 ，所以 ， 2 分36ae3a所以 422cb所以椭圆 的方程为 4 分G12yx（）当直线 垂直于坐标轴时，l易得 ， 的面积 1 分311222baOMAAOM3221OAS当直线 与坐标轴不垂直时
25、，设直线 的方程为 ，l l )(0 kxy),(1yx则由 消元得 ，142yxk1232k)(所以 ， 3 分213k22113kx所以 4 分212yxOA)(又 是线段 的垂直平分线，故方程为 ， MBxky122同理可得 5 分 312kOM)(从而 为定值。31241312222 )()()( kkA7 分方法一：由 ，所以 ，OMAO13122 6A当且仅当 时，即 ， 时，等号成立，A32k1所以 的面积 。 9 分M21S所以，当 时， 的面积有最小值 。 10 分kO3方法二： 的面积AMA21所以 3123144122 kS )()(9 9 分222636)()(k所以，
26、当且仅当 时，即 时， 的面积有最小值 。3121kAOM310 分12、解：(I)由题意知： c根据椭圆的定义得： ，212(3)(a即 2a所以 431b所以椭圆 C 的标准方程为 4 分214xy(II)由题意知： 的面积 ，AB422ABCABSOP23整理得 24OPAB当直线 l 的斜率不存在时， l 的方程是 3x此时 ， ，所以 13P241OPAB当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程是 ，(3)ykx设 ， 1(,)Axy2(,)B由 可得 24(3)ykx22(41)83140kxk显然 ，则0212,41.kx因为 ， ，1(3)yk2(3)ykx所以 22111
27、()ABxx22211()4kkx所以 ，223()kOPk此时， 241综上所述， 为定值 14 分13、（）由题意知 ，解得 ， 223cbae312ba椭圆的标准方程为： 142yx. 4 分（）设 ),(),(21QP24联立 14)2(2yxk，消去 y，得： ).(0416()41(222 kxk 6 分依题意：直线 )(:xkl恒过点 )0,(，此点为椭圆的左顶点，所以 21x， - ，01y由（*）式， -， )4(6221kx可得 - ， 8 分kxky 4)()212121 由， 2248x， 10 分24ky由点 B 在以 PQ 为直径的圆内，得 PBQ为钝角或平角，即
28、. 0BQP. 12 分 ），（） ，（ 1122yxP 12yx即 ，整理得 .046422k0342k解得： )1,3(. 14 分14、（）解：因为椭圆 C 的方程为 ，216xy所以 , , , 2 分4a23b2cab则 ， ， . 3 分1ce|FA|4Pm因为 ，|42P所以 . 5 分8m（）解：若直线 l 的斜率不存在， 则有 ， ，符合题意. 6 分21S|PMN若直线 l 的斜率存在，则设直线 l 的方程为 ， ， .)(xky),(1y),(2x由 ),2(16xky25得 ， 7 分222(43)16480kxk可知 恒成立，且 ， . 8 分031621kx3481
29、62kx因为 10 分)(8)(82121ykPNM)()()(211xkx)8(30221k， 0)(241646212 xkk所以 . 12 分MPFN因为 和 的面积分别为 ，1|sinSPFMPF， 13 分21|sinS所以 . 14 分12|PN15、解：（）因为椭圆 的左焦点是 ，且 ，C1,0F12BF所以 ， 1 分1c.a所以由 ，得 2 分22b3.所以椭圆 的标准方程是 3 分C21.4xy（）因为直线 与椭圆 相交于 , 两点，()ykCMN联立方程组 消去 ，得21,43xy22348410.kxk 5 分所以 6 分210.k所以设点 ， ， ，1,Mxy2,Nxy0,Px25所以 ， 7 分212834kx214.3kxA所以 1020,PMNyy 102012xxy120212xxkx00k222 200481334kkxx242242001k 9 分20208534xxk因为 与 的取值无关，PMN所以 12 分085.123x所以 所以点 的坐标是 13 分0.P1,0.8
