1、19.1 直线的方程2014 高考会这样考 1.考查直线的有关概念，如直线的倾斜角、斜率、截距等；考查过两点的斜率公式；2.求不同条件下的直线方程(点斜式、两点式及一般式等)；3.在直线与圆锥曲线的关系问题中考查直线复习备考要这样做 1.理解数形结合的思想，掌握直线方程的几种形式，会根据已知条件求直线方程；2.会根据直线的特征量画直线，研究直线性质1 直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角定义：当直线 l 与 x 轴相交时，我们取 x 轴作为基准， x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角 叫做直线 l 的倾斜角当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0.倾斜角的范围为0，180
2、)(2)直线的斜率定义：一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母 k 表示，即 ktan_ ，倾斜角是 90的直线斜率不存在过两点的直线的斜率公式经过两点 P1(x1， y1)， P2(x2， y2) (x1 x2)的直线的斜率公式为 k .y2 y1x2 x12 直线方程的五种形式名称 方程 适用范围点斜式 y y0 k(x x0) 不含垂直于 x 轴的直线斜截式 y kx b 不含垂直于 x 轴的直线2两点式 y y1y2 y1 x x1x2 x1 不含直线 x x1 (x1 x2)和直线 y y1 (y1 y2)截距式 1xa yb 不含垂直于坐标轴和过原点的直线一
3、般式Ax By C0(A2 B20)平面直角坐标系内的直线都适用3. 过 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)的直线方程(1)若 x1 x2，且 y1 y2时，直线垂直于 x 轴，方程为 x x1；(2)若 x1 x2，且 y1 y2时，直线垂直于 y 轴，方程为 y y1；(3)若 x1 x20，且 y1 y2时，直线即为 y 轴，方程为 x0；(4)若 x1 x2，且 y1 y20 时，直线即为 x 轴，方程为 y0.4 线段的中点坐标公式若点 P1、 P2的坐标分别为( x1， y1)、( x2， y2)，且线段 P1P2的中点 M 的坐标为( x， y)，则Error! ，此公
4、式为线段 P1P2的中点坐标公式难点正本 疑点清源(1)直线的倾斜角与斜率的关系斜率 k 是一个实数，当倾斜角 90时， ktan .直线都有倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为 90的直线无斜率(2)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论在用截距式时，应先判断截距是否为 0，若不确定，则需分类讨论1 若直线斜率的绝对值等于 1，则直线的倾斜角为_答案 45或 135解析 由| k|tan |1，知： ktan 1 或 ktan 1.又倾斜角 0，180)， 45或 135.2 若点 A(4,3)， B(5， a)， C(6,5)三点共线，则 a 的值
5、为_答案 4解析 由 1，得 a4.a 35 4 5 36 43 过点 M(3，4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为_答案 x y10 或 4x3 y0解析 若直线过原点，则 k ，433 y x，即 4x3 y0.43若直线不过原点设 1，即 x y a.xa ya a3(4)1， x y10.4 直线 l 经过 A(2,1)， B(1， m2)(mR)两点则直线 l 的倾斜角的取值范围为_答案 0， 4 ( 2， )解析 直线 l 的斜率 k 1 m21.m2 11 2若 l 的倾斜角为 ，则 tan 1.又 0，)， .0， 4 ( 2， )5 如果 AC0，在 y 轴上的截距
6、0，故CA CB直线经过一、二、四象限，不经过第三象限.题型一 直线的倾斜角与斜率例 1 (1)若直线 l 与直线 y1， x7 分别交于点 P， Q，且线段 PQ 的中点坐标为(1，1)，则直线 l 的斜率为 ( )A. B13 13C D.32 23(2)直线 xcos y20 的倾斜角的范围是 ( )3A. B. 6， 2) ( 2， 56 0， 6 56， )C. D.0，56 6， 56思维启迪：斜率公式和倾斜角的定义是解决这类问题的基础，范围可结合图形考虑4答案 (1)B (2)B解析 (1)依题意，设点 P(a,1)， Q(7， b)，则有Error! ，解得 a5， b3，从而
7、可知直线 l 的斜率为 . 3 17 5 13(2)由 xcos y20 得直线斜率 k cos .3331cos 1， k .33 33设直线的倾斜角为 ，则 tan .33 33结合正切函数在 上的图象可知，0， 2) ( 2， )0 或 0；当 k0 时，直线为 y1，符合题意，故 k0.(3)解 由 l 的方程，得 A ， B(0,12 k)(1 2kk ， 0)依题意得Error!解得 k0. S |OA|OB| |12 k|12 12 |1 2kk | 12 1 2k 2k 12(4k 1k 4) (224)4，12“”成立的条件是 k0 且 4k ，即 k ，1k 12 Smin
8、4，此时 l 的方程为： x2 y40.探究提高 利用直线方程解决问题，要灵活选用直线方程的形式：一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距选择截距式8已知直线 l 过点 P(3,2)，且与 x 轴、 y 轴的正半轴分别交于 A、 B 两点，如图所示，求 ABO 的面积的最小值及此时直线 l 的方程解 方法一 设直线方程为 1 ( a0， b0)，xa yb点 P(3,2)代入得 12 ，得 ab24，3a 2b 6ab从而 S AOB ab12，当且仅当 时等号成立，这时 k ，从而所求直线方12 3a 2b ba 23程为 2x3 y120.方法二 依题意知，直线
9、 l 的斜率 k 存在且 k 3，所以 00，且 A(a,0)、 B(0， b)、 C(2，2)三点共线，则 ab 的最小值为_答案 16解析 根据 A(a,0)、 B(0， b)确定直线的方程为 1，又 C(2，2)在该直线上，xa yb故 1，所以2( a b) ab.又 ab0，故 a0， b0. 2a 2b根据基本不等式 ab2( a b)4 ，从而 0(舍去)或 4，故 ab16，当ab ab ab且仅当 a b4 时取等号即 ab 的最小值为 16.三、解答题7 (13 分)如图，射线 OA、 OB 分别与 x 轴正半轴成 45和 30角，过点 P(1,0)作直线 AB 分别交 OA、 OB 于 A、 B 两点，当 AB 的中点15C 恰好落在直线 y x 上时，求直线 AB 的方程12解 由题意可得 kOAtan 451， kOBtan(18030) ，33所以直线 lOA： y x， lOB： y x.33设 A(m， m)， B( n， n)，3所以 AB 的中点 C ，(m 3n2 ， m n2 )由点 C 在 y x 上，且 A、 P、 B 三点共线得12Error!解得 m ，所以 A( ， )3 3 3又 P(1,0)，所以 kAB kAP ，33 1 3 32所以 lAB： y (x1)，3 32即直线 AB 的方程为(3 )x2 y3 0.3 3
