1、专题三高考中的数列问题1公比不为 1 的等比数列a n的前 n 项和为 Sn，且3a 1，a 2，a 3 成等差数列，若a11，则 S4 等于( )A20B0C7D40答案 A解析记等比数列a n的公比为 q，其中 q1，依题意有2a 23a 1a 3，2a 1q3a 1a 1q20.即 q22q30，(q3)( q 1)0，又 q1，因此有 q3，S 4 20，选 A.11 341 32等比数列a n的各项均为正数，且 a5a6a 4a718，则 log3a1log 3a2log 3a10 等于( )A12B10C 8D2log 35答案 B解析等比数列a n中，a 5a6a 4a7，又因为
2、 a5a6a 4a718，a 5a69，log3a1log 3a2log 3a10log 3(a1a2a10)log 3(a5a6)5 5log3(a5a6)5log 3910.3若正项数列a n满足 lgan 11lga n，且 a2001a 2002a 2003a 20102013，则a2011a 2012a 2013a 2020 的值为()A2 01310 10B2 01310 11C2 01410 10D2 01410 11答案 A解 析 由 条 件 知 lg an 1 lg an lg 1， 即 10， 所 以 an为 公 比 是 10 的 等 比an 1an an 1an数 列 因
3、 为 (a2 001 a2 010)q10 a2 011 a2 020， 所 以 a2 011 a2 020 2 0131010，选 A.4已知数列a n满足 an122 22 n1 ，则a n的前 n 项和 Sn_.答案 2n1 2n解析a n122 22 n1 2 n1，1 2n1 2S n(2 12 22 n)n n2 n1 2n.21 2n1 25把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，循环分为(1)，(3,5)，(7,9,11) ，(13) ，(15,17)，(19,21,23)，(25) ，则第 50 个括号内各数之和为_答案
4、392解析将三个括号作为一组，则由 501632，知第 50 个括号应为第 17 组的第二个括号，即第 50 个括号中应是两个数又因为每组中含有 6 个数，所以第 48 个括号的最末一个数为数列2n1的第 16696 项，第 50 个括号的第一个数应为数列2n1的第 98 项，即为 2981195，第二个数为 2991197，故第 50 个括号内各数之和为 195197392.故填 392.题型一等差、等比数列的综合问题例 1 在等差数列a n中，a 1030，a 2050.(1)求数列a n的通项公式；(2)令 bn2a n10，证明：数列 bn为等比数列；(3)求数列nb n的前 n 项和
5、 Tn.思维启迪(1)设出数列a n的通项公式，结合已知条件列方程组即可求解；(2)由(1)写出 bn的表达式，利用定义法证明；(3)写出 Tn的表达式，考虑用错位相减法求解(1)解由 ana 1(n1)d，a 1030，a 2050，得方程组Error!，解得Error!.所以 an12(n1)2 2n 10.(2)证明由(1)，得 bn2a n102 2n1010 2 2n4 n，所以 4.bn 1bn 4n 14n所以b n是首项为 4，公比为 4 的等比数列(3)解由 nbnn4 n，得Tn1424 2n4 n，4Tn14 2(n1)4 nn4 n1 ，得3T n44 24 nn4 n
6、1 n4 n1 .41 4n 3所以 Tn .3n 14n 1 49思维升华(1)正确区分等差数列和等比数列，其中公比等于 1 的等比数列也是等差数列(2)等差数列和等比数列可以相互转化，若数列 bn是一个公差为 d 的等差数列，则abn(a0，a1)就是一个等比数列，其公比 qa d；反之，若数列b n是一个公比为q(q0)的正项等比数列，则log abn(a0，a1)就是一个等差数列，其公差 dlog aq.数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a12 且 SnS n 12n(n2，nN )(1)求 Sn；(2)是否存在等比数列b n满足 b1a 1，b 2a 3，b 3a 9？若存在，求
7、出数列b n的通项公式；若不存在，说明理由解(1)因为 SnS n1 2n，所以有 SnS n1 2n 对 n2，nN 成立即 an2n 对 n2，nN 成立，又 a1S 121，所以 an2n 对 nN 成立所以 an1 a n2 对 nN 成立，所以a n是等差数列，所以有 Sn nn 2n ，nN .a1 an2(2)存在由(1)知，a n2n 对 nN 成立，所以有 a36，a 918，又 a12，所以有 b12，b 26，b 318，则 3，b2b1 b3b2所以存在以 b12 为首项，以 3 为公比的等比数列b n，其通项公式为 bn23 n1 .题型二数列与函数的综合问题例 2
8、已知二次函数 yf( x)的图象经过坐标原点，其导函数为 f( x)6x2，数列a n的前n 项和为 Sn，点(n，S n)(nN )均在函数 yf(x)的图象上(1)求数列a n的通项公式；(2)设 bn ，T n是数列 bn的前 n 项和，求使得 Tncn成立思维启迪 (1)先求 an，再构造等比数列求 bn；(2)不等式 cn1 cn恒成立，可以转化为求函数的最值问题解(1)由已知，得 Sn2 S n1 ( Sn1 S n)1，所以 an2 a n1 1(n1)又 a2a 11，所以数列a n是以 a12 为首项，1 为公差的等差数列所以 ann1.又 bn1 24(b n2)，所以b
9、n2是以 4 为首项，4 为公比的等比数列所以 bn4 n2.(2)因为 ann1，b n4 n2，所以 cn4 n(1) n1 2n1 .要使 cn1 cn恒成立，需 cn1 c n4 n1 4 n(1) n2n2 ( 1) n1 2n1 0 恒成立，即 34n3 (1) n1 2n1 0 恒成立所以(1) n1 2 n1 恒成立，当且仅当 n2 时，2 n1 有最大值2.所以 2，结合可知2cn成立思维升华数列中有关项或前 n 项和的恒成立问题，往往转化为函数的最值问题；求项或前 n 项和的不等关系可以利用不等式的性质或基本不等式求解(2013天津)已知首项为 的等比数列a n的前 n 项
10、和为 Sn(nN )，且322S 2，S 3,4S4 成等差数列(1)求数列a n的通项公式；(2)证明：S n (nN )1Sn 136(1)解设等比数列a n的公比为 q，因为2S 2，S 3,4S4成等差数列，所以 S32S 24S 4S 3，即 S4S 3S 2S 4，可得 2a4a 3，于是 q .a4a3 12又 a1 ，所以等比数列a n的通项公式为32an n1 ( 1) n1 .32 ( 12) 32n(2)证明由(1)知，S n1 n，( 12)Sn 1 n1Sn ( 12) 11 ( 12)nError!当 n 为奇数时，S n 随 n 的增大而减小，1Sn所以 Sn S
11、 1 .1Sn 1S1 136当 n 为偶数时，S n 随 n 的增大而减小，1Sn所以 Sn S 2 .1Sn 1S2 2512故对于 nN ，有 Sn .1Sn 136(时间：80 分钟)1已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且满足：a n2S nSn1 0(n2，nN)，a 1 ，判断12与a n是否为等差数列，并说明你的理由1Sn解因为 anS nS n1 (n2)，又因为 an2S nSn1 0，所以 SnS n1 2S nSn1 0(n 2) ，所以 2(n2)，1Sn 1Sn 1又因为 S1a 1 ，12所以 是以 2 为首项，2 为公差的等差数列1Sn所以 2(n1)22n，
12、故 Sn .1Sn 12n所以当 n2 时，a nS nS n1 ，12n 12n 1 12nn 1所以 an1 ， 12nn 1而 an1 a n 12nn 1 12nn 1 . 12n( 1n 1 1n 1) 1nn 1n 1所以当 n2 时，a n1 a n的值不是一个与 n 无关的常数，故数列a n不是一个等差数列综上，可知 是等差数列，a n不是等差数列1Sn2设数列a n满足 a10 且 1.11 an 1 11 an(1)求a n的通项公式；(2)设 bn ，记 Sn k，证明：S n (m25m)对所有的 nN 恒成立的整数 m 的取值集合14(1)证明依题意，得 a29a 1
13、10100，故 10.a2a1当 n2 时，a n1 9S n10，a n9S n1 10，两式相减得 an1 a n9a n，即 an1 10a n， 10，an 1an故a n为等比数列，且 ana 1qn1 10 n(nN )，lga nn.lga n1 lga n(n1)n1，即lga n是等差数列(2)解由(1)知，T n3 112 123 1nn 13(1 ) .12 12 13 1n 1n 1 3nn 1(3)解T n3 ，当 n1 时，T n取最小值 .3n 1 32依题意有 (m25m)，解得1m2，m ，kN *)，使得 b1、b m、b k成等比数列？anan 1若存在，
14、求出所有符合条件的 m、k 的值；若不存在，请说明理由解(1)设等差数列a n的公差为 d，则 Snna 1 d.nn 12由已知，得Error!即Error! ，解得Error!所以 ana 1(n1)dn( nN *)(2)假设存在 m、k (km2，m，kN *)，使得 b1、b m、b k成等比数列，则 b b 1bk，2m因为 bn ，anan 1 nn 1所以 b1 ，b m ，b k ，12 mm 1 kk 1所以( )2 .mm 1 12 kk 1整理，得 k .2m2 m2 2m 1以下给出求 m、k 的方法：因为 k0，所以m 22m10，解得 1 0，所以不等式 2n2n3 ，2n 32n记 bn ，n2 时， ，2n 32n bn 1bn2n 12n 12n 32n 2n 14n 6所以 n3 时 1，(b n)maxb 3 ，bn 1bn 38所以 .378
