1、十字相乘法“十字相乘法”虽然比较难学,但是学会了它, 用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运算量不大，不容易出错。它在分解因式/解一元二次方程中有广泛的应用：十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。 例 1 把 m+4m-12 分解因式 分析：本题中常数项-12 可以分为-112，-26，-34，-43，-62，-121 当-12 分成-26 时，才符合本题 解：因为 1 -2 1 6 所以 m+4m-12=（m-2）（m+6） 例 2 把 5x+6x-8 分解因式 分析：本题中的 5 可分为 15,-8 可分为-18，-2
2、4，-42，-81。当二次项系数分为 15，常数项分为-42 时，才符合本题 解： 因为 1 2 5 -4 所以 5x+6x-8=（x+2）（5x-4） 例 3 解方程 x-8x+15=0 分析：把 x-8x+15 看成关于 x 的一个二次三项式，则 15 可分成 115，35。 解： 因为 1 -3 1 -5 所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0 所以 x1=3 x2=5 例 4、解方程 6x-5x-25=0 分析：把 6x-5x-25 看成一个关于 x 的二次三项式，则 6 可以分为 16，23，-25 可以分成-125，-55，-251。 解： 因为 2 -5 3 5 所以 原方程可
3、变形成（2x-5）（3x+5）=0 所以 x1=5/2 x2=-5/3 用十字相乘法解一些比较难的题目： 例 5 把 14x-67xy+18y分解因式 分析：把 14x-67xy+18y看成是一个关于 x 的二次三项式,则 14 可分为 114,27, 18y可分为 y.18y , 2y.9y , 3y.6y 解: 因为 2 -9y 7 -2y 所以 14x-67xy+18y= (2x-9y)(7x-2y) 例 6 把 10x-27xy-28y-x+25y-3 分解因式 分析：在本题中，要把这个多项式整理成二次三项式的形式 解法一、10x-27xy-28y-x+25y-3 =10x-（27y+
4、1）x -（28y-25y+3） 4y -3 7y -1 =10x-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1） 2 -（7y 1） 5 4y - 3=2x -（7y -1）5x +（4y -3） =（2x -7y +1）（5x +4y -3） 说明：在本题中先把 28y-25y+3 用十字相乘法分解为（4y-3）（7y -1），再用十字相乘法把10x-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1）分解为：2x -（7y -1）5x +（4y -3） 解法二、10x-27xy-28y-x+25y-3 2 -7y5 4y=（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 3 2 x -7y
5、 1 5 x +4y -3=（2x -7y）+1 （5x +4y）-3 =（2x -7y+1）（5x +4y -3） 说明:在本题中先把 10x-27xy-28y用十字相乘法分解为（2x -7y）（5x +4y）,再把（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 3 用十字相乘法分解为（2x -7y）+1 （5x +4y）-3. 例 7：解关于 x 方程：x- 3ax + 2aab -b=0 分析：2aab-b可以用十字相乘法进行因式分解 解：x- 3ax + 2aab -b=0 x- 3ax +（2aab - b）=0 1 -b 2 +bx- 3ax +（2a+b）（a-b）=0 1
6、 -（2a+b） 1 -（a-b） x-（2a+b） x-（a-b）=0所以 x1=2a+b x2=a-b 两种相关联的变量之间的二次函数的关系，可以用三种不同形式的解析式表示：一般式、顶点式、交点式 交点式利用配方法，把二次函数的一般式变形为 ：Y=a(x+b/2a)2-(b2-4ac)/4a2 应用平方差公式对右端进行因式分解，得 Y=ax+b/2a+b 2-4ac/2ax+b/2a-b 2-4ac/2a =ax-(-b-b 2-4ac)/2ax-(-b+b 2-4ac)/2a 因为一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两根分别为 x1，x 2=(-bb 2-4ac)/2a 所以上式可写成
7、 y=a(x-x1)(x-x2),其中 x1，x 2是方程 ax2+bx+c=0 的两个根 因 x1，x2 恰为此函数图象与 x 轴两交点（x 1，0），（x 2，0）的横坐标，故我们把函数 y=a(x-x1)(x-x2)叫做函数的交点式在解决二次函数的图象和 x 轴交点坐标有关的问题时，使用交点式较为方便。二次函数的交点式还可利用下列变形方法求得： 设方程 ax2+bx+c=0 的两根分别为 x1，x 2 根据根与系数的关系 x1+x2=-b/a，x 1x2=c/a， 有 b/a=-(x1+x2),c/a=x1x2y=ax 2+bx+c=ax2+b/a*x+c/a =ax2-(x1+x2)x+x1x2=a(x-x1)(x-x2)
