1、宜春中学高中数学导学案 编写：阳启辉 审稿：饶勇第一章 计数原理1.3 组合1.3.1 组合学习目标：1.理解并掌握组合,组合数的概念及意义;2.掌握组合数公式及其推导并能解决一些简单组合问题学习重点：组合数计算公式以及性质学习难点：组合数计算公式以及性质的应用一 自主学习问题 1:(1)从甲,乙,丙 3 名同学中选出 2 名分别去参加某天的上,下午活动,有多少种不同的选法?(2)从甲,乙,丙 3 名同学中选出 2 名分别去参加一项活动,有多少种不同的选法 ?问题 2:有 5 名体操运动员参加 2008 年北京奥运会选拔赛.(1)从中选出 3 名参加双杠,吊环,鞍马三个单项比赛,每项仅 1 人
2、,有几种不同的选拔结果?(2) 从中选出 3 名参加吊环比赛,有几种不同的选拔结果?1 奎 屯王 新 敞新 疆 组合的概念：一般地，从 n个不同元素中取出 mn个元素并成一组，叫做从 n个不同元素中取出 m个元素的一个组合 奎 屯王 新 敞新 疆说明：不同元素；“只取不排”无序性；相同组合：元素相同 奎 屯王 新 敞新 疆2组合数的概念：从 个不同元素中取出 个元素的所有组合的个数，叫做从 个不同元素中取出 个元素的组合数用符号 mnC表示3组合数公式的推导：（1）一般地，求从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数 mnA，可以分如下两步： 先求从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数
3、 n； 求每一个组合中 m 个元素全排列数mA，根据分步计数原理得： nA mC（2）组合数的公式： (1)2(1)!mnC或 )!(n),nN且 奎 屯王 新 敞新 疆4、组合数的性质（1）： mnC宜春中学高中数学导学案 编写：阳启辉 审稿：饶勇一般地，从 n 个不同元素中取出 m个元素后，剩下 nm个元素因为从 n 个不同元素中取出 m 个元素的每一个组合，与剩下的 n m 个元素的每一个组合一一对应，所以从n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，等于从这 n 个元素中取出 n m 个元素的组合数，即： nC在这里，主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想 奎 屯王 新 敞新
4、疆证明： )!()!()!(nmn 又 !n， mnC 奎 屯王 新 敞新 疆说明：规定： 10n；等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标； ynxC或 nyx组合数的性质（2）： mn1 C+ 1m二 合作学习例 1、计算：（1） 47； （2） 710； 例 2、求证： 1mnmnC例 3、 （1）计算： 6958473；（2）求证： nmC2 + 1nm+ 2C例 4、计算： 3333456789宜春中学高中数学导学案 编写：阳启辉 审稿：饶勇例 5、解方程：（1） 3213xxC；（2）解方程： 33210xxxAC三课堂检测1、 计算： 39102C2、计算 0123734561
5、0CA3、若 231nC，则 n_.4、若 5123304()5nA，求 n 的值宜春中学高中数学导学案 编写：阳启辉 审稿：饶勇四 课后练习1、已知 2nC=10，则 n=（ ）A.10 B.5 C.3 D.22、如果 436mA，则 m=（ ）A.6 B.7 C.8 D.93、 rrC170的不同值有（ ）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个4、 22234510_AA 5、若 x 满足 12x13Cx，则 x= 6、解关于 n 的不等式： 46n7、已知 的 值 为与则 nm,43211nmnC 宜春中学高中数学导学案 编写：阳启辉 审稿：饶勇第一章 计数原理1.3 组合1.3
6、.2 组合学习目标：能够解决一些组合应用问题学习重点：解决一些组合应用问题及一些简单的组合典型问题学习难点：组合与排列的区分一自主学习引例 1、 （1）10 人互通一次电话，共通多少次电话？（2）10 个球队以单循环进行比赛（每两队比赛一次） ，共进行多少场比赛？（3）从 10 个人中选出 3 个作为代表去开会，有多少种选法？（4）从 10 个人中选出 3 个不同学科的课代表，有多少种选法？引例 2、要从 12 人中选出 5 人参加一项活动，其中 A、B、C 3 人至多 2 人入选，有多少种不同选法？二 合作学习例 1、 用 0，1，2，3,4，5 这六个数字，可以组成 _ 个没有重复数字且能
7、被 5 整除的五位数（结果用数值表示） 例 2、 中央电视台 1 套连续播放 5 个广告，其中 3 个不同的商业广告和 2 个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是公益宣传广告，且 2 个公益宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有 _ 种（用数字作答）.例 3、 从编号为 1，2，3，10，11 的共 11 个球中，取出 5 个球，使得这 5 个球的编号之和为奇数，则一共有多少种不同的取法？ 宜春中学高中数学导学案 编写：阳启辉 审稿：饶勇例 4、在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查现在从 98 件正品和 2 件次品共 100 件产品中，任意抽出 3 件检查(1)共有多少种不同的
8、抽法？(2)恰好有一件是次品的抽法有多少种？(3)至少有一件是次品的抽法有多少种？(4)恰好有一件是次品，再把抽出的 3 件产品放在展台上，排成一排进行对比展览，共有多少种不同的排法？例 5、甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可以排出多少种不同的值周表 ？三 课堂检测1、用数字 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，且 5 不排在百位，2，4 都不排在个位和万位，则这样的五位数个数为( )A. B. 6 C. 42 D. 82、将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有 5 种颜色可供使用,则不同的染色方法总数有 （
9、 ）宜春中学高中数学导学案 编写：阳启辉 审稿：饶勇A . 240 种 B. 300 种 C. 360 种 D. 420 种3、4 名 男 生 和 6 名 女 生 组 成 至 少 有 1 个 男 生 参 加 的 三 人 社 会 实 践 活 动 小 组 ， 问 组 成 方 法 共 有多 少 种 ？4、某书店有 11 种杂志，2 元 1 本的 8 种，1 元 1 本的 3 种小张用 10 元钱买杂志(每种至多买一本，10 元钱刚好用完)，则不同买法有多少种？5、一生产过程有 4 道工序,每道工序需要安排一人照看.现从甲.乙.丙等 6 名工人中安排 4 人分别照看一道工序,第一道工序只能从甲.乙两工
10、人中安排 1 人,第四道工序只能从甲.丙两工人中安排 1 人,则不同的安排方案共有多少种？6、从 10 名男同学，6 名女同学中选 3 名参加体能测试，则选到的 3 名同学中既有男同学又有女同学的不同选法共有多少种？四、课后练习1、某岗位安排 3 名职工从周一到周五值班，每天只安排一名职工值班，每人至少安排一天，至多安排两天，且这两天必须相邻，那么不同的安排方法有( )A 0种 B 12种 C 18种 D 36种2、某车队准备从甲、乙等 7 辆车中选派 4 辆参加救援物资的运输工作，并按出发顺序前后排成一队，要求甲、乙至少有一辆参加，且若甲、乙同时参加，则它们出发时不能相邻，那么不同排法种数为
11、（ ）(A)360 (B)520 (C)600 (D)7203、现有 16 张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张，从中任取 3 张，要求这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多 1 张，不同取法的种数为（ ）A 232 B 252 C 472 D 4844、某校开设 类选修课 3门， B类选修课 4门，一位同学从中共选 3门，若要求两类课程宜春中学高中数学导学案 编写：阳启辉 审稿：饶勇中各至少选一门，则不同的选法共有 种（用数字作答） 5、10 名运动员中有 2 名老队员和 8 名新队员，现从中选 3 人参加团体比赛，要求老队员至多 1 人入选且新队员甲不能人选的选法有 种
12、6、有 8 张卡片分别标有数字 1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出 6 张卡片排成 3 行 2 列，要求 3 行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为 5，则不同的排法共有 种 7、平面内有 12 个点，其中有 4 个点共线，此外再无任何 3 点共线，以这些点为顶点，可得多少个不同的三角形？8、从 6 人中选 4 人分别到北京、哈尔滨、广州、成都四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且在这 6 人中甲、乙不去哈尔滨游览，则不同的选择方案共有多少种？宜春中学高中数学导学案 编写：阳启辉 审稿：饶勇第一章 计数原理1.3 组合1.3.3 组合学习目标：利用排列组合解决计数问
13、题学习重点：如何有效利用排列组合解决计数问题学习难点：计数问题的分类与解决学习过程：一 自主学习引例 1、由 0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.引例 2、7 人站成一排 ,其中甲乙相邻, 共有多少种不同的排法.二 合作学习例 1、一个晚会的节目有 4个舞蹈,2 个相声,3 个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？例 2、7 人排队,其中甲乙丙 3人顺序一定共有多少不同的排法例 3、有 5个不同的小球,装入 4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.例 4、从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于 10的
14、偶数,不同的取法有多少种？宜春中学高中数学导学案 编写：阳启辉 审稿：饶勇例 5、有 11 个工人，其中 5 人只会当钳工，4 人只会当车工，还有甲、乙 2 人既会当钳工又会当车工现在要从这 11 人中选出 4 人当钳工，4 人当车工，一共有多少种选法？三 课堂检测1、甲组有 5 名男同学，3 名女同学；乙组有 6 名男同学、2 名女同学。若从甲、乙两组中各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有( )（A）150 种 （B）180 种 （C）300 种 (D)345 种 2、2010 年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻
15、译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ）A. 36 种 B. 12 种 C. 18 种 D. 48 种3、将标号为 1、2、3、4、5、6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中。若每个信封放 2 张，其中标号为 1、2 的卡片放入同一信封，则不同放法共有_种4、如图将一个矩形分成 24 个全等的矩形，则从 A 沿矩形的边走到 B 的最短走法有多少种？(A、B 分别为大矩形的对角线端点) 5、若 xA 则 1A，就称 A 是伙伴关系集合，集合 M=1，0， 3， 21，1，2，3，4的所有非空子集中，具有伙伴关
16、系的集合的个数为_6、现 有 印 着 0， l， 3， 5， 7， 9 的 六 张 卡 片 ， 如 果 允 许 9 可 以 作 6 用 ， 那 么 从 中 任 意抽 出 三 张 可 以 组 成 多 少 个 不 同 的 三 位 数 ? 7、六 人 站 成 一 排 ， 求 (1)甲 不 在 排 头 ， 乙 不 在 排 尾 的 排 列 数 (2)甲 不 在 排 头 ， 乙 不 在 排 尾 ， 且 甲 乙 不 相 邻 的 排 法 数 宜春中学高中数学导学案 编写：阳启辉 审稿：饶勇8、正 方 体 8 个 顶 点 中 取 出 4 个 ， 可 组 成 多 少 个 四 面 体 ? 四 课后练习1、3 位男生
17、和 3 位女生共 6 位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）A. 360 B. 288 C. 216 D. 96 2、2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）A. 60 B. 48 C. 42 D. 363、计划展出 10 幅不同的画，其中 1 幅水彩画、4 幅油画、5 幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（ ）（A） 54（B）543A（C）5413A（D）542A4、在 一 块 并 排 的 10
18、垄 田 地 中 ， 选 择 二 垄 分 别 种 植 A， B 两 种 作 物 ， 每 种 种 植 一 垄 ，为 有 利 于 作 物 生 长 ， 要 求 A， B 两 种 作 物 的 间 隔 不 少 于 6 垄 ， 不 同 的 选 法 共 有 _种。5、甲、乙、丙 3人站到共有 7级的台阶上，若每级台阶最多站 2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答） 6、7 人站成一排照相， 若要求甲、乙、丙不相邻，则有多少种不同的排法？ 7、八个人分两排坐，每排四人，限定甲必须坐在前排，乙、丙必须坐在同一排，共有多少种安排办法？8、一条长椅上有 7个座位， 4人坐，要求 3个空
19、位中，有 2个空位相邻，另一个空位与宜春中学高中数学导学案 编写：阳启辉 审稿：饶勇2个相邻空位不相邻，共有几种坐法？第一章 计数原理1.3 组合1.3.3 组合学习目标：能利用排列组合解决各种计数问题学习重点：排序，分组分配等问题的处理学习难点：能利用两个计数原理及排列组合解决排序，分组分配等问题学习过程：一 自主学习引例 1、求下列不同的排法种数：(1)6 男 2 女排成一排，2 女相邻； (2)6 男 2 女排成一排，2 女不能相邻；(3)5 男 3 女排成一排，3 女都不能相邻. 引例 2、今有 2 个红球、3 个黄球、4 个白球，同色球不加以区分，将这 9 个球排成一列有_种不同的排
20、法(用数字作答)二 合作学习例 1、用 54320、 共六个数字，组成无重复数字的自然数，(1)可以组成多少个无重复数字的 位偶数？(2)可以组成多少个无重复数字且被 3整除的三位数？宜春中学高中数学导学案 编写：阳启辉 审稿：饶勇例 2、 （1）以一个正方体的顶点为顶点的四面体有个？（2）以一个正方体的顶点为端点可连成多少对异面直线？例 3、从 6542、 五个数字中每次取出三个不同的数字组成三位数，求所有三位数的和例 4、 7名同学排队照相(1)若分成两排照，前排 3人，后排 4人，有多少种不同的排法？(2)若排成两排照，前排 人，后排 人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的
21、排法？(3)若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？(4)若排成一排照， 7人中有 名男生， 3名女生，女生不能相邻，有多少种不面的排法？例 5、有 6 本不同的书按下列分配方式分配，问各有多少种不同的分配方式？（1）分成 1 本、2 本、3 本三组；（非均匀分组）（2）分给甲、乙、丙三人，其中一个人 1 本，一个人 2 本，一个人 3 本；（3）分成每组都是 2 本的三个组；（均匀分组）（4）分给甲、乙、丙三人，每个人 2 本。宜春中学高中数学导学案 编写：阳启辉 审稿：饶勇例 6、 （1）有 10个运动员名额，分给 7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？ （2）已知方程
22、 10xyzw，求这个方程组的自然数解的组数 三 课堂检测1、有两排座位，前排 11个座位，后排 12个座位，现安排 2人就座规定前排中间的 3个座位不能坐，并且这 2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 _2、10 个相同的球装 5个盒中,每盒至少一个有_种装法？ 3、某排共有 10个座位，若 4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有_种4、用 0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第 71个数是 _5、分别编有 1，2，3，4，5 号码的人与椅，其中 i号人不坐 i号椅（ 54321,i）的不同坐法有多少种？6、设有编号 1,2,3,4,
23、5的五个球和编号 1,2,3,4,5的五个盒子,现将 5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法7、由数字 0，1，2，3，4 组成没有重复数字的五位数，其中万位上数字小于千位上数字的五位数共有多少个? 8、将 6 位志愿者分成 4 组，其中两个组各 2 人，另两个组各 1 人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有多少种？(用数字作答)四 课后练习1、将标号为 1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中若每个信封放 2 张，其中标号为 1，2 的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 （ ）（A）12 种 （B）1
24、8 种 （C）36 种 （D）54 种2、只用 1,2,3 三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有( )A6 个 B9 个 C18 个 D36 个3、某公司招聘来 8 名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有( )A24 种 B36 种 C38 种 D108 种4、由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且 1、3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是( )A72 B96 C108 D1445、(1)n 棱柱有_条对角线，有_个对角面。(2) 四面体的顶点和各棱的中点共 10 点，在其中取出 4 个不共面的点有 _种不同取法？6、从 10 双 不 同 颜 色 的 手 套 中 任 取 6 只 ， 其 中 恰 好 有 2 双 同 色 的 取 法 有 _。 7、用 1，3，6，7，8，9 组成无重复数字的四位数，由小到大排列. 宜春中学高中数学导学案 编写：阳启辉 审稿：饶勇(1)第 114 个数是多少? (2)3796 是第几个数?8、25 人排成 55方阵,现从中选 3人,要求 3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？
