1、第一章 数理统计的基本概念课后习题参考答案1.1 设对总体 X 得到一个容量为 10 的子样值：4.5，2.0，1.0，1.5，3.4，4.5，6.5，5.0，3.5，4.0，试分别计算子样均值 和子样方差X的值。2S解： 为总体 X 的样本，12,nX根据 求得 =3.59；12()n根据 求得 =2.5929。21niiS2S1.2 设总体 X 的分布函数为 ，密度函数为 ， 为 X 的子样，求最xFxfnX,21大顺序统计量 与最小顺序统计量 的分布函数与密度函数。n1X解：将总体 X 中的样本按照从小到大的顺序排列成 n21nnn xFxPxPxxF 21fFfnn nxxx 1112
2、2 fFf n11.3 设总体 X 服从正态分布 N(12,4),今抽取容量为 5 的子样 ，试问：521,X(1)子样的平均值 大于 13 的概率为多少？(2)子样的极小值(最小顺序统计量 )小于 10 的概率为多少？(3) 子样的极大值(最大顺序统计量 )大于 15 的概率为多少？解：nIiXNX12, 5412, 5412221 nXDnEniiii ，(1)134.086.12.n/-X1 5/n/-P33P (2) 578.08412.-P-1 210-XP-05i 5i51mi i iii(3) 293.09315.5.1-XP-1 1-P-5i i5max i iii1.4 试证
3、：（1） 对任一实数 a 成立。并 且此证明2221()()()nni ii ixaxa当 时， 达到极小。21()nii（2） 其中 2211()nniiixx1nix证明：（1） 221()()nni ii ixaxa22111()()()nnni ii i ixa221211()()()(nni ni ixxax2211()()nnii ixxa221()()nii22111()nnnii iixaxax21()ni求函数的极值，对变量进行求导，这里对变量 a 求导得 即 20axx根据数学分析中的结论，当仅有一个极值时，那么同时也 是其相应的最值。(2) 22111()nnnii ii
4、2121()ni nxxx 21ni21nix1.5 设 为正态总体 的样本，令nX,21 2,NniiXd1试证： nddE21D，证明:令 则iixy2,0Nyi2212020 iyiiii deydfEd inn xExxDxDdi ni iiniiini 2122 1 221 1.6 设总体 X 服从正态 ， 为其子样， 与 分别为子样均值与,NX,21 2S方差。又设 与 独立同分布，试求统计量 的分布。1nn,2 11nXYN解： 0111 niinniinn XEXEX 221211 1nDnDiniin 1,021nNXn又 2S1111 ntSXYnSXNn1.7 设 求证
5、(),Tt:2(1,)TFn:证明： 设 与 Y 独立，则称随机变量0,XNYX()tn:那么 其中21XTYn2(1)X:根据 F 分布的定义得出： 2(,)TFn1.8 设 独立，同服从指数分布，即密度函数为nX,210,0xef求证 ，其中nX2niiX1证明：总体 X 的概率密度函数为： 0,0xef令 ，则i22Xi 221xxi ef 即 2iX由可加性定理知 nXnniiii 22111.9 设 与 分别来自总体 和 且相互独1,21nX 2,2nY 21,N2,立， 和 是两个已知常数，试求2121nnSY的分布，其中 21221, niiii YSX证明： 212n,Y,Nn
6、X又因为 与 相互独立，故 212121 ,nY又有 1,122221 nSnSn所以 与 相互独立，由 的可加性知12122nSn由定理 1.3 及两总体样本的独立性知与 相互独立，21YX221S因而 222 11221121121 ntnSYXnnS1.10 设总体 为子样，令nYXYXNYX , 2121 2111222 ,SRYnSniii iinii 求证 2121ntSX证明：二维正态分布的数学期望是 21,YEX协方差矩阵是 2112令 ，则YXZnii SRSZ1 212122S 21,NYX,0,22 NnnS12111221 ntSRSYXnnSYX1.11 设 为总体 X 的分布函数， 为由其样本 确定的经验分布函数，()Fx()nFx1,2,nX求证对一切实数 x 成立。lim()1nP证明：经验分布函数 得构造方法为，设 诸观察值按从小到大可排成 ()nx1,2,n(1)(2)()XX定义 (1)()(1)()0,(),2,1,nkknxFnX所以 (,1()nxiixI这里 表示 A 的示性函数，(,(,0,xxI对于给定的 ，记 (,)1,)ixYIin则 独立同分布1,n()iYBFx:而 1/ni由强大数定律得对一切实数 x 成立lim()nPFx
