1、1.1 设 A、 B 、 C 是样本空间的事件，把下列事件用 A、 B 、 C 表示出来： （ 1） A发生； （ 2） A不发生，但 B 、 C 至少有一个发生； （ 3）三个事件恰有一个发生； （ 4）三个事件中至少有两个发生； （ 5）三个事件都不发生； （ 6）三个事件最多有一个发生； （ 7）三个事件不都发生。 解 (1) A；（ 2）)( CBCBBCA + 或 )( CBA + ； （ 3） CBACBACBA + ； （ 4） BCACBACABABC + 或 BCACAB + ； （ 5） CBA 或 CBA + ； （ 6） CBACBACBACBA + 或 BACACB
2、+ ； （ 7） ABC 或 CBA + 。 1.2 随机地将 15名新生平均分配到三个班级中去 , 这 15名新生中有 3 名是运动员 ,问 : （ 1）每个班级各分到有 1 名运动员的概率是多少 ? （ 2） 3 名运动员被分到同一班级的概率是多少 ? 解法一 将 15名新生平均分配到三个班级，有55510515CCC 种不同做法。 （ 1）每个班级各有一名运动员，相当于先将 3 个运动员分配到三个班级，每班 1 个，再将 12 个非运动员分配到三个班级，每班 4 个，有111213CCC4448412CCC 种不同做法，所以， P 每个班级各有一名运动员 =555105154448412
3、111213CCCCCCCCC555105154448412!3CCCCCC=9125= ； （ 2） 3 名运动员分到同一班级，相当于先要确定分配到哪一个班级，有 3 种不同选择，然后将 3 个运动员分配到这个班级，再从 12 个非运动员中任取 2 人分配到这个班级，其余非运动员分配到其它两个班级，每班 5 个，有333C55510212CCC 种不同做法，所以， P 3 名运动员分到同一班级 =5551051555510212333CCCCCCC916= 。 解法二 将 15名新生平均分配到三个班级， 可以看作是有 15个空位子， 每个班级各有 5个空位子。从这 15个空位子中任意选 3
4、个位子放运动员（其余位子自然是放非运动员，可不考虑） ，共有315C 种不同做法。 （ 1）每个班级各有一名运动员，相当于从每个班级的 5个空位子中任意选 1个位子放运动员，有151515CCC 种不同做法，所以， P 每个班级各有一名运动员 =315151515CCCC9125= ； （ 2） 3 名运动员分到同一班级，相当于先要确定分配到哪一个班级，有 3 种不同选择，从这个班级的 5个空位子中任意选 3 个位子放运动员，有353C 种不同做法，所以， P 3 名运动员分到同一班级 =315353CC916= 。 1.3 A、 B 是随机事件，已知 aAP =)( ， bBP =)( ，
5、cABP =)( ，求： （ 1）)( BAP +； （ 2）)( BAP； （ 3）)( BAP； （ 4）)( BAP +。 解 （1） cABPABPBAP =+ 1)(1)()( ； （2） )()()(1)(1)()( ABPBPAPBAPBAPBAP +=+=+= cba +=1 ； （3） cbABPBPABPBAP = )()()()( ； （4） )( BAP + )()()( BAPBPAP += cacbba +=+= 1)(1 。 1.4 向盛有 n 个球的器皿中投入一个白球,如果器皿中原来的白球数从0到 n是等可能的， ,现在再从器皿中取出一个球,试问这个球为白球的概
6、率是多少 ? 解 设 =iA 器皿中原来有 i个白球 ( ni ,2,1,0L= ） ，因为已知器皿中原来的白球数从0到 n是等可能的，所以 11)(+=nAPi( ni ,2,1,0L= ） 。 设 =B 取出一球，恰好取到白球 。当器皿中原来有 i个白球时，再投入 1 个白球，器皿中就有 1+i 个白球，这时取出一球，恰好取到白球的概率是 11)(+=niABPi( ni ,2,1,0L= ） 。 由全概率公式 )|()()(0iniiABPAPBP=+=+=niniinnin020)1()1(111112)2)(1()1(12+=nnn )1(22+=nn。 1.5 无线通信中，由于随机
7、干扰，当发出信号为“ ”时，收到信号为“ ” 、 “不清” 、 “”的概率分别为 0.7、0.2和 0.1；当发出信号为“”时，收到信号为“” 、 “不清” 、 “ ”的概率分别为 0.9、 0.1和 0.如果整个发报过程中 “ ” 、“” 出现的概率分别为 0.6和 0.4，当收到信号“不清”时，原发信号是什么？试加以推测. 解 设 =A 收到“不清”， =B 发出“ ”， =B 发出“-”，由题意可知， =)(BP 0.6， =)(BP 0.4， =)( BAP 0.2， =)( BAP 0.1，由贝叶斯公式，得 当原发信号为“ ”时，收到“不清”的概率为 =)( ABP)()()()()
8、()(BAPBPBAPBPBAPBP+75.01.04.02.06.02.06.0=+= ； 当原发信号为“”时，收到“不清”的概率为 =)( ABP 25.075.01)(1 = ABP 。 因为 )(25.075.0)( ABPABP = ，所以收到“不清”时，原发信号为“ ”的可能性比较大。 1.6 设 CBA , 相互独立 ,试证 A B 与 C 相互独立。 证 因为 CBA , 相互独立，有 )()( BCACPCBAP = )()( ABCPACP = )()()()()( CPBPAPCPAP = )()()()( CPBPAPAP = )()()( CPABPAP = )()(
9、 CPBAP = ， 所以， BA 与 C 相互独立。 1.7 口袋中有 5 个球，分别标有号码 1， 2， 3， 4， 5，现从这口袋中任取 3 个球。 （ 1）设 是取出球中号码的最大值，求 的概率分布，并求出 4 的概率； （ 2）设 是取出球中号码的最小值，求 的概率分布，并求出 3 的概率。 解 （1）从 5 个球中取 3 个球，最大号码为 k ，相当于先取 1 个号码为 k 的球，再从号码小于 k 的 1k 个球中取 2 个球，所以 352111CCCkPk=1021=kC（ 5,4,3=k ） 。 由此求得 的概率分布为 3 4 5 ixP =1.0 3.0 6.0 4.03.0
10、1.0434 =+=+= PPP ； （2）从5 个球中取 3 个球，最小号码为 k ，相当于先取 1 个号码为 k 的球，再从号码大于 k的 k5 个球中取 2 个球，所以 352511CCCkPk=1025 kC= （ 3,2,1=k ） 。 由此求得 的概率分布为 1 2 3 jyP = 6.0 3.0 1.0 03 =P 。 1.8 设随机变量 、 都服从二项分布， ),2( pb ， ),3( pb 。已知951 =P ，试求 1 P 的值。 解 由 95)1(10112= pPP 可解得 32941 = p ，因为01 p ，舍去负值，得到321 = p ，即有 31=p 。 所以
11、 27192781)311(1)1(101133= pPP 。 1.9 某商店出售某种商品，据以往经验，月销售量服从普阿松分布 )3(P 。问在月初进货时要库存多少此种商品，才能以 99%的概率充分满足顾客的需要。 解 设月初要进货 a件， 是月销售量， )3(P 。要满足顾客需要，必须有 a ，根据题意，要有 =akkPaP0 =akkk03e!399.0 。 直接计算或查书后附录中普阿松分布的概率表，可以求得： 370e!3=kkk 99.0988.0 。 由此可见，月初至少要进货 8 件，才能以 %99 以上的概率满足顾客的需要。 1.10 已知随机变量 的概率密度为xAex=)( ，
12、（ +=000e1)(2xxxFx。 （ 1）122e)e1(1)2(1212= FPP 367879.0 ； （ 2）910910=PPP212921029210eee)e1(1)e1(1= 606531.0 。 1.13 某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布 ),72(2N ，且 96 分以上占学生总数的 2.3%，试求考生的外语成绩在 60 至 84 分之间的概率。 解 设 是学生外语成绩， ),72(2N ，已知 023.0)24(1)7296(196 =P ， 即有 977.0)24( =，查表得 9954.124=，9954.124= 12 ，于是有 84
13、60 P )7260()7284(= )127260()127284( )1(1)1()1()1( += 6826.08413.018413.0 =+= 。 1.14 设 ()0,1N .求： （1）221= + 的概率密度； （2） = 的概率密度. 解 因为 )1,0(N ， 的概率密度为 22e21)(xx=。 （ 1）当 )0,(x 时 , 12)(2+= xxfy 严格单调下降 ,反函数为21)(11=yyfx , ),1( +y ，)1(221)21()(dd11=yyyfy。 +=其它0),1()1(221e21)(dd)()(2)21(111112yyyfyyfyy =101e
14、)1(4141yyyy； 当 ),0( +x 时， 12)(2+= xxfy 严格单调上升，反函数为21)(12=yyfx , ),1( +y ，)1(221)21()(dd12=yyyfy。 +=其它0),1()1(221e21)(dd)()(2)21(121222yyyfyyfyy =101e)1(4141yyyy； =+=101e)1(21)()()(4121yyyyyyy； （ 2）当 )0,(x 时， xxfy = )( 严格单调下降，反函数为 yyfx =)(11，),0( +y ， 1)()(dd11=yyfy。 +=其它0),0(1e21)(dd)()(2)(111112yyf
15、yyfyy=000e2122yyy； 当 ),0( +x 时， xxfy = )( 严格单调上升，反函数为 yyfx =)(12，),0( +y ， 1)(dd12=yyfy。 +=其它0),0(1e21)(dd)()(2121222yyfyyfyy=000e2122yyy； =+=000e2)()()(2212yyyyyy。 1.15 袋中有 5 只乒乓球，编号为 1， 2， 3， 4， 5。现从中任取 3 只乒乓球，乒乓球的最大编号的数学期望。 解 从 5 个球中任取 3 个球，共有35C 种取法。取到球的最大号码为 i，最小号码为 j ，相当于先取 1 个号码为 i的球和 1 个号码为
16、j 的球， 再从号码小于 i大于 j 的 1 ji 个球中取 1 个球，有111111CCCji 种取法。所以 ),( 的联合概率分布为 35111111,CCCCjiPji = 1011=iiC（ 5,4,3=i ； 3,2,1=j ） 。 1 2 3 3 1010 0 4 1021010 5 1031021011.16 设二维随机变量 ),( 的联合分布函数为 23x yF( x,y ) A( B arctan )(C arctan )=+ + 求 :（ 1） A,B,C 的值 ; （ 2） ),( 的联合概率密度函数 ; (3)边缘分布函数及边缘概率密度函数 . 解 （ 1） 由二维随机
17、变量分布函数的性质可知 +=+=+=+=+=+=)3()2)(2(),(1)2()2)(2(),(0)1()2)(2(),(0CBAFCBAFCBAF由（ 3）得 )2)(2(1+=CBA （ 4） （ 4）代入（ 1）得 22)2)(2()2)(2(0+=+=BBCBCB，解得2=B ； （ 4）代入（ 2）得 22)2)(2()2)(2(0+=+=CCCBCB，解得2=C ； 再将2=B 和2=C 代入（ 4） ，求得 21=A 。 ),( 的联合分布函数为 )3arctan2)(2arctan2(1),(2yxyxF +=。 （ 2） ),( 的联合概率密度为 )9)(4(6)3(131
18、)2(1211),(),(2222222+=+=yxyxyxFyxyx 。 （ 3） , 的边缘分布函数为 2arctan121),()(xxFxF+=+= ，3arctan121),()(yyFyF+=+= ； , 的边缘概率密度为 )4(2)(dd)(2+=xxFxx，)9(3)(dd)(2+=yyFyy。 1.17 设随机变量 与 独立， 服从 0,2 上的均匀分布， 服从指数分布()2E ，求： （1）二维随机变量(), 的联合密度函数； （2） P 的值. 解 （ 1）由 )2,0(U ，可知 =其它02021)(xx ； 由 )2(E ，可知 =000e2)(2yyyy ； 因为
19、, 相互独立，所以（ , ）的联合概率密度为 )()(),( yxyx = =时当时当11001300因为 )41(E ，所以 的概率密度为=00041)(4xxexx 。 E+= xxxfEf d)()()( =104d41)300( xex+ +14d41100 xex4141100)1(300+= ee41400300+= e 52.11 。 解法二 设 为该厂售出一个产品的获利。 1300 = PP=1d)( xx=104d41xex411= e ， 1100 = PP+=1d)( xx+ =14d41xex41= e ， 的概率分布为 300 100 jyP =411e 41e 所以
20、 =21jjjyPyE 4141100)1(300+= ee41400300+= e 52.11 。 1.20 设随机变量 的分布为 -2 0 2 P 0.4 0.3 0.3 求()2; 2EDE + 的值. 解 ()() ( )()2222222222 0.4 0 0.3 2 0.3 0.22 0.4 0 0.3 2 0.3 2.82.8 0.2 2.762 2 4.8EEDE EEE = + + = + + = =+= +=1.21 已知二维随机变量的联合概率密度为 时，保险公司在此项保险中亏本，其概率为 250 P )6.199200250(1 )539.3(1 0002.0 ； （2）若要 800010000020 80000 ，必须有 240 ，这时，概率为 240 P )6.199200240( )831.2( 9977.0 。
