数理统计课后答案-第三章.pdf

1、 1习题三 3.1 设 的概率密度为 是未知参数， ),(21 nXXX L 是 的样本，求 的矩法估计。 解 +=+=101101d)()1(d)1()1(d)( xxxxxxxxxxE 102121)1(+=+xx2)2)(1(1)1(+=+= 。 解方程 XE =+2, 得到矩法估计 XX=12 。 3.2 设 的概率密度为 是未知参数，),(21 nXXX L 是 的样本，求： （1） 的矩法估计； （2） 的极大似然估计。 解 (1) 1dd)(101+=+xxxxxxE 。 解方程 XE =+1, 得到矩法估计 XX=1 。 (2) 先求似然函数： =niixL1)(= 是未知参数

2、， ),(21 nXXX L 是 的样本，求： （1） 的矩法估计； （2） 的极大似然估计。 解 (1) 因为 )(P （Poisson 分布） ， =E , 所以矩法估计为 XE =。 （2）似然函数 =niixPL1=ni ixxi1e!nniixxnii=e!11， Lln nxxniinii= 11!lnln 。 解方程 =dlnd L01=nxnii，得到极大似然估计 XXnnii=11 。 3.4 设总体 服从几何分布，概率分布为 ppkPk 1)1(= ， L,2,1=k ， 其中， 10 是未知参数， ),(21 nXXX L 是 的样本，求 的极大似然估计。 解 似然函数

3、=niixL1)(=nixi1e21=niixnn11e21。 Lln=niixnn11ln2ln 。 解方程 =dlnd L0112=+=niixn， 得到极大似然估计 XXnnii=11 。 3.7 已知总体 服从 Maxwell 分布，概率密度为 =000e4)(2232xxaxxax 其中， 0a 是未知参数， ),(21 nXXX L 是 的样本，求 a 的极大似然估计。 解 似然函数 =niixL1)(=其他0),2,1(0e413222nixaxiniaxiiL5=其他00mine412212312iixannniinxaxnii。 当 0L 时，对 L 取对数，得到 =+=ni

4、iniixananxnL12211ln2ln3ln24lnln 。 解方程 =aLdlnd023123=+=niixaan，得到=niixna1232，因为 0a ，负根舍去，得到极大似然估计 =niiXna1232232X= 。 3.8 设总体 服从对数正态分布，概率密度为 =0002)(lnexp21)(22xxxxx ， 其中，2, 都未知， ),(21 nXXX L 是 的样本，求 和 2 的极大似然估计。 解 似然函数 =其他0),2,1(02)(lnexp21)(1221nixxxxLiniiiniiL =其他）（00min)(ln21exp1212212iiniini innxx

5、x， 取对数 =niiniixxnnL1221)(ln21lnln)2ln(2ln ， 求导，列方程 =+=)2(0)(ln1ln)1(0)ln(1)(ln22ln1231212niiniiniixnLnxxL从（1）解得 xxnniilnln11= ，代入（2）可解得 =niixxn122)ln(ln1 ， 6所以， 和2 的极大似然估计为 Xln = 和 =niiXXn122)ln(ln1 。 3.9 设总体 服从 1,1 + 上的均匀分布，概率密度为 +=其他01121)(xx 其中， 是未知参数， ),(21 nXXX L 是 的样本，求 的极大似然估计。 解 似然函数 =niixL1

6、)(=+=其他0,2,1,11211nixiniL+=其他01maxmin121iiiinxx+=其他01min1max21iiiinxx 。 可以看出，当且仅当 1min,1max +iiiixx 时，似然函数 L取到最大值n21，其他情况下 0=L 。所以，根据极大似然估计的定义，区间 1min,1max +iiiiXX 中的任何一个值都是 的极大似然估计，也就是有 1min,1max +iiiiXX 。 3.10 设总体 的概率分布为 0 1 2 kP = 31 2 其中， （310 是未知参数， ),(21 nXXX L 是 的样本。 （ 1）求 的矩法估计 。问：这个矩法估计 是不是

7、 的无偏估计？（ 2）求 的极大似然估计 L。 解 （1） =+004544-54d4d)(xxxxxxE54= 。 解方程 XE =54，得到 的矩法估计 45X= 。 因为 =45)(XEE =5445)(45XE ，所以 是 的无偏估计。 （ 2）似然函数 =niixL1)(=其他0maxmin044413143iiiinniinniixxxx， 当 0L 时，对 L 取对数，得到 ln4ln34lnln1nxnLnii+=。 求导，列方程 04dlnd=nL，无解。但从nniinxL4134= 可以看出 越小， L 越大，但此式仅当 iixmax 才成立，所以 的极大似然估计 iiLX

8、max= 。 83.12 设 ),(21 nXXX L 是总体 ),0(2N 的样本，其中2 未知，求常数 c ，使 =niiXc12是 2 的无偏估计。 解 因为 ),(21 nXXX L 是 ),0(2N 的样本，所以 iX ),0(2N ，有0)( =iXE ，2)( =iXD ，222220)()()( =+=+=iiiXEXDXE ， ni ,2,1 L= 。 2121212)( cncXEcXcEniniinii=。 要求 =niiXc12成为 2 的无偏估计，即要有 2122 =niiXcEcn ， 解这个方程，得到 nc1= 。 3.13 设 ),(21 nXXX L 是总体

9、),(2N 的样本，其中2, 未知，求常数 c，使 =+1121)(niiiXXc 是 2 的无偏估计。 解 因为 =+=+=11211121)()(niiiniiiXXEcXXcE =+=11211)()(niiiiiXXEXXDc =+=11211)()()()(niiiiiXEXEXDXDc =+=+=11222112)1(2)0()(nininccEEDDc 。 要求 =niiXc12成为 2 的无偏估计，即要有 21212)()1(2 =+niiiXXcEnc ， 解这个方程，得到 )1(21=nc 。 93.14 设总体 ),(2N ， （321, XXX ）是 的样本，证明下列统

10、计量都是 的无偏估计，并比较哪一个估计最有效： 1321525152XXX += ， 2321213161XXX += ， 23211214132XXX += 。 解 （1）因为 3211525152)( EXEXEXE += =+= EEEE525152， 3212213161)( EXEXEXE += =+= EEEE213161， 32131214132)( EXEXEXE += =+= EEEE1214132， 所以它们都是 的无偏估计； （2）因为 3211254251254)( DXDXDXD += DDD254251254+=2259259 = D ， 32124191361)(

11、 DXDXDXD += DDD4191361+=2187187 = D ， 3213144116194)( DXDXDXD += DDD144116194+=272377237 = D ， 由于 7237187259 是未知参数，),(21 nXXX L 是 的容量为 n（ 2n ）的样本 。 （1）求 的极大似然估计 ； （2）求总体 的分布函数 )(xF ； （ 3）求 的分布函数 )(xF； （ 4） 是不是 的无偏估计 ？ （5）求 的方差 )(D 。 解 （1）似然函数 =niixL1)(=其他0),2,1(12nixxiniiL=其他0min12iiniinxx。 当 0L 时，对

12、 L 取对数，得到 =niixnL1ln2lnln 。 求导，列方程 =dlnd L0=n，这一方程无解，说明不能通过解方程求出 的极大似然估计。 从似然函数的表达式 L=niinx12可以看出， 越大， L就越大，但此式成立的条件是 iixmin ，在其它情况下有 0=L ，所以，只有当 iixmin= 时，似然函数 L才能11取到最大值。因此，根据极大似然估计的定义， 的极大似然估计是 iiXmin= 。 （2） 的分布函数 =xttxF d)()( = ,121xXxXxXPn= L 121xXPxXPxXPn= L 1 xPxPxP = L 1111 xPxPxP = L nxF )(

13、11 =xxxxnnnn0)01(11111。 （ 4）iiXmin= 的概率密度 )(xxxFd)(d= +xxxnxnnnn0011 ， 的数学期望 )(E+= xxx d)(+=xxnxnnd1 += xxnnnd11=nn ， 所以， 不是 的无偏估计。 （ 5）因为 2 的数学期望 )(2E+= xxx d)(2&+=xxnxnnd12+= xxnnnd1122=nn， 所以， 的方差 22)()()( EED =22=nn21 nn22)1)(2( =nnn。 123.17 设随机地从一批钉子中抽取 8 枚，测得它们的长度（单位： cm）为 2.14， 2.10， 2.13， 2.

14、15， 2.12， 2.16， 2.13， 2.11。 设钉子的长度 ),(2N ，求长度的平均值 的置信水平为 95% 的置信区间。 考虑两种情况： （1）已知 01.0= cm ； （ 2） 未知。 解 8=n ， X 13.2= ， 02.0* =S 。 （ 1）已知 01.0= 。对 95.01 = ， 975.021 = ，查 )1,0(N 分布的分位数表，可得 9600.1975.021=uu。 0069.0801.09600.1021=nu， nuX21= 1231.20069.013.2 = ，nuX21+= 1369.20069.013.2 =+= 。 01.0= 时， 的置

15、信水平为 95% 的置信区间为 1369.2,1231.2 。 （ 2） 未知。对 95.01 = ， 975.021 = ， 7181 =n ，查 t 分布的分位数表可得 3646.2)7()1(975.021=tnt。 0167.0802.03646.2*)1(21=nSnt， 1133.20167.013.2*)1(21=nSntX ， 1467.20167.013.2*)1(21=+=+=nSntX 。 未知时， 的置信水平为 95% 的置信区间为 1467.2,1133.2 。 3.18 对铝的比重（单位： g/cm3）进行 16 次测量，测得样本均值 705.2=X ,样本标准差

16、029.0=S 。设样本来自正态总体 ),(2N ，求： （ 1）总体均值 的置信水平为 95% 的置信区间 ； （2）总体标准差 的置信水平为 95% 的置信区间。 13解 16=n ， 705.2=X ， 029.0=S ， 029951.0029.015161* = SnnS 。 （ 1） 对 95.01 = ，查 t 分布表可得 1314.2)15()1(975.021=tnt。 016.016029951.01314.2*)1(21=nSnt， 689.2016.0705.2*)1(21=nSntX ， 721.2016.0705.2*)1(21=+=+=nSntX 。 的水平为 9

17、5% 的置信区间为 721.2,689.2 。 （2） 013456.0029951.0)116(*)1(22= Sn 。 对 95.01 = ，查2 分布表，可得 262.6)15()1(2025.022= n ， 488.27)15()1(2975.0221=n 。 0004895.0488.27013456.0)1(*)1(2212=nSn ， 0021488.0262.6013456.0)1(*)1(222=nSn 。 0221.00004895.0 = ， 0464.00021488.0 = 。 的水平为 95% 的置信区间为 0464.0,0221.0 。 3.19 从自动车床生产

18、的螺丝钉中抽取 9只，测得质量（单位：g）如下： 53.5,49.5,44.5,21.5,58.5,24.5,40.5,29.5,42.5 。 设螺丝钉的质量 ),(2N ，求： （ 1） 的置信水平为 95% 的置信区间 ； （2） 的置信水平为 95% 的置信区间。 解 9=n ， 4.5=X ， 12903.0* =S 。 （ 1） 对 95.01 = ，查 t 分布表可得 3060.2)8()1(975.021=tnt。 14099.0912903.03060.2*)1(21=nSnt， 301.5099.04.5*)1(21=nSntX ， 499.5099.04.5*)1(21=+

19、=+=nSntX 。 的水平为 95% 的置信区间为 499.5,301.5 。 （2） 1332.012903.0)19(*)1(22= Sn 。 对 95.01 = ，查2 分布表，可得 180.2)8()1(2025.022= n ， 535.17)8()1(2975.0221=n 。 007596.0535.171332.0)1(*)1(2212=nSn ， 06110.0180.21332.0)1(*)1(222=nSn 。 08716.0007596.0 = ， 2472.006110.0 = 。 的水平为 95% 的置信区间为 2472.0,08716.0 。 3.20 某种炮弹

20、的炮口速度服从正态分布 ),(2N ，随机地取 9 发炮弹作试验，测得炮口速度的修正样本标准差 11* =S （ m/s） ，求 2 和 的置信水平为 95% 的置信区间。 解 9=n ， 96811)19(*)1(22= Sn 。 对 95.01 = ，查2 分布表，可得 180.2)8()1(2025.022= n ， 535.17)8()1(2975.0221=n 。 )1(*)1(2212=nSn 2.55535.17968= ， )1(*)1(222=nSn 444180.2968= 。 43.72.55 = ， 1.21444 = 。 2 的置信区间为 444,2.55 ； 的置信

21、区间为 1.21,43.7 。 153.21 设总体 )4,(N ，样本均值为 X ，要使得总体均值 的置信水平为 95.0 的置信区间为 560.0,056.0 + XX ，样本容量（样本观测次数） n 必须是多少？ 解 因为 在已知 0 = 的情况下， 的水平为 1 的置信区间为 ,021021nuXnuX+ ， 已知有 240= 。对 95.01 = ，查 )1,0(N 分布表，可得 9600.1975.021=uu。 现在，要有 560.0021=nu，即要有 2021560.0=un 497560.029600.122= 。 3.22 设用原料 A 和原料 B 生产的两种电子管的使用

22、寿命（单位： h）分别为 ),(211N 和 ),(222N ，其中 1 ，2 都未知，但已知21 = 。现对这两种电子管的使用寿命进行测试，测得结果如下： 原料 A 1460， 1550， 1640， 1600， 1620， 1660， 1740， 1820 原料 B 1580， 1640， 1750， 1640， 1700 求 21 的置信水平为 0.95 的置信区间。 解 8=m ， 25.1636=X ， 6.12169*2=xS ， 5=n ， 1662=Y ， 0.4220*2=yS 。 3267.962580.422046.1216972*)1(*)1(22=+=+=nmSnSm

23、Syxw。 对 05.0= ，查 t 分布表，可得 2010.2)11()2(975.021=+tnmt。 nmSnmtw11)2(21+87.12051813267.962010.2 =+= ， =nmStYXw1121+62.14687.120166225.1636 = ， =nmStYXw1121+12.9587.120166225.1636 =+= 。 21 的水平为 95% 的置信区间为 12.95,62.146 。 163.23 甲、乙两人相互独立地对一种聚合物的含氯量用相同的方法各作 10 次测定，测定值的样本方差分别为 5419.02=xS 和 6050.02=yS ，设测定值

24、服从正态分布，求他们测定值的方差之比的置信水平为 95% 的置信区间。 解 10=m ， 5419.02=xS ， 602111.01*22=xxSmmS ； 10=n ， 6050.02=yS ， 672222.01*22=yySnnS 。 22*yxSS 8957.0672222.0602111.0= 。 对 05.0= ，查 F 分布表，可得 03.4)9,9()1,1(975.021=FnmF， 248.003.41)9,9(1)1,1(1)1,1(975.0212=FmnFnmF。 )1,1(*2122=nmFSSyx 222.003.48957.0= ， )1,1(*222=nmF

25、SSyx 61.3248.08957.0= 。 2221 的水平为 95% 的置信区间为 61.3,222.0 。 3.24 设甲、 乙两种灯泡的使用寿命 (单位： 小时 )分别为 ),(211N 和 ),(222N 。从甲种灯泡中任取 5 只，测得样本均值 1000=X ，修正样本标准差 20* =xS ；从乙种灯泡中任取 7 只，测得样本均值 980=Y ，修正样本标准差 21* =yS 。 （1）假定已知21 = ，求21 的置信水平为 95 的置信区间； （2）求 21 的置信水平为 95 的置信区间。 解 (1) 606.2027521)17(20)15(2*)1(*)1(2222=

26、+=+=nmSnSmSyxw。 对 05.0= ，查 t 分布表，可得 2281.2)10()2(975.021=+tnmt。 nmSnmtw11)2(21+88.267151606.202281.2 =+= ， 17=nmStYXw1121+88.688.269801000 = ， =nmStYXw1121+88.4688.269801000 =+= 。 21 的水平为 95% 的置信区间为 88.46,88.6 。 (2) 22*yxSS 9070.0212022= 。 对 05.0= ，查 F 分布表，可得 23.6)6,4()1,1(975.021=FnmF， 1087.020.91)

27、4,6(1)1,1(1)1,1(975.0212=FmnFnmF。 )1,1(*2122=nmFSSyx 146.023.69070.0= ， )1,1(*222=nmFSSyx 34.81087.09070.0= 。 382.0146.0 = ， 89.234.8 = 。 21 的水平为 95% 的置信区间为 89.2,382.0 。 3.25 某汽车租赁公司欲估计顾客租赁汽车后的平均行驶里程，随机抽查了 200 名顾客根据行驶记录计算得平均行驶里程 325X = 公里，修正标准差*60S = 公里，求平均行驶里程置信水平为 0.9 的置信区间（提示：中心极限定理）. 解 由题意知 () =2*, , 200, 325, 60.NnXS 的90%的置信区间为() ()*0.95 0.95199 , 199 318.02,331.98SSxt xtnn += .