1、专题 02 数的整除性阅读与思考设 ， 是整数， 0，如果一个整数 使得等式 = 成立，那么称 能被 整除，或称 整abqabqab除 ，记作 | ，又称 为 的约数， 而 称为 的倍数解与整数的整除相关问题常用到以下知识：aa1数的整除性常见特征：若整数 的个位数是偶数，则 2| ；若整数 的个位数是 0 或 5，则 5| ；若整数 的各位数字之和是 3(或 9)的倍数，则 3| (或 9| )；aa若整数 的末二位数是 4(或 25)的倍数，则 4| (或 25| )；若整数 的末三位数是 8(或 125)的倍数，则 8| (或 125| )；若整数 的奇数位数字和与偶数位数字和的差是 1
2、1 的倍数，则 11| a2整除的基本性质设 ， ， 都是整数，有：abc若 | ， | ，则 | ；a若 | ， | ，则 |( )；b若 | ， | ，则 ， | ；c若 | ， | ，且 与 互质，则 | ；ca若 | ，且 与 互质，则 | 特别地，若质数 | ，则必有 | 或 | ab pbcpbc例题与求解【例 1】在 1，2，3，2 000 这 2 000 个自然数中，有_个自然数能同时被 2 和 3 整除，而且不能被 5 整除(“五羊杯”竞赛试题)解题思想：自然数 能同时被 2 和 3 整除，则 能被 6 整除，从中剔除能被 5 整除的数，即为所nn求【例 2】已知 ， 是正整
3、数( )，对于以下两个结论：abab在 ， ， 这三个数中必有 2 的倍数；在 ， ， 这三个数中必有 3 的倍数其中 ( )A只有正确 B只有正确C，都正确 D，都不正确(江苏省竞赛试题)解题思想：举例验证，或按剩余类深入讨论证明【例 3】已知整数 能被 198 整除，求 ， 的值13456abab(江苏省竞赛试题)解题思想：198=2911，整数 能被 9，11 整除，运用整除的相关特性建立 ， 的等13456b ab式，求出 ， 的值ab【例 4】已知 ， ， 都是整数，当代数式 7 2 3 的值能被 13 整除时，那么代数式abcabc5 7 22 的值是否一定能被 13 整除，为什么
4、？abc(“华罗庚金杯”邀请赛试题)解题思想：先把 5 7 22 构造成均能被 13 整除的两个代数式的和，再进行判断c【例 5】如果将正整数 M 放在正整数 左侧，所得到的新数可被 7 整除，那么称 M 为 的“魔mm术数”( 例如：把 86 放在 415 左侧，得到 86 415 能被 7 整除，所以称 86 为 415 的魔术数)，求正整数的最小值，使得存在互不相同的正整数 ， ， ，满足对任意一个正整数 ，在 ，n 1a2na1a， 中都至少有一个为 的“魔术数” 2an(2013 年全国初中数学竞赛试题)解题思想：不妨设 ( =1，2，3， ； =0，1，2，3，4，5，6) 至少有
5、一个为 的7iiaktnt m“魔术数” 根据题中条件，利用 ( 是 的位数 )被 7 除所得余数，分析 的取值10kimA i【例 6】一只青蛙，位于数轴上的点 ，跳动一次后到达 ，已知 ， 满足ka1kak1a| |=1，我们把青蛙从 开始，经 1 次跳动的位置依次记作 ： ， ， ， 1ka 1nnA23na 写出一个 ，使其 ，且 0；5A502345 若 =13， =2 012，求 的值；120a1a 对于整数 ( 2) ，如果存在一个 能同时满足如下两个条件：nnA =0； =0求整数 ( 2)被 4 除的余数，并说理理由1a123n(2013 年“创新杯”邀请赛试题)解题思想：
6、即从原点出发，经过 4 次跳动后回到原点，这就只能两次向右，两次150a向左为保证 0只需将“向右”安排在前即可2345a若 =13， =2 012，从 经过 1 999 步到 不妨设向右跳了 步，向左跳了 步，则10 20axy，解得 可见，它一直向右跳，没有向左跳932xy9xy设 同时满足两个条件： =0； =0由于 =0，故从原点出发，nA1a12a3na1经过( 1) 步到达 ，假定这( 1) 步中，向右跳了 步，向左跳了 步，于是kkakxky= ， = 1，则 =0( )( )( )kaxky23n23xnxy=2( )( )( )( )=2( ) 由于12nx2y3xnxy23
7、n12 =0，所以 ( 1)=4( )即 4| ( 1)1a23nan23n能力训练A 级1某班学生不到 50 人，在一次测验中，有 的学生得优， 的学生得良， 的学生得及格，则171312有_人不及格2从 1 到 10 000 这 1 万个自然数中，有_个数能被 5 或能被 7 整除(上海市竞赛试题)3一个五位数 能被 11 与 9 整除，这个五位数是_38ab4在小于 1 997 的自然数中，是 3 的倍数而不是 5 的倍数的数的个数是( )A532 B665 C133 D7985能整除任意三个连续整数之和的最大整数是( )A1 B2 C3 D6(江苏省竞赛试题)6用数字 1，2，3，4，
8、5，6 组成的没有重复数字的三位数中，是 9 的倍数的数有( )A12 个 B18 个 C20 个 D30 个(“希望杯”邀请赛试题)7五位数 是 9 的倍数，其中 是 4 的倍数，那么 的最小值为多少？abcdeabcdabcde(黄冈市竞赛试题)81，2，3，4，5，6 每个使用一次组成一个六位数字 ，使得三位数 ， ， ，abcdefabcde能依次被 4，5，3，11 整除，求这个六位数def(上海市竞赛试题)9173是个四位数字，数学老师说：“我在这个中先后填入 3 个数字，所得到的 3 个四位数，依次可被 9，11，6 整除 ”问：数学老师先后填入的这 3 个数字的和是多少？(“华
9、罗庚金杯”邀请赛试题)B 级1若一个正整数 被 2，3，9 这八个自然数除，所得的余数都为 1，则 的最小值为a a_， 的一般表达式为_(“希望杯”邀请赛试题)2已知 ， 都是正整数，若 1 30，且 能被 21 整除，则满足条件的数对( ， )mnmn mn共有_个(天津市竞赛试题)3一个六位数 能被 33 整除，这样的六位数中最大是_198xy4有以下两个数串 同时出现在这两个数串中的数的个,357,193,5197,40806 数共有( )个A333 B334 C335 D3365一个六位数 能被 12 整除，这样的六位数共有( )个19abA4 B6 C8 D126若 1 059，1
10、 417，2 312 分别被自然数 除时，所得的余数都是 ，则 的值为( )nmnA15 B1 C164 D1747有一种室内游戏，魔术师要求某参赛者相好一个三位数 ，然后，魔术师再要求他记下五个abc数： ， ， ， ， ，并把这五个数加起来求出和 N只要讲出 的大小，魔术师就acbcabca能说出原数 是什么如果 N=3 194，请你确定 c(美国数学邀请赛试题)8一个正整数 N 的各位数字不全相等，如果将 N 的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最小数，若最大数与最小数的差正好等于原来的数 N，则称 N 为“拷贝数” ，试求所有的三位“拷贝数” (武汉市竞赛试题)9一个六位数，如
11、将它的前三位数字与后三位数字整体互换位置，则所得的新六位数恰为原数的6 倍，求这个三位数(“五羊杯”竞赛试题)10一个四位数，这个四位数与它的各位数字之和为 1 999，求这个四位数，并说明理由(重庆市竞赛试题)11从 1，2，9 中任取 个数，其中一定可以找到若干个数(至少一个，也可以是全部) ，它们n的和能被 10 整除，求 的最小值(2013 年全国初中数学竞赛试题)专题 02 数的整除性例 1 267 提示：33366267例 2 C 提示：关于的证明：对于 a，b 若至少有一个是 3 的倍数，则 ab 是 3 的倍数若 a，b都不是 3 的倍数，则有：(1)当 a3m 1，b3n1
12、时，ab3(mn)；(2) 当 a3m1，b3n2时，ab3(mn1)；(3) 当 a3m 2，b3n1 时，ab3( mn1)；(4) 当a3m2，b3n2 时，a b3( mn).例 3 a8b0 提示：由 9(19ab) 得 ab8 或 17；由 11|(3ab)得 ab8 或3例 4 设 x，y，z，t 是整数，并且假设 5a7b22cx(7a2b3c) 13(yazbtc). 比较上式a，b，c 的系数，应当有 ，取 x3，可以得到 y2，z1，t1，2137txzy则有 13 (2abc)3(7a2b3c)5a7b22c既然 3(7a2b3c)和 13(2abc)都能被 13 整除
13、，则 5a7b22c 就能被 13 整除例 5 考虑到“魔术数”均为 7 的倍数，又 a1，a2，a n互不相等，不妨设 a1 a 2a n，余数必为 1，2，3，4，5，6，0，设 aik it (i1，2，3， ，n；t0，1，2，3，4，5，6)，至少有一个为 m 的“魔术数” ，因为 ai10km (k 是 m 的位数) ，是 7 的倍数，当 ib 时，而 ait 除以 7 的余数都是 0，1，2，3，4，5，6 中的 6 个；当 i7 时，而 ai10k除以 7 的余数都是 0，1，2，3，4，5，6这 7 个数字循环出现，当 i 7 时，依抽屉原理，a i10k与 m 二者余数的和
14、至少有一个是 7，此时ai10k m 被 7 整除，即 n 7例 6 (1)A5： 0，1，2，1，0.(或 A5：0，1，0，1，0) (2)a1000139991 012 (3)n 被 4 除余数为 0 或 1A 级11 23 143 339 798 4A 5C 6B7五位数 10 e.又 为 4 的倍数故最值为 1 000，又因为 为 9 的倍数故abcde abcd abcd abcde1000e 能被 9 整除，所以 e 只能取 8因此 最小值为 10 008.abcde8324 561 提示：dfe 是 11 的倍数，但 6df5611，1e6，故 0dfe10，因此dfe0，即
15、5fe ，又 ed，f1，故 fl，e6，919 提示：173的和能被 9 整除，故里只能填 7，同理，得到后两个数为 8，4B 级12 521 a2 520n1(nN ) 2573719 895 提示：这个数能被 33 整除，故也能被 3 整除于是，各位数字之和( x1989y)也能被 3 整除，故 xy 能被 3 整除4B 5B6A 提示：两两差能被 n 整除， n179，m 1647由题意得 3 194，两边加上 得 222(abc)3194 acb bac bca cab cba abc abc222(abc) 2221486 则 86 是 222 的倍数abc abc且 abc14设
16、 86222n 考虑到 是三位数，依次取 n1，2，3，4.分别得出 的可能值abc abc abc为 136，358，580，802，又因为 abc14故 358abc8设 N 为所求的三位“拷贝数 ”，它的各位数字分别为 a，b，c(a，b，c 不全相等) 将其数码重新排列后，设其中最大数为 ，则最小数为 故 N (100a10bc) (100c10ba)abc cba abc cba99(ac) 可知 N 为 99 的倍数这样的三位数可能是 198，297，396，495，594，693，792，891，990而这 9 个数中，只有 954 459495.故 495 是唯一的三位“拷贝数
17、” 9设原六位数为 ，则 6 ，即 6(1000 )1000 ，所以 994abcdef abcdef defabc abc def def abc5 999 ，即 142 857 ， (142，857) 1， 142| ，857| ，而 ， 为三位def abc def abc abc def abc def数， 142， 857，故 142857abc def abcdef10设这个数为 ，则 1 000a100b10cdab cd1 999，即 1 001a101b11c2d1 abcd999，得 a1，进而 101b11c2d998，101b998117881，有 b9，则 11c2d
18、89，而02d18，7111c89，推得 c7，d6，故这个四位数是 1 97611当 n4 时，数 1，3，5，8 中没有若干个数的和能被 10 整除当 n5 时，设 a1a2，a 5 是1，2，9 中的 5 个不同的数，若其中任意若干个数，它们的和都不能被 10 整除，则 中,不可能同时出现 1 和 9，2 和 8，3 和 7，4 和 6，于是 中必定有一个为 5，若125,a中含 1，则不含 9，于是，不含 ，故含 6；不含 ,故含 7；125,a (50)3(610)不含 ,故含 8；但是 5+7+8=20 是 10 的倍数, 矛盾. 若 中含 9, 则不含 1, 于(70) 125,a是不含 故含 4; 不含 故含 3; 不含 故含 2; 但是6952,7(4920),8(930),是 10 的倍数, 矛盾. 综上所述,n 的最小值为 55321
