1、二 数的整除性(二)年级 班 姓名 得分 一、填空题1. 一个六位数 2356是 88 的倍数,这个数除以 88 所得的商是_或_.2. 123456789,这个十一位数能被 36 整除,那么这个数的个位上的数最小是_.3. 下面一个 1983 位数 333444 中间漏写了一个数字(方框),已知这991 个 991 个个多位数被 7 整除，那么中间方框内的数字是_.4. 有三个连续的两位数,它们的和也是两位数,并且是 11 的倍数.这三个数是_.5. 有这样的两位数,它的两个数字之和能被 4 整除,而且比这个两位数大 1的数,它的两个数字之和也能被 4 整除.所有这样的两位数的和是_.6.
2、一个小于 200 的自然数,它的每位数字都是奇数,并且它是两个两位数的乘积,那么这个自然数是_.7. 任取一个四位数乘 3456,用 A 表示其积的各位数字之和 ,用 B 表示 A 的各位数字之和,C 表示 B 的各位数字之和,那么 C 是 _.8. 有 0、1、4、7、9 五个数字，从中选出四个数字组成不同的四位数，如果把其中能被 3 整除的四位数从小到大排列起来，第五个数的末位数字是_.9. 从 0、1、2、4、5、7 中，选出四个数，排列成能被 2、3、5 整除的四位数，其中最大的是_.10. 所有数字都是 2 且能被 666 整除的最小自然数是_位数.100 个 二、解答题11. 找出
3、四个互不相同的自然数,使得对于其中任何两个数,它们的和总可以被它们的差整除,如果要求这四个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小,那么这四个数里中间两个数的和是多少？12只修改 21475 的某一位数字,就可知使修改后的数能被 225 整除,怎样修改？13500 名士兵排成一列横队.第一次从左到右 1、2、3、4、5（1 至 5）名报数；第二次反过来从右到左 1、2、3、4、5、6（1 至 6）报数，既报 1 又报6 的士兵有多少名？14试问,能否将由 1 至 100 这 100 个自然数排列在圆周上,使得在任何 5个相连的数中,都至少有两个数可被 3 整除？如果回答：“可以” ，则只要举出一种
4、排法；如果回答：“不能” ，则需给出说明.答 案1. 2620 或 2711一个数如果是 88 的倍数,这个数必然既是 8 的倍数,又是 11 的倍数.根据 8的倍数,它的末三位数肯定也是 8 的倍数,从而可知这个六位数个位上的数是 0或 8.而 11 的倍数奇偶位上数字和的差应是 0 或 11 的倍数,从已知的四个数看,这个六位数奇偶位上数字的和是相等的,要使奇偶位上数字和差为 0,两个方框内填入的数字是相同的,因此这个六位数有两种可能23 0 56 0 或 23 8 56 8 又 230560 88=2620238568 88=2711所以,本题的答案是 2620 或 2711.2. 0因
5、为 36=9 4,所以这个十一位数既能被 9 整除,又能被 4 整除.因为1+2+9=45，由能被 9 整除的数的特征， （可知+之和是 0（0+0） 、9（1+8，8+1，2+7，7+2，3+6，6+3，4+5，5+4）和 18（9+9）.再由能被 4 整除的数的特征:这个数的末尾两位数是 4 的倍数,可知是00,04,，36，72，96.这样,这个十一位数个位上有 0,2,6 三种可能性.所以,这个数的个位上的数最小是 0.3. 6333444991 个 991 个=333 10993+34 10990+444990 个 990 个 因为 111111 能被 7 整除，所以 333 和 4
6、44 都能被 7 整除,所以只要990 个 990 个34 能被 7 整除，原数即可被 7 整除.故得中间方框内的数字是 6.4. 10,11,12 或 21,22,23 或 32,33,34.三个连续的两位数其和必是 3 的倍数,已知其和是 11 的倍数,而 3 与 11 互质,所以和是 33 的倍数,能被 33 整除的两位数只有 3 个,它们是 33、66、99.所以有当和为 33 时,三个数是 10,11,12；当和为 66 时,三个数是 21,22,23；当和为 99 时,三个数是 32,33,34.注“三个连续自然数的和必能被 3 整除”可证明如下：设三个连续自然数为 n,n+1,n
7、+2,则n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1)所以， 能被 3 整除.)2()1n5. 118符合条件的两位数的两个数字之和能被 4 整除,而且比这个两位数大 1 的数,如果十位数不变,则个位增加 1,其和便不能整除 4,因此个位数一定是 9,这种两位数有:39、79.所以,所求的和是 39+79=118. 6 195因为这个数可以分解为两个两位数的积，而且 15 15=225200,所以其中至少有 1 个因数小于 15,而且这些因数均需是奇数,但 11 不可能符合条件,因为对于小于 200 的自然数凡 11 的倍数,具有隔位数字之和相等的特点,个位百位若是奇数,十位必是偶数.所以
8、只需检查 13 的倍数中小于 200 的三位数 13 13=169不合要求,13 15=195 适合要求.所以,答案应是 195.7. 9根据题意,两个四位数相乘其积的位数是七位数或八位数两种可能.因为 3456=384 9,所以任何一个四位数乘 3456,其积一定能被 9 整除,根据能被 9 整除的数的特征,可知其积的各位数字之和 A 也能被 9 整除,所以 A 有以下八种可能取值:9,18,27,36,45,54,63,72.从而 A 的各位数字之和 B 总是 9,B的各位数字之和 C 也总是 9.8. 90+1+4+7+9=21 能被 3 整除,从中去掉 0 或 9 选出的两组四个数字组
9、成的四位数能被 3 整除.即有 0,1,4,7 或 1,4,7,9 两种选择组成四位数,由小到大排列为:1047,1074,1407,1470,1479,1497.所以第五个数的末位数字是 9.9. 7410根据能被 2、3、5、整除的数的特征，这个四位数的个位必须是 0，而十位、百位、千位上数字的和是 3 的倍数。为了使这个四位数尽可能最大，千位上的数字应从所给的 6 个数字中挑选最大的一个.从 7 开始试验,7+4+1=12,其和是 3 的倍数,因此其中最大的数是7410.10. 300666=2 3 111100 个 100 个显然连续的 2 能被 2 整除,而要被 3 整除,2 的个数
10、必须是 3 的倍数,又要被111 整除,2 的个数必须是 100 的倍数,所以,最少要有 300 个连续的 2 方能满100 个足题中要求.答案应填 300.11. 如果最小的数是 1,则和 1 一起能符合“和被差整除”这一要求的数只有 2 和 3 两数，因此最小的数必须大于或等于 2.我们先考察 2、3、4、5 这四个数,仍不符合要求,因为 5+2=7,不能被 5-2=3 整除.再往下就是 2、3、4、6,经试算,这四个数符合要求.所以,本题的答案是(3+4)=7.12. 因为 225=25 9,要使修改后的数能被 25 整除,就要既能被 25 整除,又能被 9 整除,被 25 整除不成问题
11、,末两位数 75 不必修改,只要看前三个数字即可,根据某数的各位数字之和是 9 的倍数,则这个数能被 9 整除的特征,因为2+1+4+7+5=19,19=18+1,19=27-8,所以不难排出以下四种改法:把 1 改为 0；把4 改为 3；把 1 改为 9；把 2 改为 1.13. 若将这 500 名士兵从右到左依次编号,则第一次报数时,编号能被 5 整除的士兵报 1；第二次报数时，编号能被 6 整除的士兵报 6，所以既报 1 又报 6的士兵的编号既能被 5 整除又能被 6 整除，即能被 30 整除，在 1 至 500 这 500个自然数中能被 30 整除的数共有 16 个，所以既报 1 又报 6 的士兵共有 16 名.14. 不能.假设能够按照题目要求在圆周上排列所述的 100 个数,我们来按所排列顺序将它们每 5 个分为一组,可得 20 组,其中每两组都没有共同的数,于是,在每一组的 5 个数中都至少有两个数是 3 的倍数.从而一共有不少于 40 个数是 3 的倍数.但事实上,在 1 至 100 的自然数中有 33 个数是 3 的倍数,导致矛盾.
