1、1 1.1 变化率与导数1.1.1 变化率问题自学引导1.通过实例分析，了解平均变化率的实际意义2会求给定函数在某个区间上的平均变化率.课前热身1.函数 f(x)在区间 x1， x2上的平均变化率为 _. y x2平均变化率另一种表示形式：设 x x x0，则 _，表示 y x函数 y f(x)从 x0到 x 的平均变化率. 1.fx2 fx1x2 x1 答 案 2.fx0 x fx0x 名师讲解1.如何理解 x ， y 的含义x 表示自变量 x 的改变量，即 x x2 x1； y 表示函数值的改变量，即 y f(x2) f(x1)2求平均变化率的步骤求函数 y f(x)在 x1， x2内的平
2、均变化率(1)先计算函数的增量 y f(x2) f(x1)(2)计算自变量的增量 x x2 x1.(3)得平均变化率 . y x f x2 f x1x2 x1对平均变化率的认识函数的平均变化率可以表现出函数在某段区间上的变化趋势，且区间长度越小，表现得越精确如函数 ysin x 在区间0，上的平均变化率为 0，而在0， 上的平均变化率为 . 2sin 2 sin0 2 0 2在平均变化率的意义中， f(x2) f(x1)的值可正、可负，也可以为零但x x2 x10.2典 例 剖 析 题型一 求函数的平均变化率例 1 一物体做直线运动，其路程与时间 t 的关系是 S3 t t2.(1)求此物体的
3、初速度；(2)求 t0 到 t1 的平均速度分析 t0 时的速度即为初速度，求平均速度先求路程的改变量 S S(1) S(0)，再求时间改变量 t 101.求商 就可以得到平均速度 S t解 (1)由于 v 3 t.St 3t t2t当 t0 时， v03，即为初速度(2)S S(1) S(0)311 202t 101 2.v S t 21从 t0 到 t1 的平均速度为 2.误区警示 本题1 不要认为 t0 时， S0.所以初速度是零.变式训练 1 已知函数 f(x) x2 x 的图像上一点(1，2)及邻近一点(1 x ，2 y )，则 ( ) y xA3 B3 x ( x )2C3( x
4、)2 D3 x解析 y f(1 x ) f(1)(1 x )2(1 x )(2)( x )23 x . x 3 y x x 2 3 x x答案 D题型二 平均变化率的快慢比较例 2 求正弦函数 ysin x 在 0 到 之间及 到 之间的平均变化率并 6 3 2比较大小分析 用平均变化率的定义求出两个区间上的平均变化率，再比较大小解 设 ysin x 在 0 到 之间的变化率为 k1，则 63k1 .sin 6 sin0 6 0 3ysin x 在 到 之间的平均变化率为 k2， 3 2则 k2 .sin 2 sin 3 2 31 32 6 3 2 3 k1 k2 0，3 3 2 3 3 3
5、1 k1k2.答：函数 ysin x 在 0 到 之间的平均变化率为 ，在 到 之间的平均 6 3 3 2变化率为 ，且 .3 2 3 3 3 2 3变式训练 2 试比较余弦函数 ycos x 在 0 到 之间和 到 之间的平均 3 3 2变化率的大小解 设函数 ycosx 在 0 到 之间的平均变化率是 k1，则3k1 .cos3 cos03 0 32函数 ycosx 在 到 之间 的平均变化率是 k2，3 2则 k2 .cos 2 cos 3 2 3 3 k1 k2 ( ) 0，32 3 32 k1k2.函数 ycos x 在 0 到 之间的平均变化率大于在 到 之间的平均变化 3 3 2
6、率题型三 平均变化率的应用例 3 已知一物体的运动方程为 s(t) t22 t3，求物体在 t1 到4t1 t 这段时间内的平均速度分析 由物体运动方程 写出位移变化量 s s t解 物体在 t1 到 t1t 这段时间内的位移增量s s(1t)s(1)(1t) 2 2(1t)3(1 2213)(t )24t.物体在 t1 到 t1t 这段时间内的平均速度为 4t.st t2 4tt变式训练 3 一质点作匀速直线运动，其位移 s 与时间 t 的关系为 s(t) t21，该质点在2,2 t (t 0)上的平均速度不大于 5，求 t 的取值范围解 质点在2,2 t 上的平均速度为v s 2 t s
7、2 t 2 t 2 1 22 1 t 4 t .4 t t 2 t又 5，4 t 5.v t 1，又 t 0， t 的取值范围为(0,1. 1.1 函数的单调性与极值1.1.2 导数的概念自 学 引 导1.经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念建立的一些实际背景2了解瞬时变化率的含义，知道瞬时变化率就是导数3掌握函数 f(x)在某一点 x0处的导数定义，并且会用导数的定义求一些5简单函数在某一点 x0处的导数.课 前 热 身1.瞬时速度设物体的运动方程为 S S(t)，如果一个物体在时刻 t0时位于 S(t0)，在时刻 t0 t 这段时间内，物体的位置增量是 S S(t0 t )
8、 S(t0)那么位置增量 S 与时间增量 t 的比，就是这段时间内物体的_，即 v.S t0 t S t0 t当这段时间很短，即 t 很小时，这个平均速度就接近时刻 t0的速度 t 越小， 就越接近于时刻 t0的速度，当 t 0 时，这个平均速度的极v限 v 就是物体在时刻 t0的速度lim t 0 S t lim t 0S t0 t S t0 t即为_2导数的概念设函数 y f(x)在区间( a， b)上有定义， x0( a， b)，当 x 无限趋近 0 时，比值 无限趋近于一个常数 A，这个常数 A 就是函 y x f x0 x f x0 x数 f(x)在点 x x0处的导数，记作 f(
9、x0)或 y| x x0.用符号语言表达为f( x0) _lim x 0 y x1.平 均 速 度 瞬 时 速 度 答 案 2.limx 0 fx0 x fx0 名师讲解1.求瞬时速度的步骤(1)求位移增量 S S(t t ) S(t)；(2)求平均速度 ；v S t(3)求极限 ；lim t 0 S t lim t 0S t t S t t(4)若极限存在，则瞬时速度 v .lim t 0 S t62导数还可以如下定义一般地，函数 y f(x)在 x x0处的瞬时变化率是 lim x 0 .我们称它为函数 y f(x)在 x x0处的导f x0 x f x0 x lim x 0 y x数记作
10、 f( x0)或 y| x x0，即 f( x0) lim x 0 y x lim x 0.f x0 x f x0 x3对导数概念的理解(1)“导数”是从现实生活中大量类似问题里，撇开一些量的具体意义，单纯地抓住它们数量上的共性而提取出来的一个概念，所以我们应很自然的理解这个概念的提出与其实际意义(2)某点导数即为函数在这点的变化率某点导数概念包含着两层含义： 存在，则称 f(x)在 x x0处可导并且导数即为极限值；lim x 0 y x不存在，则称 f(x)在 x x0处不可导lim x 0 y x(3)x 称为自变量 x 的增量， x 可取正值也可取负值，但不可以为 0.(4)令 x x
11、0 x ，得 x x x0，于是f( x0) 与定义中的 f( x0) limx x0f x f x0x x0 lim x 0意义相同f x0 x f x0 x4求函数 y f(x)在点 x0处的导数的步骤(1)求函数的增量： y f(x0 x ) f(x0)；(2)求平均变化率： ； y x f x0 x f x0 x(3)取极限，得导数： f( x0) .lim x 0 y x典 例 剖 析 题型一 物体运动的瞬时速度例 1 以初速度 v0(v00)竖直上抛的物体， t 秒时高度为 s(t) v0t gt2，求物体在时刻 t0处的瞬时速度12分析 先求出 s ，再用定义求 ，当 t 0 时
12、的极限值 s t解 s v0(t0 t ) g(t0 t )2( v0t0 gt )( v0 gt0)12 12 20t g(t )2，127 v0 gt0 gt . s t 12当 t 0 时， v0 gt0. s t故物体在时刻 t0处的瞬时速度为 v0 gt0.规律技巧 瞬时速度 v 是平均速度 在 t 0 时的极限.因此， v v lim t 0v.lim t 0 s t变式训练 1 一作直线运动的物体，其位移 s 与时间 t 的关系是s5 t t2，求此物体在 t2 时的瞬时速度。解 s 5(2 t )(2 t )2(522 2) t ( t )2， 1 t . s t v (1 t
13、 )1.lim t 0 s t lim t 0物体在 t2 时的瞬时速度为 1.题型二 求函数在某点处的导数例 2 求函数 y 在 x1 处的导数x分析 根据导数的定义求导数是求函数的导数的基本方法解法 1 y 1，1 x y x 1 x 1 x x x 1 x 1 .11 x 1 .lim x 0 y x lim x 0 11 x 1 12 y| x1 .12解法 2 (先求导数，再求导数值)y ，x x x yx x x xx .1x x x8y .lim x 0 1x x x 12xy| x1 .12规律技巧 求函数 y f x 在 x x0处的导数有两种方法：一是应用导数定义；二是先求
14、导数再求导数值.变式训练 2 利用定义求函数 y x 的导数，并据此求函数在 x1 处的导1x数解 y ( x x ) ( x )1x x 1x1 ， y x 1x x x y lim x 0 y x 1 lim x 0 1x x x1 .1x2 y| x1 1 0.112 x ， xx x x题型三 导数的应用例 3 某物体按照 s(t)3 t22 t4 的规律作直线运动，求自运动开始到4s 时，物体运动的平均速度和 4s 时的瞬时速度分析 解答本题，可先求自运动开始到 ts 时的平均速度 v(t)及函数值的增量 s ，自变量的增量 t ，再利用公式求解即可解 自运动开始到 ts 时，物体运
15、动的平均速度 (t) 3 t2 ，v s tt 4t故前 4 秒物体的平均速度为 (t)342 15.v 44由于 s 3( t t )22( t t )4(3 t22 t4)(26 t)t 3( t )2， 26 t3 t . s t 26 t.lim t 0 s t4s 时物体的瞬时速度为 26426.9规律技巧 导数的物理意义：1 若已知位移 s 与时间 t 的函数关系 s s t ，则在 t0时刻的瞬时速度 v s t0 ；2 若已知速度 v 与时间 t 的函数关系 v v t ，则在 t0时刻的瞬时加速度 a v t0.变式训练 3 竖直上抛一小球，其位移与时间的关系为 h(t)10
16、0 t gt2，试求小球何时瞬时速度为 0(g9.8)12解 小球的运动方程为 h(t)100 t gt2，12 h 100( t t ) g(t t )2(100 t gt2)12 12 100 gt，lim t 0 h t令 100 gt0，得 t 10.2(s)100g 1009.8因此，小球被上抛 10.2s 时速度变为 0.100t gtt g(t )2.12例 4 已知质点 M 按规律 s at23(单位：cm)做直线运动，且质点 M 在t2s 时的瞬时速度为 8cm/s，求 a 的值分析 这是一道逆向思维的题目，知导数 s| t2 8，求系数 a，先对 s求导，可得含 a 的方程
17、解出 a 即可解 s a(2 t )23( a223)4 at a(t )2 (4a at )4 a.lim t 0 s t lim t 0依题意有 4a8， a2.变式训练 4 已知 f(x) ax b，且 f(1)2，求实数 a 的值解 y f(1 x ) f(1) a(1 x ) b( a b) ax . f(1) a a.lim x 0 y x lim x 0又 f(1)2， a2.10 1.1 函数的单调性与极值1.1.3 导数的几何意义 自 学 引 导 1.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义2会求函数在点(x 0，y 0)处的切线方程.课 前 热 身 1.几何意义： f(x)在
18、 x x0处的导数 f( x0)即为 f(x)所表示的曲线在x x0处的切线的斜率，即 k f( x0) lim x 0.过点( x0， f(x0)的切线方程为_f x0 x f x0 x2物理意义：如果把函数 y f(x)看作是物体的运动方程(或叫位移公式)，那么导数 f( x0)表示运动物体在时刻 t0的速度，即在 x0的_即vx0 f( x0) .lim x 0 y x3如果 f(x)在开区间( a， b)内每一点 x 的导数都存在，那么称 f(x)在区间(a， b)内可导这样对开区间( a， b)内每一个值 x，都对应一个确定的导数f( x)，于是在区间( a， b)内 f( x)构成
19、一个新的函数，我们把这个函数称为函数 y f(x)的_，记为_，简称为_今后，如不特别指明某一点的导数，求导数就是指求导函数. 1.y f(x0) f( x0)(x x0)2.瞬时速度答案3.导函数 f( x)(或 y x、 y) 导数名 师 讲 解 1.“函数 f(x)在点 x0处的导数” 、 “导函数” 、 “导数”三者之间的区别与联系：“函数 f(x)在点 x0处的导数”是一个数值；“导函数”简称“导数” ，是一个函数所以求函数在某点处的导数时，一般是先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值112可以利用导数求曲线的切线方程由于函数 y f(x)在 x x0处的导数，表示曲线在点 P(x
20、0， f(x0)处的切线的斜率因此，曲线 y f(x)在点P(x0， f(x0)处的切线方程可如下求得：(1)求出 f( x0)，则 f( x0)就是点 P(x0， f(x0)处的切线的斜率(2)代入直线的点斜式方程可得切线方程为y f(x0) f( x0)(x x0)如果曲线 y f(x)在点 P(x0， f(x0)处的切线平行于 y 轴时(此时导数不存在)，切线方程为 x x0.典 例 剖 析 题型一 求曲线上某点处的切线方程例 1 已知曲线 C： y x3.(1)求曲线 C 上横坐标为 1 的点处的切线方程；(2)第(1)小题中的切线与曲线 C 是否还有其他的公共点分析 先求出函数 y
21、x3在 x1 处的导数，即切线的斜率，然后写出切线方程，最后列方程看交点个数解 (1)将 x1 代入曲线 C 的方程得 y1，切点 P(1,1) y lim x 0 y x lim x 0 x x 3 x3 x lim x 03x2 x 3x x 2 x 3 x 3x23 xx ( x )23 x2，lim x 0 y| x1 3.过 P 点的切线方程为 y13( x1)，即 3x y20.(2)由Error!可得(x1)( x2 x2)0，解得 x11， x22，从而求得公共点为 P(1,1)或 P(2，8)说明切线与曲线 C 的公共点除了切点外，还有另外的公共点规律技巧 先求出函数 y f
22、 x 在 x x0处的导数，即曲线在该点处的切线斜率，再由直线方程的点斜式便可求出切线方程.12变式训练 1 求双曲线 y 在点( ，2)处的切线的斜率，并写出切线方程1x 12解 y ，1x k lim x 0 y x lim x 0 1x x 1x x .lim x 0 1x2 x x 1x2当 x 时， k4，切线斜率为 k4.12切线方程为 y24( x )，12即 4x y40.题型二 求过某点的切线方程例 2 求抛物线 y x2过点( ，6)的切线方程52分析 点( ，6)不在抛物线上，先设出切点坐标，求出切线的斜率，利用52等量关系，求出切点坐标，最后写出切线方程解 设此切线在抛
23、物线上的切点为( x0， x )，则20y| x x0 (2x0 x )2 x0，lim x 0 x0 x 2 x20 x lim x 0 2 x0，即 x 5 x060，解得x20 6x0 52 20x02，或 x03.即切线经过抛物线 y x2上的点(2,4)，(3,9)故切线方程分别为y44( x2)， y96( x3)，即 4x y40，或 6x y90 为所求的切线方程规律技巧 求切线方程时，注意两种说法：一是在某点处的切线方程，此时点在曲线上，且以此点为切点；二是过某点的切线方程，如本例，此时求解时，首先要设出切点坐标，然后求解.13变式训练 2 求抛物线 y x2过点(4， )的
24、切线方程14 74解 设切线在抛物线上的切点为( x0， x )，1420 y| x x0 lim x 014 x0 x 2 14x20 x ( x0 x ) x0.lim x 0 12 14 12 x0.14x20 74x0 4 12即 x 8 x070，20解得 x07，或 x01，即切线过抛物线 y x2上的点(7， )，(1， )，14 494 14故切线方程分别为y (x7)，或 y (x1)，494 72 14 12化简得 14x4 y490，或 2x4 y10，此即所求的切线方程题型三 导数几何意义的综合应用例 3 求曲线 y x2在点(3,9)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的
25、面积分析 由题设知切线与两坐标轴围成的三角形为直角三角形，故需求出切线方程及其在两坐标轴上的截距，代入三角形面积公式计算解 y (3 x )23 26 x ( x )2， f(3) (6 x )6.lim x 0 y x lim x 0点(3,9)处的切线方程为 y96( x3)，即 y6 x9.切线与两坐标轴的交点分别为( ，0)，(0，9)32切线与两坐标轴围成的三角形面积为S 9 .12 32 274变式训练 3 在曲线 y x2上求一点 P，使过点 P 的切线与直线 y4 x5 平行解 设 P(x0， x )，2014则 f( x0) lim x 0 y x (2x0 x )2 x0.
26、lim x 0 x0 x 2 x20 x lim x 0由题意可得2x04， x02.故点 P 的坐标为(2,4). 1.2 导数的计算1.2.1 几种常用函数的导数及导数的运算法则自学引导1.能根据导数的定义，会求函数 y c， y x， y x2， y x3， y ， y1x的导数x2能利用给出的基本初等函数的导数公式及导数的运算法则求简单函数的导数.课前热身1.基本初等函数的导数公式.原函数 导函数(1)f(x) c f( x)_(2)f(x) xn(nQ) f( x)_(3)f(x)sin x f( x)_(4)f(x)cos x f( x)_(5)f(x) ax f( x)_原函数
27、导函数(6)f(x)e x f( x)_(7)f(x)log ax f( x)_(8)f(x)ln x f( x)_2.导数的运算法则(1)f(x)g(x)_；(2)f(x)g(x)_；(3) _.f xg x15答 案 1.()0 (2)nxn 1 (3)cosx (4) sinx (5)axlna(0) (6)ex (7)1xlna(0， 且 a 1) (8)1x 答案2.(1)f(x)g ( x)(2)f(x) g(x) f(x)g(x )(3) (g(x)0)f xgx fxg xgx2名 师 讲 解 (3)公式中 nQ，但对于 nR 公式也成立(4)特别注意 n 为负数或分数时，求导
28、不要搞错如2两函数和差的求导法则的推广16(1)f(x)g(x) f( x)g( x)此法则可以推广到有限个可导函数的情形 f1(x)f2(x)fn(x) f1( x)f2( x)fn( x)(2)af(x)bg(x) af( x)bg( x)(a， b 为常数)3两函数商的求导法则 (g(x)0)，f xg x f x g x f x g xg2 x当 f(x)1 时，则有 (g(x)0)1g x g xg2 x这是一个函数倒数的求导法则4求导运算的技巧在求导数中，有些函数表示形式很复杂，直接求导比较困难，但经过化简整理，有可能很简单，这时再求导可能很简便，也就是说，先把复杂式子化简后再求导
29、，减少运算量.题型一 求导函数例 1 求下列函数的导数(1)y x12；(2)y ；1x3(3)y .3x2分析 这三个小题都可归为 xn类，用公式( xn) nxn1 完成典 例 剖 析 解 (1) y( x12)12 x121 12 x11.(2)y( )( x3 )3 x31 3 x4 .1x3变式训练 1 求下列函数的导数(1)f(x)10 x；(2)f(x)log 2x；(3)g(t)e t.解 (1) f( x)(10 x)10 xln10.(2)f( x)(log 2x) .1xln2(3)g( t)(e t)e t.题型二 求函数在某点处的导数17例 2 (1)求函数 y ax
30、，在点 P(3， f(3)处的导数；(2)求函数 yln x 在点 Q(5，ln5)处的导数分析 先按求导公式求出导函数，再求导函数在相应点的函数值解 (1) y ax， y( ax) axlna.则 y| x3 a3lna.(2) yln x， y(ln x) .1x则 y| x5 .15规律技巧 求函数在某定点 点在函数曲线上 的导数，一般过程是：先求导函数；把定点的横坐标代入导函数求出导数值.变式训练 2 求下列函数在某点处的导数(1)ylog ax， x2；(2)ycos x， x ； 4(3)y2 x3 ， x1；3x(4)ysin x， x . 3解 (1) ylog ax， y
31、.1xlna则 y| x2 .12lna(2) ycos x， ysin x.则 y| x sin . 4 4 22则 y| x1 6 .13 193(4) ysin x， ycos x.则 y| x cos . 3 3 12题型三 利用运算法则求导数例 3 求下列函数的导数(1)y x2sinxcos x；(2)y ；lnxx 1(3)f(x)( x31)(2 x28 x5)；18(4)f(x) .1 x1 x 1 x1 x分析 对于(1)、(2)可以利用公式直接求导，(3)、(4)先化简再求导解 (1) y( x2sinxcos x)( x2sinx)(cos x)2 xsinx x2co
32、sxsin x(2 x1)sin x x2cosx.(2)y( )lnxx 1 .1x x 1 lnx x 1 21 lnx 1x x 1 2 x xlnx 1x x 1 2(3) f(x)( x31)(2 x28 x5)2 x58 x45 x32 x28 x5f( x)(2 x58 x45 x32 x28 x5)10 x432 x315 x24 x8.(4) f(x) 1 x1 x 1 x1 x 2， 1 x 21 x 1 x 21 x 2 1 x1 x 41 x f( x)( 2) .41 x 4 1 x 4 1 x 1 x 2 4 1 x 2规律技巧 运用求导法则和导数公式求可导函数的导
33、数，一定要先分析函数y f(x)的结构特征，对于直接求导很繁琐的，一定要先化简，再求导变式训练 3 求下列函数的导数(1)ytan x；(2)y ；11 x 11 x(3)y1sin cos ；x2 x2(4)y 2 x.xx 1解 (1) ytan x ，sinxcosx y( )sinxcosx sinx cosx sinx cosx cos2x .cos2x sin2xcos2x 1cos2x19(2) y ，11 x 11 x 21 x y( ) .21 x 2 1 x 1 x 2 2 1 x 2(3) y1sin cos 1 sinx，x2 x2 12 y(1 sinx) cosx.
34、12 12(4)y( )(2 x)xx 1 2 xln2 x 1 x x 1 2 2 xln2.1 x 1 2题型四 求切线方程例 4 求过点(1，1)的曲线 y x32 x 的切线方程分析 点(1，1)虽然在曲线上，但它不一定是切点，故应先求切点解 设 P(x0， y0)为切点，则切线的斜率为 f( x0)3 x 2，故切线方程20为 y y0(3 x 2)( x x0)，20即 y( x 2 x0)(3 x 2)( x x0)，30 20又知切线过点(1，1)代入上述方程，得1( x 2 x0)(3 x 2)(1 x0)，30 20解得 x01，或 x0 ，12切点为(1，1)或( ， )
35、12 78故所求的切线方程为 y1 x1，或 y (x )，78 54 12即 x y20，或 5x4 y10.规律技巧 1 在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点 P 处的切线方程和求曲线过点 P 的切线方程.在点 P 处的切线，一定是以点 P为切点，过点 P 的切线， 不论点 P 在不在曲线上，点 P 不一定是切点.2 求过点 P 的曲线的切线方程的步骤为：先设出切点坐标为 x0， y0 ，然后写出切线方程 y y0 f x0 x x0 ，代入点 P 的坐标，求出 x0， y0 ，再写出切线方程.变式训练 4 已知曲线 y x33 x，过点(0,16)作曲线的切线，求曲线的切线
36、方程20解 设切点为( x1， y1)，则切线的斜率k yError! x x13 x 3，21切线方程为 y(3 x 3) x16.21又切点在切线上， y1(3 x 3) x116.21 x 3 x1(3 x 3) x116，31 21解得 x12.切线方程为 y9 x16，即 9x y160 1.2 导数的计算1.2.2 复合函数的导数自 学 引 导 能利用出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单的复合函数(仅限于形如 f(ax b)的导数.课前热身1.复合函数的概念一般地，对于两个函数 y f(u)和 u g(x)，如果通过变量 u， y 可以表示成 x 的函数，那么称这个
37、函数为函数_和_的复合函数，记作_2复合函数 y f(g(x)的导数和函数 y f(u)， u g(x)的导数间的关系为_即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积.1.y f(u) u g(x) y f(g(x)答案 2.y x y uu x名师讲解 1.求复合函数的导数的关键是处理好以下几个环节(1)中间变量的选择应是基本函数结构；(2)关键是正确分析出复合过程；(3)一般从最外层开始，由外及里，一层层地求导；21(4)善于把一部分表达式作为一个整体；(5)最后结果要把中间变量换成自变量的函数典 例 剖 析 2求复合函数导数的方法步骤(1)分解复合函数为基本
38、初等函数，适当选择中间变量；(2)求每一层基本初等函数的导数；(3)每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数.题型一 复合函数的求导方法例 1 求下列函数的导数(1)y ；11 3x4(2)ycos x2；(3)ysin(2x )；3(4)y .1 x2分析 注意中间变量的选取，分层求导解 (1)u13xy1u4u4 yu4u5u x3. y xy u x12u5 1213x5. (2)ux2ycosu y xy u xsinu2x 2xsinx2. 22(3)令 u2 x ，则 ysinu，3y xy uu xcosu22cos(2x )3(4)令 u1 x2，则 yu ， y xy
39、uu x u 2x12 xu . x1 x2规律技巧 求复合函数的导数，要分清函数的复合关系，对于分式型的可化为幂的形式求导，关键选好中 间变量最后将中 间变 量代回到原自变量的函数变式训练 1 求下列函数的导数(1)y ；1 1 3x 5(2)ysin( x2 )； 6(3)yln(ln x)；(4)ye 2x21 .解 (1)令 u13 x，则 y u5 ，1u5 y x y uu x5 u6 315 u6 .15 1 3x 6(2)令 u x2 ，则 ysin u， 6 y x y uu xcos u(x2 )2 xcosu2 xcos(x2 ) 6 6(3)令 uln x，则 yln
40、u， y x y uu x .1u 1x 1xlnx(4)令 u2 x21，则 ye u， y x y uu xe u4x4 xe2x21 .例 2 求下列函数的导数23(1)y( x24) 2；(2)ylog 2(2x23 x1)；(3)ye sin(ax b)分析 先将复合函数分解，找出中间变量，然后按复合函数求导公式y y uu x进行求导解 (1)方法 1： y( x24) 2 x48 x216 y( x48 x216)4 x316 x.方法 2： y2( x24)( x24)2( x24)2 x4 x316 x.(2)ylog 2(2x23 x1) (2x23 x1)1 2x2 3x
41、 1 ln2 .4x 3 2x2 3x 1 ln2(3)ye sin(ax b)e sin(ax b)sin(ax b)e sin(ax b)cos(ax b)(ax b) acos(ax b)esin(ax b)规律技巧 求复合函数的导数，当复合步骤熟练后，可以直接求导变式训练 2 求下列函数的导数(1)y ；33x2 1(2)ysin 3xsin x3.解 (1) y (3 x21) ，33x2 1 y (3x21) (3x21)13 (3x21) 6x .13 2x3 3x2 1 2(2)y(sin 3xsin x3)3sin 2x(sinx)cos x3(x3)3sin 2xcosx3 x2cosx3.题型二 求导法则的综合应用例 3 已知函数 f(x)是关于 x 的二次函数，其导函数为 f(
