1、选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库导数题的解题技巧【命题趋向】导数命题趋势：导数应用：导数函数单调性函数极值函数最值导数的实际应用【考点透视】1了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念2熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数3理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一
2、些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值【例题解析】考点 1 导数的概念对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念. 例 1（2006 年辽宁卷）与方程 的曲线关于直线 对称的曲线的方程为21(0)xxyeyxA. B. C. D. ln()yxln(1)lnln(yx考查目的 本题考查了方程和函数的关系以及反函数的求解.同时还考查了转化能力解答过程 ， ，220xxeey,xe即： ，所以 .1ln()xyy1()ln)f故选 A.例 2. ( 2006 年湖南卷）设函数 ,集合 M= ,P= ,若 M P,则实数 a 的取值范围是 (
3、 ) ()xaf|()0xf|()0xfA.(-,1) B.(0,1) C.(1,+) D. 1,+)考查目的 本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力.解答过程 由 0,1;,1.1xaxax当 时 当 3x 1，则在区间（，3）上，f (x)0 ， f (x)为增函数；在区间（a1，）上，f (x)4 时，x 20 ， f (x)为增函数；在区间（3，）上，f (x)0 时，f (x) 在区间（0，3）上的单调递增，在区间（ 3，4）上单调递减，那么 f (x)在区间0，4上的值域是 min(f (0)， f (4) )，f (3) ，而 f (0)（2a3）e 30，f (3)a
4、6，那么 f (x)在区间0，4上的值域是（2a3）e 3，a6.又 在区间0，4 上是增函数，5()4xgx且它在区间0，4上的值域是a 2 ，（a 2 ）e 4，45由于（a 2 ）（a6）a 2a （ ） 20 ，所以只须仅须451（a 2 ）（a6）0，解得 00 时，f(0)为极大值C、b=0 D、当 a0 时，f(0)为极小值11、已知函数 y=2x3+ax2+36x-24 在 x=2 处有极值，则该函数的一个递增区间是( )A、（2，3） B、（3，+） C、（2，+） D、（- ，3）12、方程 6x5-15x4+10x3+1=0 的实数解的集合中( )A、至少有 2 个元素
5、B、至少有 3 个元素 C、至多有 1 个元素 D、恰好有 5 个元素二、填空题选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库13.若 f(x0)=2, =_.kxffk2)(lim0014.设 f(x)=x(x+1)(x+2)(x+n),则 f(0)=_.15.函数 f(x)=loga(3x2+5x2)(a0 且 a1)的单调区间_.16.在半径为 R 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_时它的面积最大.三、解答题17.已知曲线 C：y =x33x 2+2x,直线 l:y=kx,且 l 与 C 切
6、于点 (x0,y0)(x00)，求直线 l 的方程及切点坐标.18.求函数 f(x)=p2x2(1-x)p(pN+)，在0，1 内的最大值.19.证明双曲线 xy=a2上任意一点的切线与两坐标轴组成的三角形面积等于常数.20.求函数的导数(1)y=(x22x+3)e 2x;(2)y= .3121.有一个长度为 5 m 的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以 3 m/s的速度离开墙脚滑动，求当其下端离开墙脚 1.4 m 时，梯子上端下滑的速度 .22.求和 Sn=12+22x+32x2+n2xn1 ,(x0,nN*).23.设 f(x)=ax3+x 恰有三个单调区间，试确定 a 的取值范围，
7、并求其单调区间.24.设 x=1 与 x=2 是函数 f(x)=alnx+bx2+x 的两个极值点.(1)试确定常数 a 和 b 的值；(2)试判断 x=1,x=2 是函数 f(x)的极大值还是极小值，并说明理由.25.已知 a、b 为实数，且 bae,其中 e 为自然对数的底，求证：a bb a.26.设关于 x 的方程 2x2ax 2=0 的两根为 、 ( ),函数 f(x)= .142(1)求 f()f()的值；(2)证明 f(x)是 ， 上的增函数；(3)当 a 为何值时，f (x)在区间 ， 上的最大值与最小值之差最小？选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视
8、频 院校库选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库【参考答案】一、1.解析：y =esinxcosxcos(sinx) cosxsin(sin x),y (0)=e0(10)=1.答案：B2.解析：设切点为(x 0,y0),则切线的斜率为 k= ,另一方面， y=( )= ,故0xy59x2(4y(x0)=k,即 或 x02+18x0+45=0 得 x0(1)=3,y 0(2)=15,对应有 y0(1)=3,y0(2)= ,因此得两个切点)5(9)5(4020x 5319A(3，3) 或 B(15, ),从而得 y(A)= =1 及 y(B)= ,由于切线过原点，故得切
9、线：l A:y= x 或33)4251)4lB:y= .25x答案：A3.解析：由 =1,故存在含有 0 的区间( a,b)使当 x(a,b),x0 时 0,于是当 x(a,0)时 f(0)0,当 x(0,b)时，xf)0(lim f)(f(0)0,这样 f(x)在(a,0)上单增，在(0,b) 上单减.答案：B4.解析：f n(x)=2xn2(1x) nn 3x2(1x) n-1=n2x(1x) n-12(1x) nx,令 fn(x)=0,得 x1=0,x2=1,x3= ,易知 fn(x)在 x=时取得最大值，最大值 fn( )=n2( )2(1 )n=4( )n+1.22答案：D5、B 6
10、、A 7、B 8、D 9、B 10、C 11、B 12、C二、13.解析：根据导数的定义：f(x 0)= (这时 )kxffk)(lim00 k.1)(2)(lim21li)000xfkffxk答案：114.解析：设 g(x)=(x+1)(x+2)(x+n),则 f(x)=xg(x),于是 f(x)=g(x)+xg(x),f(0)=g(0)+0g(0)=g(0)=12n=n！答案：n!15.解析：函数的定义域是 x 或 x2,f( x)= .(3x2+5x2)= ,3153log2ea )2(13log56xea若 a1,则当 x 时，log ae0,6x+50,(3x1)(x+2) 0,f(
11、x)0,函数 f(x)在( ,+)上是增函数，x2 时，f(x )选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库0. 函数 f(x)在(,2)上是减函数.若 0a1,则当 x 时， f(x)0,f (x)在( ,+)上是减函数，当 x2 时，3131f(x)0, f(x)在 (,2)上是增函数.答案：(,2)16.解析：设圆内接等腰三角形的底边长为 2x,高为 h，那么 h=AO+BO=R+ ,解得2xx2=h(2Rh),于是内接三角形的面积为S=xh= ,)2()(43hR从而 21143.3232)
12、()6()( hRhR令 S=0,解得 h= R,由于不考虑不存在的情况，所在区间(0,2 R)上列表如下：h (0, R)23R ( ,2R)23S + 0 S 增函数 最大值 减函数由此表可知，当 x= R 时，等腰三角形面积最大.23答案： R三、17. 解：由 l 过原点，知 k= (x00),点( x0,y0)在曲线 C 上，y 0=x033x 02+2x0,y =x023x 0+2,y=3x26x +2,k=3x026x 0+2y又 k= ,3x026x 0+2=x023x 0+2,2x023x 0=0,x0=0 或 x0= .23由 x0,知 x0= ,y0=( )33( )2+
13、2 = .k= = .80xy41l 方程 y= x 切点( ， ).41318. ,)p2)p)(f2令 f(x)=0 得，x=0，x=1，x= ,选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库在0，1上，f(0)=0，f(1)=0 ， .2p)(4)2(f .p2max)(4)(f19.设双曲线上任一点 P（x 0，y 0）,20x|yk 切线方程 ,)(a0令 y=0，则 x=2x0 令 x=0，则 .2xy .a|1S20.解：(1)注意到 y0,两端取对数，得lny=ln(x22x+3)+ln
14、e 2x=ln(x22x +3)+2x,.)2( .)3(2)(32)(12x xeeyy(2)两端取对数，得ln|y|= (ln|x|ln|1x |),31两边解 x 求导，得 .1)(3)1(,xyxy21.解：设经时间 t 秒梯子上端下滑 s 米,则 s=5 ,当下端移开 1.4 m 时，t 0= ,295t15734又 s= (259t 2) (92 t)=9t ,12951所以 s(t0)=9 =0.875(m/s).2)17(522.解：(1)当 x=1 时，S n=12+22+32+n2= n(n+1)(2n+1),当 x1 时，1+2x +3x2+nxn-1= ,两边同61 2
15、1)(1xn乘以 x,得x+2x2+3x2+nxn= 两边对 x 求导，得21)(xn选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库Sn=12+22x2+32x2+n2xn-1= .321)()1( xn23.解：f(x)=3ax 2+1.若 a0,f(x) 0 对 x(,+) 恒成立，此时 f(x)只有一个单调区间，矛盾 .若 a=0,f(x)=10,x(,+), f(x)也只有一个单调区间，矛盾 .若 a0,f( x)=3a(x+ )(x ),此时 f(x)恰有三个单调区间 .|31|aa 0 且单
16、调减区间为(, )和( ,+)，|31单调增区间为( , ).|31a|24.解：f(x)= +2bx+1,(1) 由极值点的必要条件可知：f(1)= f(2)=0,即 a+2b+1=0,且 +4b+1=0,2a解方程组可得 a= ,b= ,f(x)= lnx x2+x,3261361(2)f(x)= x-1 x+1,当 x(0,1)时，f (x)0,当 x(1,2)时，f(x)0,当 x(2,+)时，f (x)0,故在 x=1 处函数 f(x)取得极小值 ,在 x=2 处函数取得极大值 ln2.6534225.证法一：bae ,要证 abb a,只要证 blnaaln b,设 f(b)=bl
17、naalnb(be ),则f(b)=lna .bae ,lna1,且 1,f (b)0.函数 f(b)=blnaaln b 在( e,+)上是增函数，f(b)f(a)=alnaalna=0,即 blnaalnb0,blnaalnb,a bb a.证法二：要证 abb a,只要证 blnaaln b(eab ,即证 ,设 f(x)= (xe)，则 f(x)= 0,函数 f(x)在)ln2ln1(e,+)上是减函数，又eab,f(a)f(b), 即 ,abb a.ln26.解：(1)f( )= ,f()= ,f()=f()=4,16821682(2)设 (x)=2x2ax 2,则当 x 时， (x)0,2214)1()(4)4 aaaf.0)(2xx选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库函数 f(x)在( ， )上是增函数.(3)函数 f(x)在 ， 上最大值 f()0,最小值 f()0,|f()f()|=4,当且仅当 f()=f ()=2 时，f( )f( )=|f()|+|f()|取最小值 4，此时 a=0,f()=2.选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 (按 ctrl 点击打开)
