1、 Page 1 of 32 Xuezhi Education All Rights Reserved教育教师备课手册教师姓名 学生姓名 填写时间 2012.2.1 学科 数学 年级 高三 上课时间 10:00-12:00 课时计划 2 小时 教学内容 中考复习 三角形教学目标 个性化学习问题解决 基础知识回顾，典型例题分析教学重点、难点教学过程导数及其运用知识网络第 1 讲 导数的概念及运算 知 识 梳理 1.用定义求函数的导数的步骤.（1）求函数的改变量 y；（2）求平均变化率 .（3）取极限，得导数 （ x0）= .xyflimxy2.导数的几何意义和物理意义几何意义：曲线 f（ x）在某
2、一点（ x0， y0）处的导数是过点（ x0， y0）的切线的 物理意义：若物体运动方程是 s=s（ t） ，在点 P（ i0， s（ t0） ）处导数的意义是 t=t0处的 导数的概念基本初等函数的导数公式导数函数的单调性研究的的的函数的极值与最值研究导数的定义导数的物理及几何意义意义导数的运算导数的四则运算法则及复合函数的导数导数的应用最优化问题计算定积分的的的定积分与微积分的基本定理定积分的应用Page 2 of 32 Xuezhi Education All Rights Reserved解析：斜率.；瞬时速度.3. 几种常见函数的导数（ 为常数） ； （ ） ；c0()nx1Rn；
3、； (sin)xcos； ；l1(lg)axlae； . ()xen解析： cos;ix4.运算法则求导数的四则运算法则：； ； .()uv()uvuv(0)v解析： ； 2复合函数的求导法则： 或()xf()fuxxuy 重 难 点 突 破 1.重点：理解导数的概念与运算法则，熟练掌握常见函数的计算和曲线的切线方程的求法2.难点：切线方程的求法及复合函数求导3.重难点：借助于计算公式先算平均增长率,再利用函数的性质解决有关的问题.（1）平均变化率的实际含义是改变量与自变量的改变量的比。问题 1.比较函数 与 ,当 时,平均增长率的大小.()2xf()3xg12点拨:解题规律技巧妙法总结: 计
4、算函数的平均增长率的基本步骤是(1)计算自变量的改变量 21(2)计算对应函数值的改变量 2()yfxf(3)计算平均增长率: 21x对于 , 又对于 ,()2xf2113,y()3xg2138y故当 时, 的平均增长率大于 的平均增长率.()gf（2）求复合函数的导数要坚持“将求导进行到底”的原则,问题 2. 已知 ,则 .2)cos1(xyyPage 3 of 32 Xuezhi Education All Rights Reserved点拨：复合函数求导数计算不熟练,其 与 系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致x2错解为: .)cos1(2sinxy设 , ,则2u )2(
5、sin(2)cos1( xuxuyxx.2sin4)si( co14y（3）求切线方程时已知点是否切点至关重要。问题 3. 求 在点 和 处的切线方程。32xy)5,1(P)9,(Q点拨：点 在函数的曲线上，因此过点 的切线的斜率就是 在 处的函数值；Py1x点 不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线切忌直接将 ，Q P看作曲线上的点用导数求解。 4.,321xyxy即过点 的切线的斜率为 4，故切线为： P14xy设过点 的切线的切点为 ，则切线的斜率为 ，又 ，Q),(0xT0290xykPQ故 ， 。00246x3,1.68200x即切线 的斜率为 4 或 1
6、2，从而过点 的切线为：TQ152,4xy 热 点 考 点 题 型 探 析考点 1: 导数概念题型 1.求函数在某一点的导函数值例 1 设函数 在 处可导，则 等于 ()fx0 xffx)(lim00A B C D0f 0()f0()f0()fx【解题思路】由定义直接计算解析 .故选00000()()(limli ()x xfxffxffB【名师指引】求解本题的关键是变换出定义式 00limxfxf考点 2.求曲线的切线方程Page 4 of 32 Xuezhi Education All Rights Reserved例 2(高明一中 2009 届高三上学期第四次月考)如图，函数 的图象在点
7、 P 处的切线方程是)(xfy，则 = .8xy5(f【解题思路】区分过曲线 处的切线与过 点的切线的不同，后者的 点不一定在曲线上. 解析:P观察图形,设 ,过 P 点的切线方程为(,)f即5)5yfx()5()yfxff它与 重合,比较系数知:81,3故 =2)(f【名师指引】求切线方程时要注意所给的点是否是切点若是，可以直接采用求导数的方法求；不是则需设出切点坐标题型 3.求计算连续函数 在点 处的瞬时变化率()yfx0例 3一球沿一斜面从停止开始自由滚下，10 s 内其运动方程是 s=s(t)=t2(位移单位： m，时间单位：s)，求小球在 t=5 时的加速度 .【解题思路】计算连续函
8、数 在点 处的瞬时变化率实际上就是 在点 处的()yfx0)yfx0导数.解析：加速度 v= ttsstt 200 5)(lim)5(lim(10+t )=10 m/s.0lit加速度 v=2t=25=10 m/s.【名师指引】计算连续函数 在点 处的瞬时变化率的基本步骤是()yfx01. 计算 00(fxy2. 计算 0lix【新题导练】.1. 曲线 和 在它们交点处的两条切线与 轴所围成的三角形面积是 .1yx2 x解析：曲线 和 在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是 y=x+2 和xyy=2x1，它们与 轴所围成的三角形的面积是 .43点拨:与切线有关的问题,应有运用导数的意
9、识,求两曲线的交点坐标只要联立解方程组即可.2. 某质点的运动方程是 ，则在 t=1s 时的瞬时速度为 （ ）2)1(tSA1 B3 C7 D13Page 5 of 32 Xuezhi Education All Rights Reserved解:B 点拨:计算 即可0limx(1)(stst3. 已知曲线 C1:y=x2与 C2:y=( x2) 2,直线 l 与 C1、 C2都相切，求直线 l 的方程.解：设 l 与 C1相切于点 P(x1,x12),与 C2相切于 Q(x2,( x22) 2)对于 C1： y=2 x,则与 C1相切于点 P 的切线方程为y x12=2x1(x x1),即
10、y=2x1x x12 对于 C2： y=2( x2),与 C2相切于点 Q 的切线方程为 y+(x22) 2=2( x22)( x x2),即y=2( x22) x+x224 两切线重合，2 x1=2( x22)且 x12=x224,解得 x1=0,x2=2 或 x1=2,x2=0直线 l 方程为 y=0 或 y=4x4点拨:利用解方程组求交点,利用直线间的位置和待定系数法求斜率.考点 2 导数的运算题型 1:求导运算例 1 求下列函数的导数：（1） （2） （3）cosxye2tanyxln(1)yx【解题思路】按运算法则进行解析 （1） ,cos()cosixxxxxee（2）222ini
11、n()tan,()yy21cosx（3） 1()yx【名师指引】 注意复合函数的求导方法（分解 求导 回代） ；注意问题的变通：如 的导xey数容易求错，但 的导数不易求错.xey题型 2:求导运算后求切线方程例 2. (广州市 2008 届二月月考)已知函数 ).(323)(Rxaxf（1）若 ，点 P 为曲线 上的一个动点，求以点 P 为切点的切线斜率取最小值时的切线a)(xfy方程；（2）若函数 上为单调增函数，试求满足条件的最大整数 a.,0()在xfy【解题思路】先按运算法则求导,再按几何意义求切线方程.解析：（1）设切线的斜率为 k，则 1)(2342)( xxf又 ，所以所求切线
12、的方程为： 即35)(f 15y.0y【名师指引】求三次函数图象的切线在高考中经常出现.与曲线 相切于 P 处的切线方程是（ D ）21yxe(,)eA B C D 2yx2yxe2yxePage 6 of 32 Xuezhi Education All Rights Reserved题型 3:求导运算后的小应用题例 3. 某市在一次降雨过程中,降雨量 与时间 的函数关系可近似地表示为()ym(in)t,则在时刻 的降雨强度为( )()10yftt40mintA. B. C. D. 2m41/i21/in4【解题思路】先对 的求导,再代 的数值.tt解析: 选 D155()0,(40)2ft
13、ftt【名师指引】求某一时刻的降雨量相当于求瞬时变化率,即那一时刻的导数值.【新题导练】.4. 设函数 ，且 ，则 k ()(23)fxkxk()6fA0 B-1 C3 D-6思路分析: 按导数乘积运算法则先求导,然后由已知条件构造关于 的方程求解.解 : + + +()(2)fxkxk(2)3xk()3xk()2xk故 又 ,故30606f15. 设函数 ， （ 、 、 是两两不等的常数） ，()()fabcabc则 fa解析: 代入即得 0()()()(fxxxxa6. 质量为 的物体按 的规律作直线运动,动能 ,则物体在运动 后的动10kg234stt 21Emv4s能是 解析:先求瞬时
14、速度后,再代入公式求解提 3125J基础巩固训练1. (广东省六校 2009 届高三第二次联考试卷 ) 是 的导函数，则 的值(fx31)2fx(1)f是 解析: 故 =32()fx(1)f2. (广东省 2008 届六校第二次联考) 在 处的导数值是_. cosyx3解析： 故填cosinyx263. 已知直线 x+2y4=0 与抛物线 y2=4x 相交于 A、 B 两点， O 是坐标原点，P 是抛物线的弧 上求一点 P，当 PAB 面积最大时，P 点坐标为 .Page 7 of 32 Xuezhi Education All Rights Reserved解析：| AB|为定值， PAB
15、面积最大，只要 P 到 AB 的距离最大，只要点 P 是抛物线的平行于 AB的切线的切点，设 P（ x,y）.由图可知，点 P 在 x 轴下方的图象上 y=2 , y= , kAB= ,1221 x=4,代入 y2=4x(y0 恒成立， y=x3+x 在(,+)上为增函数，没有减区间.答案：A3. 已知函数 , ,设 ()lnf()0)ag)()Ffxg（）求函数 的单调区间；Fx（）若以函数 图像上任意一点 为切点的切线的斜率 恒成(),3)y0(,)Pxy12k立，求实数 的最小值；a解析：（I） ，lnaxfgxx21 0axF ，由 ， 在 上单调递增。00,F,由 ， 在 上单调递减
16、。xax0,a 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 。, （II） ，203Fxx恒成立0021ak20max1aPage 14 of 32 Xuezhi Education All Rights Reserved当 时， 取得最大值 。01x20x12 ，amin考点 2: 导数与函数的极值和最大(小)值.题型 1.利用导数求函数的极值和最大(小)值例 1. 若函数 在 处取得极值,则 .1cosi2fxx4m【解题思路】若在 附近的左侧 ，右侧 ，且 ,那么 是 的极0()0f()0fx0()fx0()fxf大值；若在 附近的左侧 ，右侧 ，且 ,那么 是 的极小值.xx 解析因为 可导,
17、且 ,所以 ,解得 .()f()sinco2fmx()sinco42fmm经验证当 时, 函数 在 处取得极大值.0m12x【名师指引】 若 是可导函数，注意 是 为函数 极值点的必要条件.要确定极()f 0()fx0()fx值点还需在 左右判断单调性.0x例 2 （2008深圳南中）设函数 （ ） ，其中 ，求函数 的极大值和2()fxaxR0a()fx极小值【解题思路】先求驻点，再列表判断极值求出极值。解析：. ，232()fxaxx234()f a令 ，解得 或 ()0x3x由于 ，当 变化时， 的正负如下表：a()fx3,a3a3()a， a(,)a()f 00因此，函数 在 处取得极
18、小值 ，且 ；fx3a)3(af 34)27(af函数 在 处取得极大值 ，且 () 0【名师指引】求极值问题严格按解题步骤进行。例 3. (广东省深圳外国语学校 2009 届高三上学期第二次统测)已知函数 .()lnfx（）求 的最小值；)fx（）若对所有 都有 ，求实数 的取值范围 .1()1fxaa【解题思路】先求极值再求端点值,比较求出最大(小)值.当区间只有一个极大(小)值时,该值就是最Page 15 of 32 Xuezhi Education All Rights Reserved大(小)值解析： 的定义域为 ， 1 分 )fx0(， +)的导数 . 3 分)1lnfx令 ，解得
19、 ；令 ，解得 .(0fef10ex从而 在 单调递减，在 单调递增. 5 分)x， ，所以，当 时， 取得最小值 . 6 分1e()fx1e（）解法一：令 ，则 ， ()gax()1lngxfax8 分 若 ，当 时， ，aln0故 在 上为增函数，()gx1)， +所以， 时， ，即 . 10 分(1)0gxa()1fxa 若 ，方程 的根为 ， 1ea此时，若 ，则 ，故 在该区间为减函数 .0， g所以 时， ，(1)x， ()即 ，与题设 相矛盾. 13 分)fa1fxa综上，满足条件的 的取值范围是 . 14 分(，解法二：依题意，得 在 上恒成立，()f)，即不等式 对于 恒成立
20、 . 8 分1lnx，令 ， 则 . 10 分()g211()gxx当 时，因为 ， 1x()0故 是 上的增函数， 所以 的最小值是 ， 13 分()， ()g(1)g所以 的取值范围是 . 14 分a(1，【名师指引】求函数 在闭区间 上的最大值（或最小值）的步骤： 求 在 内的)fx,ab ()fx,ab极大（小）值，将极大（小）值与端点处的函数值进行比较，其中较大者的一个是最大者，较小的一个是最小者题型 2.已知函数的极值和最大(小)值，求参数的值或取值范围。例 3 （广东省六校 2009 届高三第二次联考）已知函数 图像上的点 处的切线方程为 32fxaxbc1,2P31yx（1）若
21、函数 在 时有极值，求 的表达式fx（2）函数 在区间 上单调递增，求实数 的取值范围fx2,0b【解题思路】求函数的解析式一般用待定系法法，求参数的取值范围一般需建立关于参数的不等式（组）解析： ， -2 分 23fxaxbPage 16 of 32 Xuezhi Education All Rights Reserved因为函数 在 处的切线斜率为-3，fx1所以 ，即 ，-3 分32ab20ab又 得 。-4 分1fc1c（1）函数 在 时有极值，所以 ，-5 分x240fab解得 ，-7 分2,43abc所以 -8 分2fxx（2）因为函数 在区间 上单调递增，所以导函数,0 23fx
22、bx在区间 上的值恒大于或等于零，-10 分,0则 得 ，所以实数 的取值范围为 -14 分12,fb4b4,【名师指引】已知 在 处有极值，等价于 。()fx0()0fx【新题导练】4 在区间 上的最大值为 ，则 =（ ）23y,2a154aA. B. C. D. 或12123解析：选 B在 上的最大值为 ， 且在 时，2()4yx,a154axa，解之 或 （舍去） ， 选 B.2153a最 大 23125 在区间 上的最大值是32()fx,A B0 C2 D4解析 ，令 可得 或 （2 舍去） ，当 时，2()6()fx ()0fx10x0，当 时， 0，所以当 时， f（x）取得最大值
23、为 2.选 Cx1f6已知函数 是 上的奇函数，当 时 取得极值 .3()()faxcdR1()fx2（1）求 的单调区间和极大值；（2）证明对任意 不等式 恒成立.12,x(,)12|()|4fxf解析（1）由奇函数定义，有 . 即 ,fRPage 17 of 32 Xuezhi Education All Rights Reserved因此， 33,0.axcdaxcd3(),fxac2()3.fxac由条件 为 的极值，必有 (1)2f()f10,故 ,解得 30ca,3.ac因此 (),fx2()(1),fxx(1)(0.ff当 时， ，故 在单调区间 上是增函数.,1f当 时， ，故
24、 在单调区间 上是减函数.()x()0fx()x(,)当 时， ，故 在单调区间 上是增函数.,f1所以， 在 处取得极大值，极大值为()fx1()2f（2）由(1)知， 是减函数，且3(,1)x在 上的最大值为 最小值为()fx,(,Mf(1).mf所以，对任意 恒有12(,)x12|)|24xf方法技巧善于用函数思想不等式问题,如本题 .maxin|()|()xff 抢 分 频 道 基础巩固训练1 （广东省六校 2009 届高三第二次联考试卷）函数 的定义域为开区间 ，导函数 在)(xf ),(ba)(xf 内),(ba的图象如图所示，则函数 在 内有极小值 点xf 共有（ ）A1 个 B
25、2 个 C3 个 D 4 个 解析：观察图象可知，只有一处是先减后增的，选 A2 、函数 有（ ）3yxA. 极小值1，极大值 1 B. 极小值2，极大值 3C. 极小值2，极大值 2 D. 极小值1，极大值 3解析： ，令 得 23()yxx 0y,x当 时， ；当 时， ；当 ，1010y时， ，当 ，故选 D.xy极 小 x3y极 大3函数 y=f(x)=lnx x,在区间(0,e上的最大值为A.1e B.1 C.e D.0y=f(x)ba oyxPage 18 of 32 Xuezhi Education All Rights Reserved解析： y= 1,令 y=0,即 x=1,
26、在(0，e上列表如下：x1x (0,1) 1 (1,e) ey + 0 y 增函数 极大值1 减函数 1e由于 f(e)=1e,而11e,从而 y 最大= f(1)=1.答案：B4(广东深圳外国语学校 20082009 学年高三第二次月考)若 ，求函数1a的单调区间.,0()ln()xaxf解析 12,0)4(0)( ,)(42,22axxf ax得令),1(6)4(,22a同 样（当 a.1 时，对 x（0，+）恒有 0， 当 a.1 时， f(x)在（0，+）上为增函数；(xf5 （汕头市金山中学 2009 届高三上学期 11 月月考）已知函数 f（ x）= ax3+3x2 x+1，问是否
27、存在实数 a，使得 f（ x）在（0，4）上单调递减？若存在，求出 a 的范围；若不存在，说明理由。解： （ x）=3 ax2+6x1. 要使 f（x）在0，4递减，则当 x（0，4）时， （ x）0，f(x)在 上递增0a()fx,Page 21 of 32 Xuezhi Education All Rights Reserved当 时，令 得 解得：0a21xa2240xa，因 （舍去） ，故在 上21,x1x22(0,1)a0，f(x)递增.()f 22(,)()f（2）由（1）知 在 内递减，在 内递增.)1lngxx(02,)min()(22)gx故 ，又因ll(225e故 ，得1(
28、)1ln10e1lnx第 3 讲 导数的实际应用 知 识 梳理 利用导数解决生活、生产优化问题，其解题思路是： 重 难 点 突 破 1.重点：利用于数学知识建立函数模型，借助于导数解决最优化问题。2.难点：建模的过程3.重难点：认真审题，建立数学模型，解决与函数有关的最优化问题.（1）关注由导数的定义和物理意义处理实际应用问题问题 1：路灯距地平面为 ,一个身高为 的人以 的速率在地面上行走，从路灯在地平8m1.684/min面上射影点 C，沿某直线离开路灯，求人影长度的变化速率 v.点拨：利用导数的物理意义解决设路灯距地平面的距离为 ，人的身高为 .设人从 点运动到 处路程为 米，时间为 (
29、单位：DEBCBxt秒)， AB 为人影长度，设为 ,则y ， /BECAB ,又 ,86.1xy4/min1./s17(1.4)420yxtt ,人影长度的变化速率为 .720 7/20（2）利用导数处理最大（小）值问题是高考常见题型.问题 2. （2006江苏）请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为 1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为 3m 的正六棱锥（如右图所示） 。试问当帐篷的顶点 O 到底面中心 的距离为多少时，帐篷的体1优化问题 函数模型解决数学问题优化问题的解Page 22 of 32 Xuezhi Education All Rights Reserved积最大？剖析设 为
30、,则由题设可得正六棱锥底面边长为1Oxm（单位： ）2223()8于是底面正六边形的面积为（单位： ）222 22333(1)6(8)(8)4xxx帐篷的体积为（单位： ）m 313) (16)V x求导数，得 令 解得 (不合题意，舍去), .2()(3)xx (0V2x2当 时， , 为增函数；当 时， , 为减函数。120V4)0Vx()所以当 时, 最大.答当 为 时，帐篷的体积最大.x()1O2m 热 点 考 点 题 型 探 析考点: 最优化问题题型 1.函数模型中的最优化问题例 1. 设工厂到铁路线的垂直距离为 20km,垂足为 B.铁路线上距离 B 为 100km 处有一原料供应
31、站 C,现要在铁路 BC 之间某处 D 修建一个原料中转车站,再由车站 D 向工厂修一条公路.如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为 3:5,那么,D 应选在何处,才能使原料供应站 C 运货到工厂 A 所需运费最省?【解题思路】由勾股定理建模.解析 ： 设 BD 之间的距离为 km,则|AD|= ,|CD|= .如果公路运费为 元/km,那么x20xx1a铁路运费为 元/km.故从原料供应站 C 途经中转站 D 到工厂 A 所需总运费 为: +53a y)10(53x,( ).对该式求导,得 = + = ,令402x10xy53a402x4(2xa,即得 25 =9( ),解之得y24=15
32、, =-15(不符合实际意义,舍去).且 =15 是函数 在定义域内的唯一驻点,所以 =15 是1x 1xy1x函数 的极小值点,而且也是函数 的最小值点.由此可知,车站 D 建于 B,C 之间并且与 B 相距 15km 处y时,运费最省.【名师指引】 这是一道实际生活中的优化问题,建立的目标函数是一个复合函数,用过去的知识求其最值往往没有一般方法,即使能求出,也要涉及到较高的技能技巧.而运用导数知识,求复合函数的最值就变得非常简单.例 2. 某产品按质量分为 10 个档次,生产第一档(即最低档次)的利润是每件 8 元,每提高一个档次,利润每件增加 2 元,但在相同的时间内产量减少 3 件.在
33、相同的时间内,最低档的产品可生产 60 件.问在相同的时间内,生产第几档次的产品的总利润最大?有多少元?思路分析:在一定条件下,“利润最大” “用料最省” “面积最大” “效率最高” “强度最大”等问题,OO1Page 23 of 32 Xuezhi Education All Rights Reserved图 2图 1在生产、生活中经常用到,在数学上这类问题往往归结为求函数的最值问题.除了常见的求最值的方法外,还可用求导法求函数的最值.但无论采取何种方法都必须在函数的定义域内进行.解法一:设相同的时间内,生产第 x(xN *,1 x10)档次的产品利润 y 最大. 2 分依题意,得 y=8+
34、2( x1) 603( x1) 4 分=6 x2+108x+378=6( x9) 2+864(1 x10), 8 分显然,当 x=9 时, ymax=864(元),即在相同的时间内,生产第 9 档次的产品的总利润最大,最大利润为 864 元. 10 分解法二:由上面解法得到 y=6 x2+108x+378.求导数,得 y=12 x+108,令 y=12 x+108=0,解得 x=9.因 x=91,10, y 只有一个极值点,所以它是最值点,即在相同的时间内,生产第 9 档次的产品利润最大,最大利润为 864 元.【名师指引】一般情况下,对于实际生活中的优化问题,如果其目标函数为高次多项式函数、
35、简单的分式函数简单的无理函数、简单的指数、对数函数,或它们的复合函数,均可用导数法求其最值.由此也可见,导数的引入,大大拓宽了中学数学知识在实际优化问题中的应用空间.题型 2:几何模型的最优化问题【名师指引】与最值有关的问题应合理解模,使问题获解.例 3. (07 上海春季高考)某人定制了一批地砖. 每块地砖 (如图 1 所示）是边长为 米的正方形4.0，点 E、 F 分别在边 BC 和 CD 上， 、 和四边形 均由单一材料制成，制成ABCDCFEABEFD 、 和四边形 的三种材料的每平方米价格之比依次为 3:2:1. 若将此种地砖按图AED2 所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边
36、形 .GH(1) 求证：四边形 是正方形；GH(2) 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？、【解题思路】图 2 是由四块图 1 所示地砖绕点 按顺时针旋转 后得到， 为等腰直角三角形，C90CFE四边形 是正方形 . EFGH解析 (2) 设 ，则 ，每块地砖的费用xCxBE40为 ，制成 、 和四边形 三种材料的每平方米价格依次为 3a、2 a、 a (元)， WAFDxxaxax )4.0(216.2).(40213Page 24 of 32 Xuezhi Education All Rights Reserved24.0.2xa. 40,3.)1.(x由 ，当 时， 有最小值，
37、即总费用为最省 . 0axW答：当 米时，总费用最省. CFE【名师指引】 处理较复杂的应用题审题时要逐字逐句地去啄磨.题型 3:三角模型的最优化问题例 4. 若电灯 B 可在桌面上一点 O 的垂线上移动，桌面上有与点 O 距离为 的另一点 A，问电灯与点a0 的距离怎样，可使点 A 处有最大的照度？（ 照度与 成正比，与 成反比）,rBAsin2r【解题思路】如图，由光学知识，照度 与 成正比，与 成反比，ysin2r即 （ 是与灯光强度有关的常数）要想点 处有最2sinrCy A大的照度，只需求 的极值就可以了.y解析：设 到 的距离为 ，则 ，OBxrxsin2a于是 ， .)0()(s
38、in2332 axCry 0)(25xCy当 时，即方程 的根为 （舍）与 ，在我们讨论的半闭区间0y2a1a2a内，所以函数 在点 取极大值，也是最大值。即当电灯与 点距离为 时，点, )(xfy O2a的照度 为最大. A（0， ）2a),2(ay+ - 点评：在有关极值应用的问题中，绝大多数在所讨论的区间上函数只有一点使得 =0 且在该)(xf点两侧， 的符号各异，一般称为单峰问题，此时，该点就是极值点，也是最大（小）值点.)(xf【名师指引】多参数的数学应用题要注意分清哪些是主元,哪些是参数;函数最值有关的问题通常利用Page 25 of 32 Xuezhi Education All
39、 Rights Reserved导数求解比较方便.【新题导练】.1在边长为 60cm 的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图） ，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？解析:设箱底边长为 ，则无盖的方底箱子的高为 ，其体积为 ，x()cm302x()cm3()Vc则 ，令 ，得 ，32106V26VxV260x解得 （ 已舍去）且仅当 时， ；当 时， .所以函4x(0,4)(4,)x数 在 时取得极大值，结合实际情况，这个极大值就是函数 的最大值.() x，故当箱底边长为 时，箱子容积最大，最大容积是 .016Vcm3160cm2.
40、.一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时 10 公里时的燃料费是每小时 6 元，而其他与速度无关的费用是每小时 96 元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每公里的费用总和最小？设船速度为 时，燃料费用为 元，则 ，由 可得 ，(0)xQ3kx3610k50 ，总费用 ， ，令 得 ，35Q3219(96)5050yx296yxy20x当 时， ，此时函数单调递减，当 时， ，此时函数单调递增，(,2)x(,)x当 时， 取得最小值，此轮船以 20 公里/小时的速度使行驶每公里的费用总和最小0y 抢 分 频 道 基础巩固训练1. 我国儿童 4 岁前身高增长的速度最快
41、的是在哪一个年龄段?答: 据有关统计资料, 我国儿童 4 岁前身高情况有一组统计数据年龄/岁0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 身高/米0.520.630.730.850.931.011.061.12Page 26 of 32 Xuezhi Education All Rights Reserved思路分析: 要判断这一个问题.必须要计算每半年这个群体长高的平均增长率,再加以比较即可,通过计算每半年长高的平均增长率分别是 2.2, 2, 2.4, 1.6, 1.6, 1, 1.2 可知我国儿童在 1.5 岁至 2岁这一时段身高增长的速度最快2.（2008深圳 6 校）某日中午 时整
42、，甲船自 处以 的速度向正东行驶，乙船自 的正12A16/kmhA北 处以 的速度向正南行驶，则当日 时 分时两船之间距离对时间的变化率是km18/h230_.解析:距离对时间的变化率即瞬时速度。即此时距离函数对时间变量的导数。将物理学概念与数学中的导数概念迁移到实际应用题中来。易求得从 点开始， 小时时甲乙两船的距离x22)418()6(xxd，)24(18(2612 xx当 时，0.5x6.1d3.要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为 3m，长和宽的和为 20m，则仓库容积的最大值为 1800m3 .解：设长为 ，则宽为 ，仓库的容积为 Vxm(20)x则 ()36V，令 得6V1当
43、时， ；当 时，01x0x0时，38()m最 大4. 要做一个圆锥形漏斗，其母线长为 20cm，要使体积为最大，则其高应为_.解：设圆锥底面半径为 r，高为 ，则 ， ， 圆锥体积一天h220r240rh，令 得 ，当22311(40)(4)3Vhh21(3)0V3h时， ； 时，03h0时， V 最大 ，当应填23h2cm5. 质量为 5 kg 的物体运动的速度为 v=(18t3 t2) m/s,在时间 t=2 s 时所受外力为_N.分析:本题主要考查导数的物理意义即速度 v(t)对时间的导数是该时刻的加速度.解: v=186 t, v| t=2=1862=6. t=2 时物体所受外力 F 为 65=30.综合拔高训练6.在长为 100 千米的铁路线 AB 旁的 C 处有一个工厂，工厂与铁路的距离 CA 为 20 千米 .由铁路上的 B处向工厂提供原料，公路与铁路每吨千米的货物运价比为 53，为节约运费，在铁路的 D 处修一货物转运站，设 AD 距离为 x 千米，沿 CD 直线修一条公路(如图) . k20hPage 27 of 32 Xuezhi Education All Rights Reserved(1)将每吨货物运费 y(元)表示成 x 的函数 .(2)当 x 为何值时运费最省？解：(1)设公路与铁路每吨千米的货物运价分别为5k、3 k(元)( k 为常数) AD=
