1、1 难点六 数列中的证明、探索性和存在性、不定方程的解等综合问 题(对应学生用书第72页) 近几年的高考试卷中经常出现以数列为载体的证明、探索等综合问题，这类问题不 仅考查学生的分析问题解决问题的能力，以及探索能力，而且给学生提供了创新思 维的空间 1等差数列、等比数列的证明问题 有关证明、判断数列是等差(等比)数列的主要证明方法有：定义法、性质法 定义法： 用定义法判断一个数列是等差数列，常采用的两个式子a n a n1 d和a n1 a n d 有差别，前者必须加上“n2” ，否则n1时a 0 无意义；在等比数列中一样有： n2时，有 q(常数q0)；nN * 时，有 q(常数 an an
2、1 an1 an q0) 性质法： a n a n2 2a n1 a n 是等差数列，a n a n2 (a n1 ) 2 (a n 0) a n 是等比数列，这是 证明数列a n 为等差(等比)数列的另一种主要方法 【例1】 (苏北四市淮安、宿 迁、连云港、徐州)2017届高三上学期期中)在数列a n 中， 已知a 1 ，a n1 a n ，nN * ，设S n 为a n 的前n项和 1 3 1 3 2 3n1 (1)求证：数列3 n a n 是等差数列； (2)求S n ； (3)是否存在正整数p，q，r(pqr)，使S p ，S q ，S r 成等差数列？若存在，求出 p，q，r的值；若
3、不存在，说明理由 解 (1)证明：因为a n1 a n ，nN * ，所以3 n1 a n1 3 n a n 2， 1 3 2 3n1 又因为a 1 ，所以3 1 a 1 1， 1 3 所以3 n a n 是首项为1，公差为2的等差数列 (2)由(1)知3 n a n 1(n1)(2)32n，所以a n (32n) n ， ( 1 3 ) 所以S n 1 1 (1) 2 (3) 3 (32n) n ， ( 1 3 ) ( 1 3 ) ( 1 3 ) ( 1 3 ) 所以 S n 1 2 (1) 3 (52n) n (32n) n1 ， 1 3 ( 1 3 ) ( 1 3 ) ( 1 3 ) (
4、 1 3 )2 两式相减得 S n 2 2 3 1 3 ( 1 3 ) 2 ( 1 3 ) 3 ( 1 3 ) n (32n) n1 ( 1 3 ) 2 (2n3) n1 2n n1 ， 1 3 1 9 1 ( 1 3 ) n1 1 1 3 ( 1 3 ) ( 1 3 ) 所以S n . n 3n (3)假设存在正整数p，q，r(pqr)，使S p ，S q ，S r 成等差数列，则2S q S p S r ， 即 . 2q 3q p 3p r 3r 由于当n2时，a n (32n) n 0，所以数列S n 单调递减 ( 1 3 ) 又pq，所以pq1且q至少为2，所以 ， p 3p q1 3
5、q1 . q1 3q1 2q 3q q3 3q 当q3时， ，又 0， p 3p q1 3q1 2q 3q r 3r 所以 ，等式不成立 p 3p r 3r 2q 3q 当q2时，p1， 所以 ，所以 ，所以r3(S n 单调递减，解唯一确定) 4 9 1 3 r 3r r 3r 1 9 综上可知，p，q，r的值为1,2,3. 2数列中探索与存在性问题 数列探索性问题主要表现为存在型，解答的一般策略：先假设所探求对象存在或结 论成立，以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理，若由此推出矛盾，则假设不成 立，从而得到“否定”的结论，即不存在若推理不出现矛盾，能求得在范围内的 数值或图形，就得到肯定的
6、结论，即得到存在的结果而要确定范围内的数值，则 往往涉及不定方程的正整数解问题 【例2】 (2017江苏省盐城市高考数学三模)已知数列a n ，b n 都是单调递增数列，若 将这两个数列的项按由小到大的顺序排成一列(相同的项视为一项)，则得到一个新数列 c n (1)设数列a n ，b n 分别为等差、等比数列，若a 1 b 1 1，a 2 b 3 ，a 6 b 5 ，求 c 20 ；3 (2)设a n 的首项为1，各项为正整数，b n 3 n ，若新数列c n 是等差数列，求数列c n 的 前n项和S n ； (3)设b n q n1 (q是不小于2的正整数)，c 1 b 1 ，是否存在等差
7、数列a n ，使得对任 意的nN * ，在b n 与b n1 之间数列a n 的项数总是b n ？若存在，请给出一个满足题 意的等差数列a n ；若不存在，请说明理由【导学号：56394105】 解 (1)设等差数列a n 的公差为d，等比数列b n 的公比为q， 由题意得，Error!解得 d0或 3，因数列a n ，b n 单调递增， 所以d0，q1， 所以d3，q2， 所以a n 3n2，b n 2 n1 . 因为a 1 b 1 1，a 2 b 3 ，a 6 b 5 ，b 7 a 20 . c 20 a 17 49. (2)设等差数列c n 的公差为d，又a 1 1，且b n 3 n ，
8、 所以c 1 1，所以c n dn1d. 因为b 1 3是c n 中的项，所以设b 1 c n ，即d(n1)2. 当n4时，解得d 1，不满足各项为正整数； 2 n1 当b 1 c 3 3时，d1，此时c n n，只需取a n n，而等比数列b n 的项都是等差数 列a n 中的项，所以S n ；当b 1 c 2 3时， nn1 2 d2，此时c n 2n1，只需取a n 2n1， 由3 n 2m1，得m ，3 n 是奇数，3 n 1是正偶数，m有正整数解， 3n1 2 所以等比数列b n 的项都是等差数列a n 中的项，所以S n n 2 . 综上所述，数列c n 的前n项和S n 或S n n 2 . nn1 2 (3)存在等差数列a n ，只需首项a 1 (1，q)，公差dq1. 下证b n 与b n1 之间数列a n 的项数为b n ，即证对任意正整数n，都有Error! 即Error!成立 由b n a 1qqn21 q n1 a 1 (1qq n2 )(q1)1a 1 0， b n1 a 1qqn1 q n a 1 (1qq n1 1)(q1)qa 1 0. 所以首项a 1 (1，q)，公差dq1的等差数列a n 符合题意
